渐伸线与渐缩线

渐伸线与渐缩线引言在微分几何中，渐伸线和渐缩线是包络理论的应用．在自然学科和生产实践中都有比较广泛的应用，是微分几何中极其重要的内容．曲线的弯曲程度是反映曲线的变化走势与形状,在工程技术上有很大的用处．求曲线曲率中心的轨迹方程有多种方法,二次曲线曲率中心的轨迹方程有很好的规律性,清楚曲线曲率中心的轨迹就易求出曲线曲率圆的方程．在工程设计中，经常用到特殊的曲线或曲面的特性，就熟知的曲线而言，圆周的渐伸线就是例子之一．在平面上固定圆周，在圆周上固定一点并取为细线的一个固定端点，拉住另外一个端点将细线拉直并且与圆周相切于固定端点．假设细线总长保持不变，此时，将细线缠绕在圆周上并保持未缠绕部分是拉直的，则直线的运动端点的轨迹就是圆周的一条渐伸线．又因为在平面上，平面曲线的曲率中心轨迹是它的主法线的包络，作为包络理论的应用，我们来研究平面曲线的渐伸线和渐缩线，讨论它们的性质和相互关系．平面曲线的渐伸线与渐缩线平面曲线的曲率、曲率半径、曲率中心及曲率圆的定义vv设c2类的平面曲线(C):r=r(s丿曲线(C)上一点P点自然参数为S.另一点Q的自然参TH数为s+As(假设As>0).在P,Q两点各作曲线(C)的单位切向量a(s)和a(s+As).这两个切向HH量的夹角是A申(也就是把Q点的切向量a(s+As)平移到点P后，两个向量a(s)和a(s+As)的A®夹角)，则F叫做曲线弧关于弧长s的平均曲率.此引出平面曲线在点P的曲率的概念.当Q点沿As着曲线趋近于点P(即AsT0)时，若曲线弧的平均曲率学有极限，就称此极限值为平面曲线在As点P的曲率.UKP62-63)把平面曲线的曲率记作K，贝有r=lim竺AstOAs它刻画了曲线在一点的弯曲程度，由以上看出这个弯曲程度是用平面曲线的切向量关于弧长的旋转速度来刻画的.曲线在一点处的弯曲程度越大，切向量的旋转速度就越大.在一些问题的研究中，我们把平面曲线(C)上所考虑的P点邻近用这样的圆来代替，这个圆与曲线(C)在P点有相同的曲率，并且在P点与曲线(C)相切，而且它和曲线朝同一侧弯曲，这种圆称为曲线(C)在P点的曲率圆，它的中心称为曲率中心.曲率圆的半径称为曲率半径.

由于曲线(C)在P点的曲率圆与曲线(C)相切，因而它们在P点有公共的切向量与法向量•显然曲率中心在P点的法线上.如果平面曲线在给定点P的曲率用K表示.则曲线在P点的曲率半r径R为曲线在该点曲率的绝对值的倒数，即R二二芜.K(s)r|平面曲线的渐伸线与渐缩线的定义我们已经知道，平面曲线(C)在P点的曲率中心在曲线的法线上，与曲线的距离等于曲率半径,但是如果P点在曲线(C)上变动时，它的曲率中心又如何变化呢？我们把平面曲线(C)的曲率中心的轨迹称为平面曲线(C)的渐缩线.[1](P73)记为(C*).记汽幷s)是平面曲线(C)的参数表示.渐缩线的作法是对应于曲线(C)的每一点P(s)作法向量0(S)，在这法向量上量一长度等于曲线(C)在P(s)点的曲率半径R(s)，端点A就是对应与P(s)vB点的曲率中心，也就是渐缩线上(C*)的对应点.P和A点的向径分别为r和r*•渐缩线(C*)的方程是P*P*=r+R(s)0=B+ 1B0

K(s)|r根据平面曲线的伏雷内公式有：艇良\Kr(s)|^=击所以上述渐缩线(C*)方程又能写成只=几[R(s)]2此几占r1x*=x(s)+[R(s)]2 x(s)+ 敬|K(s)|2<ry*=y(s)+[R(s)]2 y(s)+——-——y|K(s)|2J r对于曲线(C)的一般参数表示：x=x(t)y=y(t)由于

