专题24.12圆锥的计算（限时满分培优训练）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题24.12圆锥的计算（限时满分培优训练）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023•香洲区二模）圆锥的底面半径为3，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为（）A．25π B．20π C．15π D．12π【答案】C【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：圆锥的侧面积＝πrl＝π×3×5＝15π，故选：C．【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．2．（2022秋•东莞市期末）一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm【答案】B【分析】设圆锥底面半径为rcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2πr=120×π×30【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，根据题意得2πr=120×π×30解得r＝10，即圆锥底面半径为10cm．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．3．（2023•芝罘区一模）如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（）A．180° B．216° C．240° D．270°【答案】B【分析】首先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再利用底面周长＝展开图的弧长可得．【解答】解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm，∴圆锥底面圆的半径为：52-42∴2π×3=5nπ解得n＝216°．故选：B．【点评】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答本题的关键是有确定底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．4．（2023•天门校级模拟）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（）A．22π B．2π C．2π 【答案】B【分析】首先可求得圆锥的底面半径及母线长，再根据圆锥的侧面积公式，即可求得．【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，∴底面半径＝1，母线长AB=AC=2，底面周长＝2π∴圆锥的侧面积=1故选：B．【点评】本题考查了圆锥的侧面积计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是牢记有关公式．5．（2023•霍林郭勒市模拟）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（）A．27cm2 B．54cm2 C．27πcm2 D．54πcm2【答案】C【分析】由于锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可计算出蛋筒圆锥部分包装纸的面积【解答】解：根据题意，圆锥的侧面积=12×2π×3×9＝27（即蛋筒圆锥部分包装纸的面积为27cm2．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．6．（2023•红塔区模拟）将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为13cm，圆锥的侧面积为65πcm2，则该圆锥的高为（）A．5cm B．12cm C．13cm D．69【答案】B【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为rcm，由题意得：12×2πr×13＝65解得：r＝5，则圆锥的高为：132-5故选：B．【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．7．（2022秋•信都区校级期末）如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆半径是（）A．π4 B．24 C．22 【答案】C【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得．【解答】解：连接BC，AO，由题意，得：∠CAB＝90°，AC＝BC，∵A，B，C在⊙O上，∴BC为⊙O的直径，AO＝BO＝2，BC⊥AO，在Rt△ABO中，AB=O即扇形的半径为：R=2扇形的弧长：l=设圆锥底面圆半径为r，则有2πr=2∴r=2故选：C．【点评】本题考查圆锥的计算．熟练掌握圆锥的底面周长等于围成圆锥的扇形的弧长，是解题的关键．8．（2023春•江岸区校级月考）如图，将扇形OAB纸片沿着半径剪成两个扇形，∠AOB＝164°，其中较小的扇形的圆心角为α，围成一个圆锥甲（纸片不重合），记它的底面积为S甲；较大的扇形的圆心角为β，围成一个圆锥乙（纸片不重合），记它的底面积为S乙；若S乙＝9S甲，则α＝（）A．41 B．45 C．36 D．40【答案】A【分析】根据扇形的弧长即为围成的圆锥的底面圆的周长，结合弧长公式和圆面积公式分别表示出S甲，S乙，再根据S乙＝9S甲列式求解即可．【解答】解：设OA＝r，由题意得S甲=π⋅(παr∵S乙＝9S甲，∴π(164-α)∴（164﹣α）2＝9α2，解得α＝±41（负值舍去），故选：A．【点评】本题主要考查了弧长公式，熟知扇形的弧长即为围成的圆锥的底面圆的周长是解题的关键．9．（2022•周村区一模）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm【答案】B【分析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，由于扇形的弧长等于圆锥底面的周长，根据弧长公式得2πr=(360-144)×π×15180，解方程得r＝【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2πr=解得r＝9，所以圆锥的高=152-故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10．（2022•建邺区一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB为（）A．3：2 B．7：4 C．9：5 D．2：1【答案】A【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（AD﹣2r）cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到90π(AD-2r)180=2πr，解方程求出r，然后计算AD：【解答】解：设此弧所在圆的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（AD﹣2r）cm，则90π(AD-2r)180=2π解得r=AD则AD：AB＝AD：（AD-AD3）＝3：故选：A．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•南通期末）用一个圆心角为120°，半径为3的扇形制作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为1．【答案】1．【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr=120π×3【解答】解：设圆锥底面的半径为r，根据题意得2πr=120π×3解得：r＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12．（2023•常州模拟）用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为1．【答案】1．【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr=180π×2【解答】解：设圆锥底面的半径为r，根据题意得2πr=180π×2180，解得：r＝故答案为：1．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13．（2023•阿瓦提县模拟）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线AB＝5米，半径OB＝4米，则圆锥的侧面积是20π平方米（结果保留π）．【答案】20π．【分析】求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S=12【解答】解：∵OB＝4米，AB＝5米，∴圆锥的底面周长＝2×π×4＝8π米，∴S扇形=12lr=12×8π×5＝故答案为：20π．【点评】本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，14．