盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）

盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年第一学期高二年级期终考试数学试题命题：校对：审核：一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.1.命题“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的定义写出命题的否定．【详解】命题“”的否定是．故选：D．2.已知函数的导函数的图像如下，若在处有极值，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据极值与导数的关系判断．【详解】由知，时，，时，，时，，是极值点．虽然有，但在7的两侧，，7不是极值点．故选：B．3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数的除法求解．【详解】由题意．故选：B4.平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是（）A.平行 B.相交且不垂直 C.相交且垂直 D.不确定【答案】C【解析】【分析】利用两个法向量的数量积等于，即可判断两个平面垂直，进而可得正确选项.【详解】因为，所以平面平面，故选：C.5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不必要也不充分条件【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式，可得，解得，，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.在三棱锥中，，，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算把用表示出来即可得．【详解】由题意是中点，∴，又，则，∴，若，则．故选：C．7.已知，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，展开后应用基本不等式可得最小值．【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立．故选：D．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．8.已知函数，若存在使不等式成立，则整数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对求导可得，单调递增，原不等式可化为存在使得有解，即对于有解，只需，利用导数判断的单调性求最小值即可.【详解】由可得，所以在单调递增，所以不等式成立等价于，所以对于有解，令，只需，则，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，，，所以，所以，整数的最小值为，故选：A.【点睛】方法点睛：若不等式（是实参数）有解，将转化为或有解，进而转化为或，求最值即可.二、多项选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分.9.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，求出的值，利用公式可求得双曲线的离心率的值.【详解】若双曲线的焦点在轴上，则，所以，双曲线的离心率为；若双曲线的焦点在轴上，则，可得，所以，双曲线的离心率为.故选：AD.10.在正方体中，若点分别为的中点，则（）A.平面B.平面C.平面D.平面【答案】AB【解析】【分析】作出平面截正方体珠完整截面，然后根据线面平行、垂直的判定定理判断．【详解】取的中点，如图，则是正方体的截面．，底面，平面，则，又，，平面，∴平面，而平面，∴，∴，同理，，平面，所以平面，A正确；由，平面，平面，得平面，B正确；由与平行且相等得是平行四边形，与相交且平分，且与不垂直（可证且，得），因此CD均错．故选：AB．【点睛】思路点睛：本题考查空间线面的平行与垂直关系，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键，实际上对特殊的空间图形如正方体的性质的掌握是本题的关键，方法是作出完整的截面，然后判断平行与垂直，对正方体的截面作出完整的截面后易判断各种关系．11.2018年世界著名的国际科技期刊《Nature》上有一篇名为《TheUniversalDecayofCollectiveMemoryandAttention》的论文，该文以12个不同领域的数据指出双指数型函数在描绘人类行为时的普适作用.关于该函数下列说法中正确的有（）A.当且时函数有零点B.当且时函数有零点C.当且时函数有极值D.当且时函数有极值【答案】BC【解析】【分析】由，，依次判断即可得出结果.【详解】因为函数为双指数型函数，所以因为，，，即，所以A错误，B正确；，因为函数有极值，所以有解当时，即，，，，即，即D错误.当时，不妨设则，由得；因此当时，；当时，；即为极值点从而C正确；故选：BC.12.已知无穷数列满足，其中为常数，，则下列说法中正确的有（）A.若，则是等差数列B.若是等差数列，则C.若，，，则是等比数列D.若是等比数列，则，，【答案】AC【解析】【分析】根据等差数列定义判断AB．由等比数列的定义判断CD．其中判断C时，可用数学归纳法证明数列是等比数列．【详解】A．时，，，是等差数列，A正确；B．若，则可取任何不等于的值，都满足，B错误，这个例子也说明D错误；若，，，，，假设，则成立，由数学归纳法知对的所有自然数都成立，，所以是等比数列，C正确．故选：AC．【点睛】思路点睛：本题考查等差数列与等比数列的判断．解题关键是确定判断各选项时需要判断的命题是什么．A是由已知的值结合证明数列是等差数列，C是由，，结合，求出后讲明这是等比数列即可，B是由数列是等差数列，结合去求解值，看是不是有，D也类似，因此选项BD我们可用一个非0的常数列检验为何值即可得．三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.若点在抛物线上，点为该抛物线的焦点，则的值为_______.【答案】【解析】【分析】由抛物线的方程求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义可得等于点到准线的距离即可求解.【详解】由可得其焦点，准线为，因为点在抛物线上，所以点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，故答案为：.14.有一块直角三角形空地，，米，米，现欲建一矩形停车场，点、、分别在边、、上，则停车场面积的最大值为________平方米.【答案】【解析】【分析】设米，米，根据可得出，利用基本不等式可求得的最大值，即为所求.