1(x'2+y'2)3|K(s)|2r(x'y''-x''y')2dxd&(.dx_~dtx&_dt一ds dsv；x'2+y'2&一一一dsdtdtx攻s)=[R(s)]2打2+yJ_y(x〃y-xh)\,：x'2+y'2 (x'2+y'2)2代入得x*-x(t)代入得x*-x(t)-化2"?,xy-yx同理x(x2+y2)y*=y(t)+x'y''y*=y(t)+x'y''-y'x''下面定义⑴(p77)如果曲线(C)是曲线(c*)的渐缩线，贝y称为(c*)曲线(C)的一条渐伸线.如果TH TH我们把渐缩线作为平面曲线曲率中心的轨迹，设t：r=r(s)则它的渐伸线t*的方程为HHHr*=r+九(s)a现在来确定函数九(s)，因为d^二j8+-腐％九d阻(1+尊?+XkP.dsHHdr*又因为T的切线平行于t*的法线，因此T的切线垂直于T*的切线，所以d =0，故得ds1+炉=0或九=s-S.因此渐伸线的方程为0HH Hr*=r+(s-s)d0注意：对于一条曲线t来说，它的渐伸线不止一条，可知t的渐伸线可以看作t切线族的正交轨迹.显然在切线上取不同的起点可以得到T不同的渐伸线，这从渐伸线方程也可以看出，只要取不同的积分常数s，就得到不同的渐伸线.0渐伸线与渐缩线的性质3.1渐缩线的性质性质1[1](P75)平面曲线(C)的法线和它的渐缩线(C*)在对应点相切•换言之，渐缩线(C*)是

原来曲线(C)的法线族的包络.性质2WP76)平面曲线(C)上两点的曲率半径之差等于渐缩线上对应点之间的弧长.渐伸线的性质性质3⑵(P131)曲线(C)的渐伸线方程为C*: r*=r(s)+(a-s)T(s)式中a为任一常数.性质4【2](p133)曲线(C)的任意两条渐伸线C*和C*在对应点之间的距离为常数.12平面曲线的渐伸线和渐缩线的关系为了进一步明确渐伸线与渐缩线的关系，下面我们将分析它们的位置关系以及基本几何量的相互关系.bb在正则对应下，设曲线(C):r(s)及其渐伸线C*：r*(s)同时以(C)的弧长s为参数，则bbbbTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Ir*(s)=r(s)+a(s)T(s) (1)fee\o"CurrentDocument"T*T(s)=0 (2)\o"CurrentDocument"eeee e其中a(s)=[r*(s)-r(s)]N(s)为对应点之间的有向距离函数，为连续可微的.T(s)为单位切向，对第一式关于s求导，得T*(s)空=T(s)+e(s)T(s)+a(s)周(s).dse两端同时点乘T(s)并注意到第二式，即得a(s)+1=0e此即说明存在常量c使a(s)=c-s.从而位置关系可表示为r*(r*(s)=eer(s)+(c-s)T(s)(3)e=(c-s)Te=(c-s)T'(s)(4)eds*r*-ds说明曲线(C)只能是无逗留点的曲线，否则不能与其渐伸线正则对应，并且ds*dsds*dse=+(c—s)K(s)T*(s)=±N(s) (6)其中参数取值限定范围或为s<c或为s>c对应于正负号的取值，对(6)式关于S求导得ww ds* wwwwK*(s)N*(s) =±[-K(s)T(s)+说s)B(s)]ds结合(5)即有iIwwds* i_w w C-s|K(s)K*(s)丁=dK(s)]2+胃s)]2dsww由此可知，对于平面上的无逗留曲(C)线：r(s)及其渐伸线C*：r*(s)，成立w|c-s|K三1即渐伸线的曲率半径恰好等于两条曲线对应点之间的距离C-s|.而随着|c-s|增加而使渐伸线弯曲程度越来越小．由上面几式结合可证，无逗留点平面曲线的渐缩线恰好是原曲线曲率中心的轨迹1w+N*K*rr利用此式可以方便地确定平面曲线渐缩线的分量表达式．从而解决相关的直接计算问题平面曲线的渐伸线和渐缩线的计算例1例1求椭圆—+啟=1的渐缩线.a2b2解椭圆的参数表达是 x=acost，y=bsint，因而得到f ・ \ffx二一asintIx二一acosty'二bcost'Iy"二-bsintx*代入渐缩线的公式f-x(t)y'(x2+y‘2)-x(t)一 X‘y”-y‘x*代入渐缩线的公式f=y(t)+x‘(也+y‘2)x‘y“-y‘x‘‘a2-b2x*= COS3taa2-b2y*=- sm31b22a3x*22a3x*322222+b3y*3=(a2一b2)3或(ax*)3+(by*)32=(a2-b2)3(c2=a2-b2)．为上述椭圆的渐缩线方程，这曲线颇似星形线，它由星形线沿铅垂方向拉长而得到的．例2求抛物线y2二2px(p>0)的渐缩线.设曲线参数方程为x二u(t)y二v(设曲线参数方程为x二u(t)y二v(t)'dy则y=dx=dy/dt

