2023学年人教A版高一年级上册数学练习第13讲 函数与方程（解析版）

第十三讲函数与方程

一、选择题

1.函数f(x)=x+lgx—3的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,+oo)

解析：易知函数f(x)=x+lgx-3在定义域上是增函数，

f(l)=l+0—3V0,

f(2)=2+lg2-3<0,

f(3)=3+lg3-3>0,

故函数f(x)=x+lgx-3的零点所在的区间为(2,3),故选C.

答案C

2.下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是()

…——x+l,x>0…2^1,

①y=3x2—2x+5；②y；(3)y=-+l：④y=x3—2x+3；(5)y=rx2+4x+8.

x+l,x<0x/

A.①②③B.⑤

C.①⑤D.①④

解析：⑤中y=3x2+4x+8,A=0,不满足二分法求函数零点的条件.故选B.

答案B

3.一元二次方程幺-5x+l-，〃=0的两根均大于2,则实数加的取值范围是()

A.B.(―°o,-5)C.%D.-卜

解析：设=

则二次函数y=/(x)的图象开口向上，对称轴为直线x=g>2.

由于一元二次方程丁-58+1-m=0的两根均大于2，

［A八=22)5=--4〃(1二-m>)。>0，解得一721‘"一5’

则〈

21

因此，实数〃?的取值范围是一^，3

答案C

4.已知函数f(x)=x3+2x-8的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如表所示:

X121.51.751.6251.6875

f(X)-5.004.00-1.630.86-0.460.18

则方程x3+2x-8=0的近似解可取为(精确度0.1)()

A.1.50B.1.66C.1.70D.1.75

解析：•.•/(1.625)<0,/(1.6975)>0

近似解可取为1625+168751g6,选区

2

答案B

5.若函数〃x)=2'-如2(》<0)的零点为七,且/«a,a+l),aeZ,则。的值为().

A.-1B.-2C.-3D.-4

解析：因为函数f(x)在(-8,。)单调递增,

因为/(-1)=2-得(-1)2>0,/(-2)=2-2-^(-2)2=1-1>0,

f(-3)=2-3_-L(_3y=1-2<0,

')20、"820

所以毛€(-3,-2),所以q=-3.

答案C

6.若厮是方程(1)*=%的解，则与属于区间()

fiY1

解析：令g(x)=-,/(x)=x3

k2；

则g(0)=i"0)=。得钞©出，舟眇词系

结合图象可得

答案c

7.设函数/(x)=炉-2,用二分法求/(x)=0的一个近似解时，第1步确定了一个区间为卜，｝到第3

步时，求得的近似解所在的区间应该是()

1123、

解析：•.-/(1)=-1<0,乂|卜卜。，/图=3<。,

(53、

第2步所得零点所在区间为了,；；

(42；

取区间但目的中点2+4”,

(42；x=-y~=G

因此，第3步求得的近似解所在的区间应该是

答案C

8.已知方是函数/(x)=2*+的一个零点，若%«1,不),%«/+8),则()

1-X

B./(%)<0,“£)>()

A./(%,)<(),/(%2)<()

c./(%)>(),/伍)<()D./(^)>0,/(%2)>0

解析：因为X。是函数/(x)=2、+」一的一个零点，则不是函数y=2、与y=」一的交点的横坐标,画出函

l-xx-1

数图像，如图所示，

则当玉6(1,毛)时,丁=2、在丁=」7下方,即/(西)<0；

X-1

当与G(y,+8)时,>=2"在>=上方，即"/）>0,

x-1

答案B

x>0

9.已知/（x）=<'，若关于X的方程/2（x）—3/（幻+。=03€/?）有6个不等的实数根,

—x—2x+1,xW0

则。的值是（）.

A.0B.1C.6D.2

尸1r>0

解析：函数/（尤）=<2'的图象如图所示，

—x~—2x+1,x<0

令于(x)=t,由题意可知：

方程产一3f+a=0有两个不同的实数根。6(1,2),f2G(2,e)或％=1,t2=2,

由于：+芍=3,故4=1,力=2,

令gQ)=r-3r+a,所以a=2.

答案D

2-x,x<0

10.已知函数/(x)=41,g(x)=/(x)-x-a.若g(x)有2个零点，

In—,x>0

.x

则实数。的取值范围是()

A.[-1,0)B.[0,+oo)C.[-l,+oo)D.

解析：令g(x)=O可得〃x)=x+a,作出函数y=/(x)与函数y=x+。的图象如下图所示:

由上图可知，当时，函数y=/(x)与函数y=x+a的图象有2个交点，

此时，函数y=g(x)有2个零点

.因此，实数。的取值范围是［1,+8).

答案D

H.对于定义在R上的函数/(X),若存在非零实数%,使函数/(X)在和(天,+8)上与X轴都

有交点，则称/为函数/(X)的一个“界点”.则下列函数中，不存咨“界点”的是()

A./(x)=—x2+bx+lB./(x)=|x+l|-2

C./(x)=x-sinxD./(x)=2V—x1

解析：A项中，f(x)=-x2+bx+l,其对应二次方程的判别式△=U+4>o，

因此/(x)与%轴有两个不同的交点，故/(x)有“界点”；

B项中，/(%)=卜+1|-2,令人>)=0,解得x=l或一3,故Ax)有“界点”；

C项中，/(x)=x-sinx,f'(x)=l-cosx>0,

则/(x)在R上单调递增，因此与x轴不可能有两个交点，故/(幻没有“界点”；

D项中，=则2和4均为函数/(x)的零点，故/(X)有“界点”.

