抽象函数性质知识总结与题型归纳（学生）

抽象函数性质知识总结与题型归纳1概念:我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2常见抽象函数模型题型一：“巧妙赋值”求函数值问题技巧再现：“赋值思维”抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，1,1等（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取。.（3）第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）。例1：已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，且对任意x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，例2：已知定义域为，对任意都有，当时，，．求，，的值;例3：对任意实数x,y，均满足fx+y2则f(2001)=_______.变式1.设函数y=f(x)是定义在R+对任意正数x,y，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f3(1)求f(1),f(1变式2.定义在上的函数，满足对任意，有，且．求，的值；变式3.已知函数f（x）定义域为R，f（1）=2，f（x）≠0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，f（x）＞1；求f(4题型二：抽象函数的单调性与奇偶性问题知识再现1：抽象函数的单调性常用单调性定义证明（1）任取x1,x（2）作差f(此步有时也会用作商法：判断fx1f（3）变形；（4）定号(即判断差fx（5）下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．知识再现2：证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等，2.尝试适当的换元字母，构造出x和x，如f（x+y），可令y=x，f（xy），可令y=1等等。3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。例1：已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，.（1）判断的奇偶性；（2）讨论的区间上的单调性；（3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.变式1：设函数对任意的实数，，都有，且时，，.（1）求证：是奇函数；（2）试判断函数单调性；（3）试问当时，是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由.例2：已知定义域为的函数满足对任，都有．（1）求证：是偶函数；（2）设时，①求证：在上是减函数；②求不等式的解集．变式2：已知函数对于任意实数x，恒有，且当时，，又．(1)判断的奇偶性并证明；(2)求在区间的最大值；(3)解关于x的不等式：.例3：已知函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，．求证：在上是单调减函数．变式3：已知定义在上的函数对任意实数都满足，且．当时，．（1）求的值；（2）证明：在上是增函数；（3）解不等式．例4：已知函数是定义在上的增函数，.（1）求；（2）求证：；（3）若，解不等式：.变式4：已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f＝f（x1）－f（x2），且当x>1时f（x）>0，若f（3）＝1．（1）判断f（x）的单调性；（2）解关于的不等式；（3）若对所有恒成立,求实数．例5：设函数的定义域为R，并且满足，且当时，(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并给出证明；(3)如果，求的取值范围；变式5：定义在上的函数，满足对任意，有，且．(1)求，的值；(2)判断的奇偶性，并证明你的结论；(3)当时，，解不等式．例6：已知函数是定义在上的非常值函数，对任意，满足.（1）求，的值；（2）求证：对任意恒成立；（3）若当时，，求证：函数在上是增函数.变式6：已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.例7：已知定义域为，对任意都有，当时，，．(1)试判断在上的单调性，并证明(2)解不等式：变式7：已知定义域为，对任意都有，当时，，．（1）求的值.（2）试判断在上的单调性，并证明？（3）解不等式：.变式8：若定义在R上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数，(1)求的值，并证明为奇函数；(2)解不等式.(3)若，，恒成立，求实数的取值范围.例8：定义在上的函数，对任意，都有，且当时，．（1）求与的值；（2）证明为偶函数:（3）判断在上的单调性，并求解不等式．变式9.定义在上的函数，对任意x，y∈I，都有；且当时，.（1）求的值；（2）证明为偶函数；（3）求解不等式.题型三：抽象函数的周期性问题例1：奇函数f(x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f(x+T)=f(x)，则在区间[0,2T]上，方程f(x)=