dx/dtd—/dtlu'丿dx dx/dtu'v"-u"v'(u')3x=u-所以<y=v+v'l'I+(v'Il对抛物线y2对抛物线y2二2px(p>0)，设x二u二二,y二v二t,则2pu'二-,v'二1，所以pu''二丄,v〃二0,u'v''—u''v'二-丄,('》+C'》二1+t2ppp2t2x=一t2x=一2pf1 12)+p1+——p2丿12)3t2=p+ -2p13p2消去参数得(7y丄即抛物线y2即抛物线y2二2px(p>0)的曲率中心的轨迹方程为(py丄=3(x-p)•xx2 y2TOC\o"1-5"\h\z例3求双曲线二—「二1C>0,b>0)的渐缩线.a2 b2解双曲线—-—_1(a>0,b>0),可设x_u_asect,y_v_btant,a2 b2贝yu'_asecttant,v'_bsec21,因为u''_asect(tan21+sec21),v''_2bsec21tant所以u'v''-u''v'_-absec31,(u'》+(v')2_sec21C2tan21+b2sec21)贝ybsec2t ( )c2x_asect- sec2ra2tan21+b2sec2"_ sec31absec3t aasecttant( )c2y_btant+ sec2ra2tan21+b2sec2〃_一 tan31absec3t b

消去参数得(c2=a2+b2).消去参数得即双曲线—-啟=1C>0,b>0)的曲率中心的轨迹方程为a2b2(c2=a2+b2).例4求圆r={acost,asint}的渐伸线.解如图5-42,设M(x,y)是圆的渐伸线上的一点，那么，AM=at，且AM丄OA.因此,M点的坐标x=acost+atsinty=asint-atcost这就是圆的渐伸线的参数方程.圆的渐伸线在机械工程中特别有用，在工程上，习惯称C这就是圆的渐伸线的参数方程.圆的渐伸线在机械工程中特别有用，在工程上，习惯称C*)为渐开线.(C)为基圆.且把(C*)的参数方程写成极坐标形式0rrP= < cosap=tga-a注意：上式不是极坐标显式方程P=P(P)形式，而是以a为参量，用参数表示的这种表示方式纯粹是工程上的习惯.机械原理课程中，称a为压力角，称p=tga-a为a的渐开线函数.有专门的渐开线函数表可供查用.例5证明曳物线咒申)={acosp,aln(secp+tgp)-asinp}(0<p<-2)的渐缩线就是悬链线.证明因为dr=a\-sinp，竺—>dpI cospI

所以ds2=d?2=a2tg29=Ccos9,sin^},①dr ①do? 1因此ds=atg9d9,o= ={-cos9,sin9},kP= = {sin9,cos9}ds ds atg91?因此k= ,P={sin9,cos9}.atg9由渐缩线的定义知它的方程为：??1?r*=r+