高三数学平面向量的数量积与平面向量应用试卷

PAGE9PAGE平面向量的数量积与平面向量应用1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－16B．－8C．8D．164．如图K27－1，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\a\vs4\al(\r(3))eq\a\vs4\al(\o(BD,\s\up6(→)))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝()图K27－1A．2eq\r(3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)5．如图K27－2，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝()图K27－2A．8B．10C．11D．126．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|，则向量eq\o(BA,\s\up6(→))在向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影为()A．1B．－1C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则角A的大小为()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，则点A的坐标是()A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1，2)D．(2，2eq\r(2))9．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________．10．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为eq\f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是________．11．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值为________，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为________．12．(13分)在▱ABCD中，A(1，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，5)，求点C的坐标；(2)当|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|时，求点P的轨迹．13．(12分)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx，2cosx)．(1)求证：向量a与向量b不可能平行；(2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值．1．B[解析]本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．因为|a＋b|＝|a－b|⇒(a＋b)2＝(a－b)2⇒a·b＝0，所以a⊥b，答案选B.2．B[解析]a·b＝0⇒a⊥b，故A错；a2＝b2⇒|a|＝|b|，得不出a＝±b，不要与实数x，y满足|x|＝|y|⇒x＝±y混淆，故C错；a·b＝a·c⇒a·(b－c)＝0，同A知D错，故选B.3．D[解析]因为∠C＝90°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2＝16.4．D[解析]∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)).又∵AB⊥AD，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\r(3)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos∠ADB＝eq\r(3)|eq\o(BD,\s\up6(→))|cos∠ADB＝eq\r(3)|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(3).【能力提升】5．B[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,9)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,9)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\f(2,9)(62＋32)＝10.6．C[解析]由2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0得，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，即O，B，C三点共线．又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，故向量eq\o(BA,\s\up6(→))在向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq\o(BA,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).7．B[解析]m·n＝b(b－c)＋c2－a2＝c2＋b2－a2－bc＝0，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).8．B[解析]由题意F(1，0)，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0))，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(yeq\o\al(2,0),4)，－y0)).∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，∴eq\f(yeq\o\al(2,0),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(yeq\o\al(2,0),4)))－yeq\o\al(2,0)＝－4，解得y0＝2或y0＝－2.∴当y0＝2时，x0＝eq\f(yeq\o\al(2,0),4)＝1；当y0＝－2时，x0＝eq\f(yeq\o\al(2,0),4)＝1.故A(1，±2)，故选B.9．1[解析]由a＋b与ka－b垂直知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0.若a·b＝－1，则a与b夹角180°，与a，b不共线矛盾，∴k－1＝0，∴k＝1.10.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))[解析]平行四边形面积S＝|α||β|sinθ＝eq\f(1,2)，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ≥eq\f(1,2).又θ∈(0，π)，∴θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))).11．11[解析]本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识．方法一：投影法：设向量eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))的夹角为θ，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|·|eq\o(DA,\s\up6(→))|cosθ，由图可知，|eq\o(DE,\s\up6(→))|cosθ＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|，所以原式等于|eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝1，要使eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))最大只要使向量eq\o(DE,\s\up6(→))在向量eq\o(DC,\s\up6(→))上的投影达到最大即可，因为eq\o(DE,\s\up6(→))在向量eq\o(DC,\s\up6(→))上的投影达到最大为|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝1，所以(eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→)))max＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝1.方法二：因为eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))且eq\o(DA,\s\up6(→))⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝1，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|，所以要使eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))最大，只要|eq\o(AE,\s\up6(→))|最大即可，明显随着E点在AB边上移动|eq\o(AE,\s\up6(→))|max＝1，故(eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→)))max＝1.方法三：以D为坐标原点，eq\o(DC,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝(x，1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，1)，可得eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝x×0＋1×1＝1.因为eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝x，因为1≥x≥0，所以(eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→)))max＝1.12．解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，5)＋(6，0)＝(9，5)，即(x0－1，y0－1)＝(9，5)，∴x0＝10，y0＝6，即点C(10，6)．(2)设P(x，y)，则eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y－1)－(6，0)＝(x－7，y－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋3(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3(x－1)，3(y－1))－(6，0)＝(3x－9，3y－3)．∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴平行四边形ABCD为菱形，∴eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴(x－7，y－1)·(3x－9，3y－3)＝0，即(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0.∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0(y≠1)．故点P的轨迹是以(5，1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y＝1