【详解】设米，米，则，，，即，整理可得，由基本不等式可得，，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，停车场面积的最大值为平方米.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15.设函数，若，则有_____个零点；若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为____________.【答案】①.1②.【解析】【分析】问题转化为和有几个不同交点，画出函数的图象，结合图象求出的范围即可．【详解】若，则，即，根据函数和图象的交点可知，有一个零点.∵函数有两个不同的零点，∴和有2个不同交点，令，则过，画出函数和的图象，如图示：设直线为的切线，设切点，则，解得：，即当时，和相切有一个交点，故，结合图象时，存在1个交点或不存在交点，不合题意，故，综上：时，则有1个零点，有且仅有两个零点时，的取值范围是．故答案为：1，．【点睛】方法点睛：研究函数零点个数问题可转化为函数图象求交点个数，利用数形结合即可求解.16.已知数列与满足，，数列的前项的和为，若恒成立，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】由已知式写出为的式子，相减求得，检验是否相符，求得，用裂项相消法求得和，由表达式得的范围，从而得最小值．【详解】∵，所以时，，两式相减得，又，所以，有，从而，，显然，所以，的最小值为1．故答案为：1．【点睛】方法点睛：本题主要考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，数列求和的常用方法有：（1）公式法，（2）错位相减法，（3）裂项相消法，（4）分组（并项）求和法，（5）倒序相加法．四、解答题：本题共6题，第17题10分，其余每小题12分，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.从①、、成等比数列，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知等差数列的前项和为，，，，求数列的前项和为.【答案】答案见解析.【解析】【分析】选①，设等差数列公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的通项公式，可求得，进而可求得；选②，设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的通项公式，可求得，进而利用分组求和法可求得；选③，设等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式求出的值，可求得的值，求出数列的通项公式，可求得，进而利用分组求和法可求得.【详解】解:选①，设数列的公差为，则由可得，由、、成等比数列得，可得，所以，，解得或，若，，则，，；若，，则，，；选②，设数列的公差为，则由可得，由得，即，联立以上两式可得，，所以，，，；选③，设数列的公差为，则由可得，，，，由得，则，所以，，，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.18.如图，在直三棱柱中，，，，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）设，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.（1）利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值；（2）求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的长.【详解】平面，，以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、.（1），，∴，则异面直线与所成角的余弦值为；（2），，，，，，因此，.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.19.已知函数.（1）已知在点处的切线方程为，求实数的值；（2）已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得出，由此可求得实数的值；（2）求出函数的定义域为，由题意可知，在上恒成立，利用参变量分离法得出，利用基本不等式求出在上的最小值，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1），，，又在点处的切线方程为，，解得；（2）的定义域为，在定义域上为增函数，在上恒成立，在上恒成立，，由基本不等式，当且仅当时等号成立，故，故取值范围为.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.20.在如图所示的四棱锥中，底面是边长为2的正方形，△是正三角形，平面平面.（1）求平面与平面所成锐二面角的大小；（2）设为上的动点，直线与平面所成的角为，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】取的中点，取的中点，连接，以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系.（1）求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角得二面角；（2）设，，求出与平面法向量夹角的余弦的绝对值，利用函数的知识求得最大值．【详解】解：取的中点，取的中点，连接，因为底面是正方形，∴，∵△是正三角形，为中点，∴，又因为平面平面，平面平面，平面，∴平面，以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系.⑴,，,则，，设为平面的一个法向量，则，则，令，得，，,，,则，，设为平面的一个法向量，则，则，令，得，，∴，又，∴，∴面与平面所成锐二面角的大小为.⑵设，，则，则，因为直线与平面所成的角为，∴，当且仅当时取等号，故求的最大值为.【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求直线与平面所成的角，求二面角．求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．21.已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上．（1）求的方程；（2）若椭圆的左右焦点分别为，过点的直线与交于A、B两点，与的面积分别为，，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件可得，将点代入椭圆的方程结合即可求得的值，进而可得椭圆的方程；（2