答案C

—X2(0<A:<2)

16')

12.已知函数y=/(x)为R上的偶函数，当尤20时二函数/(x)=<若关于x的方程

x>2)

[/(x)y+4(x)+b=0(aSeH)有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是()

解析：由题意，作出函数y=/(x)的图像如下,

-4-3-2-1o1234

由图像可得，0W/(X)W/(2)=L,

4

•.・关于x的方程[/(x)]2+afM+b=O(a,beR)有且仅有6个不同的实数根，

设=/+a/+b=O有两个根，不妨设为乙，，2；且g=；，0<J<；,

又•.」a=4+z2,

答案B

.Ilog,x|,x>0,„、

13.已知函数/(x)={,।八关于x的方程/(%)=机，meR,有四个不同的实数解%,%2，占，%4,

-x-2x,x<0.

则％+X2+X3+Z的取值范围为()

A.(0,+oo)bD.(l,+8)

-H）c-（埒）

解析：因为/（工）=杷中斗大>。，可作函数图象如下所示:

-X2-2X,X<0.

依题意关于X的方程=有四个不同的实数解玉,々,七，/，

即函数y=/（x）与y=m的图象有四个不同的交点，

由图可知令玉<一1</<0<；<刍<1<%4<2,

则%+工2=-2，-log2Xj=log2x4,gplog2Xj+log2x4=0,

I1z、

所以玉工4=1,则刍=一，x4e(l,2)

X4

c1/、

所以玉+尤2+七+%=-2+—+%，X4G(1,2),

X4

因为y=g+x，在xe（i，2）上单调递增，

所以ye（2,g，即7—1+X4/2，U,

X]+/+%3+X4=-2H----bX4€I0,

ZvI

答案B

二、填空题

14.若关于x的方程|2'-2|-人=0有两个不同的实数解，则实数b的取值范围是.

解析：令*2卜==0,得|2'-2卜。，

由题意可知函数丁=|2"-2］与>=b的图象有两个交点，

结合函数图象（如图），可知，0<Z?<2.

答案（0,2）

15.若函数f（x）=ax-x-a（a>0,且存1）有两个零点，则实数a的取值范围是.

解析：函数f（x）=a，-x—a（a>0,且a#l）有两个零点，

就是函数y=ax（a>0且a?U）与函数y=x+a的图象有两个交点，

由图象可知当（Xa<l时两函数的图象只有一个交点，不符合；

当a>l时，因为函数y=a*（a>l）的图象过点（0,1）,

当直线y=x+a与y轴的交点（0,a）在（0,1）的上方时一定有两个交点.

所以a>l.

答案（1,+oo）

16.关于x的一元二次方程f+（加一1次+1=0在区间［0,2］上有实数解则实数m的取值范围为

解析：•.・关于x的二次方程—l）x+l=0在区间［0,2］上有实根,

二.XWO,且W+1=(1一即1一根=X+工，

X

故函数y=x+L的图象和直线y=l-m在区间［0,2］上有交点.

x

・.•当％=1时，在区间10,2］上函数y=x+1取得最小值为2,函数)，无最大值,

：.m,,—1.

答案

三、解答题

17.已知函数f(x)=x2—bx+3.

(1)若我0)=44),求函数f(x)的零点；

(2)若函数f(x)一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围.

解析：(1)由f(0)=f(4),得3=16—4b+3,即b=4,

所以f(x)=x2—4x+3,令f(x)=O,

即x2—4x+3=0,得xi=3,X2=l,

所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图.

需f(l)<0,即l-b+3<0,所以b>4.

故b的取值范围为(4,+oo).

答案⑴1,3(2)(4,+8)

18.已知二次函数/(%)=炉-2mx+2机+3

(l)xe［O,l］时，求函数“X)的最小值

(2)若函数/(x)有两个零点，在区间(—2,0)上只有一个零点，求实数加取值范围

解析：⑴函数/(X)对称轴为X=〃2,

当加<0时，/(x)在［0,1］单调递增，故/。濡=/(0)=2加+3

0<"W1时，/(X)在［0,1］先减后增，故/(X)min=/(根)=一.++3

心1时,/(x)在［0,1］单调递减，故—=/■⑴=4

2m+3(m<0)

/•/(尤)min=<一加2+2〃2+3(0<m<1)o

4(m>1)

(2)函数/。)=尤2-2〃优+2m+3,在区间(一2,0)上只有一个零点，

A/(-2)./(0)<0,得一3:<加<一7:.

26

7

考虑边界情况：由/(—2)=0,得加=一二，

6

,、272

••f(X)—XH--XH--，

33

•二九=一2或%=一工，

3

7八3

.•.根=一二满足，由/(0)=0,得加二一一,

二/(x)=x?+3x，x=-3或％=0,

337

mw——综上，得---<7%<——

22一6

2m+3(m<0)

37

答案(1)答工)而n<-m2+2m4-3(0<m<1](2)——<m<——

26

4(m>1)

19.已知定义在R上的函数/(刈=幺二!■(•>()).

a