二次函数有关问题解答

PAGEPAGE1二次函数有关问题解答1．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.【答案】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则有解得∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4（2）过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为（m，n）.则AD=m+4，MD=﹣n，n=m2＋m－4.∴S=S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO=(m+4)(﹣n)＋(﹣n＋4)(﹣m)－×4×4=﹣2n-2m=﹣2(m2＋m－4)-2m-8=﹣m2-4m(－4<m<0∴S最大值=4（3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4，4），（4，-4），（-2+，2－），（-2－，2＋）2．（2010四川内江）如图，抛物线y＝mx2―2mx―3m(m＞0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由..xxMABCyO【答案】解：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m(x2―2x―3)＝m(x－1)2―4∴抛物线顶点M的坐标为（1，―4m∵抛物线y＝mx2―2mx―3m(m＞0)与x轴交于A、B∴当y＝0时，mx2―2mx―3m∵m＞0，∴x2―2x―3＝0，解得x1＝－1，x,2＝3，∴A，B两点的坐标为（－1,0）、（3,0）. 4分（2）当x＝0时，y＝―3m∴点C的坐标为（0，－3m）∴S△ABC＝EQ\f(1,2)×|3－(－1)|×|－3m|＝6|m|＝6m， 5分过点M作MD⊥x轴于D，则OD＝1，BD＝OB－OD＝2，MD＝|－4m|＝4xxMABCyODN∴S△BCM＝S△BDM＋S梯形OCMD－S△OBC＝EQ\f(1,2)BD·DM＋EQ\f(1,2)(OC＋DM)·OD－EQ\f(1,2)OB·OC＝EQ\f(1,2)×2×4m＋EQ\f(1,2)(3m＋4m)×1－EQ\f(1,2)×3×3m＝3m， 7分∴S△BCM：S△ABC＝1∶2. 8分（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线.过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN＝OD＝1，DN＝OC＝3m∴MN＝DM－DN＝m,∴CM2＝CN2＋MN2＝1＋m2，在Rt△OBC中，BC2＝OB2＋OC2＝9＋9m在Rt△BDM中，BM2＝BD2＋DM2＝4＋16m①如果△BCM是Rt△，且∠BMC＝90°时，CM2＋BM2＝BC2,即1＋m2＋4＋16m2＝9＋解得m＝±EQ\f(EQ\r(,2),2),∵m＞0，∴m＝EQ\f(EQ\r(,2),2).∴存在抛物线y＝EQ\f(EQ\r(,2),2)x2－EQ\r(,2)x－EQ\f(3EQ\r(,2),2)使得△BCM是Rt△; 10分②①如果△BCM是Rt△，且∠BCM＝90°时，BC2＋CM2＝BM2.即9＋9m2＋1＋m2＝4＋解得m＝±1,∵m＞0，∴m＝1.∴存在抛物线y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△;③如果△BCM是Rt△，且∠CBM＝90°时，BC2＋BM2＝CM2.即9＋9m2＋4＋16m2整理得m2＝－EQ\f(1,2)，此方程无解,∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.（或∵9＋9m2＞1＋m2，4＋16m2＞1＋m2，∴以∠综上的所述，存在抛物线y＝EQ\f(EQ\r(,2),2)x2－EQ\r(,2)x－EQ\f(3EQ\r(,2),2)和y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△.3．（2010山东东营）如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点△AB点xxOA（第23题图）By【答案】解：（1）根据题意，得…2分解得…………3分xOA（第23题图）ByCPxOA（第23题图）ByCPx=2（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标C（5,0）.……………5分由于P是对称轴上一点，连结AB，由于，要使△AB…………………6分AC对称，连结BC交对称轴于点P，则=BP+PC=BC根据两点之间，线段最短，可得BCBC的交点P就是所求的点.……8分设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得所以直线BC的解析式为.…………………9分因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得所求的点P的坐标为（2，-3）.……………10分4．（2010湖北孝感）如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线与二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上。（1）二次函数的解析式为y=；（3分）（2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图像上；（3分）（3）若C为线段AB的中点，过C点作轴于E点，CE与二次函数的图像交于D点。①y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是；（2分）②二次函数的图像上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。（4分）【答案】（1）解： （2）证明：设点的图像上，则有： 整理得∴原方程无解 的图象上 说明：由从而判断点不在二次函数图像上的同样给分。（3）解：①； ②二次函数的图象上存在点P，使得如图，过点B作轴于F，则BF//CE//AO，又C为AB中点， 设，由题意有： 解得 ………………12分说明：在求出得到△POE的边OE上的高为16，即点P的纵坐标为16，然后由可求出P点坐标。5（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。 【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为。根据题意，得、解之，得 ∴所求抛物线的表达式为（2）①当AB为边时，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，∴点