（2022秋•阜宁县期末）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝2，扇形的半径R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是8．【答案】8．【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．【解答】解：扇形的弧长是：90πR180圆的半径r＝2，则底面圆的周长是4π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：πR2=2解得：R＝8，故答案为：8．【点评】本题考查圆锥的计算，正确记忆圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径和圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是解题关键．15．（2023•南海区校级模拟）在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的母线长为18．【答案】18．【分析】设此圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到2π×6=120×π×l【解答】解：设此圆锥的母线长为l，根据题意得2π×6=120×π×l解得l＝18，即此圆锥的母线长为18．故答案为：18．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16．（2022•安阳一模）如图，菱形纸片ABCD的边长为6，∠A＝60°，在菱形中剪下一个以点A为圆心，AB长为半径的扇形后，在剩余部分中再剪下一个圆，若以剪下的扇形为侧面，以剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则纸片剩下部分的面积为183-7π【答案】183-7π【分析】设⊙O的半径为r，利用弧长公式得到2πr=60×π×6180，解得r＝1，然后利用等边三角形的性质和扇形的面积公式，根据纸片剩下部分的面积＝S菱形ABCD﹣S扇形BAD﹣S⊙【解答】解：设⊙O的半径为r，根据题意得2πr=60×π×6解得r＝1，所以纸片剩下部分的面积＝S菱形ABCD﹣S扇形BAD﹣S⊙O＝2×34×62-60×π×＝183-7π故答案为：183-7π【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了菱形的性质．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023春•永吉县期中）如图，过圆锥的顶点S和底面圆的圆心O的平面截圆锥得截面△SAB，其中SA＝SB，AB是圆锥底面圆O的直径，已知SA＝7cm，AB＝4cm，求截面△SAB的面积．【答案】见试题解答内容【分析】先利用勾股定理计算出SO，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：在Rt△AOS中，∵OA=12AB＝2，SA＝∴SO=SA2∴截面△SAB的面积=12×4×35=65【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18．（2023•古丈县一模）在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60°的扇形（图中的阴影部分）．（1）求这个扇形的半径；（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．【答案】（1）3；（2）12【分析】（1）连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，得到∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，根据垂径定理，求得BC＝2BD，判定△ABC是等边三角形，计算即可．（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据题意，得60°×π×3180°【解答】解：（1）如图，连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵∠BAC＝60°，OB=OC=3，AB＝AC∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，△ABC是等边三角形，∴BC=2BD=2×(3)2-(3∴这个扇形的半径为3．（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据题意，得60°×π×3180°解得r=1故圆锥底面圆的半径为12【点评】本题考查圆锥的计算，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键．19．（2021秋•长沙县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为（﹣2，0）；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为25（结果保留根号），∠ADC的度数为90°；（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为5π．（结果保留根号）【答案】（1）（﹣2，0）；（2）25；90°；（3）5π．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标；（2）利用点的坐标结合勾股定理得出⊙D的半径长，根据勾股定理的逆定理∠ADC的度数；（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．【解答】解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，由图形可知，点D的坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）；（2）圆D的半径长=22+AC=62+∴AD2+CD2＝20+20＝40＝AC2，∴∠ADC＝90°，故答案为：25；90°；（3）由题意可得，该圆锥的底面圆的周长为90π×25180故答案为：5π【点评】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握弧长公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．20．（2021秋•海曙区期末）如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2．（1）求α；（2）点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影．【答案】（1）120°；（2）12π﹣63．【分析】（1）设∠AOB＝n°，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到2π×2=n×π×6（2）过C点作CD⊥BO于D，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC进行计算．【解答】解：（1）设∠AOB＝n°，根据题意得2π×2=n×π×6解得n＝120，所以α为120°；（2）过C点作CD⊥BO于D，如图，∵∠BOC＝120°，∴∠COD＝60°，∴OD=12OC＝∴CD=3OD＝23∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC=120×π×62360-＝12π﹣63．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．21．（2023•工业园区校级模拟）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°．（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）【答案】（1）12（2）（100﹣25π）cm2．【分析】（1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到π•DE=90⋅π⋅AD180，从而求出ED：（2）先根据等腰直角三角形的性质得到BC＝2AD＝20cm，再利用扇形的面积公式，利用S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF进行计算．【解答】解：（1）根据题意得π•DE=90⋅π⋅AD∴DE=12∴ED与母线AD长的比值为12（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，而AD＝2DE＝10cm，∴BC＝2AD＝20cm，∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF=12×10×＝（100﹣25π）cm2．答：加工材料剩余部分的面积为（100﹣25π）cm2．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质．22．（2022•潍坊）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