利用MATLAB研究黑体辐射规律

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利用MATLAB研究黑体辐射规律[摘要]黑体是一种完全的温度辐射体,其辐射能力只与温度有关。与黑体相联系的温度称为色温。任何非黑体所发射的辐射通量都小于同温度下的黑体发射的辐射通量。[关键词]黑体辐射MATLAB语言图形绘制一．问题的提出MATLAB

语言是当今国际上科学界最具影响力和活力的软件。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。MATLAB

语言在各国高校与研究单位起着重大的作用，它集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能于一体的仿真软件。所以我们就可以利用matlab进行一些物理或者数学方面实验的仿真或是规律的研究。在此我利用matlab这款软件对黑体辐射的规律进行了一些研究。黑体辐射:所谓黑体是指入射的电磁波全部被吸收，既没有反射，也没有透射(当然黑体仍然要向外辐射)。显然自然界不存在真正的黑体，但许多地物是较好的黑体近似(在某些波段上)。在自然界中，人们似乎见不到黑体这种东西，但是任何物体都具有不断辐射、吸收、发射电磁波的本领。辐射出去的电磁波在各个波段是不同的，也就是具有一定的谱分布。基尔霍夫辐射定律(Kirchhoff)，在热平衡状态的物体所辐射的能量与吸收的能量之比与物体本身物性无关,只与波长和温度有关。按照基尔霍夫辐射定律，在一定温度下，黑体必然是辐射本领最大的物体，可叫作完全辐射体。这种谱分布与物体本身的特性及其温度有关，因而被称之为热辐射。为了研究不依赖于物质具体物性的热辐射规律，物理学家们定义了一种理想物体——黑体(blackbody)，以此作为热辐射研究的标准物体。但现实世界不存在这种理想的黑体，那么用什么来刻画这种差异呢?对任一波长，定义发射率为该波长的一个微小波长间隔内，真实物体的辐射能量与同温下的黑体的辐射能量之比。显然发射率为介于0与1之间的正数，一般发射率依赖于物质特性、环境因素及观测条件。如果发射率与波长无关，那么可把物体叫作灰体(greybody)，否则叫选择性辐射体。二．黑体辐射的规律及数学模型1.黑体辐射的规律黑体辐射是物理学中一个很重要的问题。普朗克就是在研究黑体辐射问题的过程中提出量子假说的，从而掀起了物理学发展的又一个高潮。前辈们在这方面已经做出了许多杰出量子力学中提到的带小孔的空腔是一种理想黑体。物理学家研究的是空腔中的电磁波辐射能量密度U，但是空腔中不仅充满了电磁场还包含着大量的空气分子，所以这里所说的黑体是指空气分子与电磁场处于热力学平衡的体系。我在这里讨论的黑体就是这种热力学系统。如果加热腔壁时，腔内壁就会发射电磁波，分子吸收电磁波后动能增加，气体温度升高，当分子吸收的电磁波和发射的电磁波相等的时候，两者就建立了平衡。这就是黑体升温的过程。现在我们再来看黑体辐射降温的过程。黑体向外辐射的时候，电磁波能量减小，黑体内部电磁场与空气分子之间出现了温差。这样就会使分子将储存的能量以电磁波的形式不断释放出来，以达到平衡。如果没有热源，黑体不断辐射就会使分子能量不断减小，这样黑体的温度就会就会降低。现在我想解决的问题是推导一个黑体辐射冷却方程。这个方程是描述黑体从较高温度到较低温度状态的变化。所以首先，我们必须分析每个态的热力学情况。上面说过，我讨论的黑体是空气分子与电磁场处于热力学平衡的体系。这种黑体的能量包含两部分，一部分是电磁场的能量，另一部分则是空气分子的能量。那么这两种能量的比例又如何呢？在任何温度下对任意波长的电磁波只吸收不反射的物体称为绝对黑体，简称黑体。根据实验得出两个实验规律。黑体的总辐射本领(能力)为E(T)=σT4(1)这就是斯特潘-玻尔兹曼定律，其中，σ=5.67×10-8W/(m2·K4)，σ称为斯特潘常数。黑体的单色辐射本领(能力)的峰值波长与温度的关系为Tλm=b(2)这就是维恩位移定律，其中，b=2.897×10-3m·K，b称为维恩常数。普朗克(Planck)黑体辐射公式是黑体辐射量计算的依据，它所确定的辐射量是单位波长间隔内(或单位频率间隔内)单位面积向2兀空间辐射的功率。在探测器标定中，探测器接收到的辐射量一般是在一个波长范围△A内的辐射功率，因此在应用普朗克黑体辐射公式时必须对黑体辐射公式在有界域21～A2内进行积分。当已知波长Al、A2和温度L计算黑体在波长间隔A2=22一A1之内的辐射出射度M时，常用的计算方法是查表计算，对于不同的温度丁，要对应不的表格。MATLAB具有强大的数值计算功能，并且自带了trapz()、quad()等一些数值积分函数。本文利用MATLAB求解普朗克黑体辐射公式在有界域A1～五内的积分，并应用该积分解对距离黑体一定距离处探测器表面的辐照度值E进行研究。由普朗克黑体辐射定律可知：黑体的光谱辐出度和波长、温度有关系Cl为第一辐射常数，C2为第二辐射常数。对于不同温度黑体的光谱辐出度的精确值有专门的书籍和表格可供查阅。黑体在某一平衡温度时的总辐出度，可积分得到。黑体在某温度的总辐出度与它的温度的四次方成比例。黑体在有界域21～A2内辐出度的计算在对红外探测器标定中，往往用到的是某波长范围内的辐射度量，因此在应用时都不能直接对M(A，r)在AA波段内的辐出度进行计算，必须对普朗克黑体辐射公式在一定谱段Al～A2内进积分，解黑体辐射公式的积分方程。根据普朗克提出的黑体辐射公式，计算斯特潘常数和维恩常数。以温度为参数，单色辐射本领与波长的曲线有什么特点，峰值与波长的关系曲线有什么特点？2.数学模型黑体的单色辐射本领是在单位时间内从物体表面单位面积上所发射的波长在λ到λ+dλ范围内的辐射能量dE(λ,T)与波长间隔dλ之比(3)M(λ,T)表示在单位时间内从物体表面单位面积发射的波长在附近单位波长间隔内的辐射本领，是波长和温度的函数，其单位是W/m3。普朗克提出的黑体单色辐射本领的公式为(4)其中，k为玻尔兹曼常数，h为普朗克常数，c为真空中的光速。对波长从0到无穷大积分就得总辐射本领，即：黑体单位面积辐射能量的功率(5)设(6)(4)式可化为(7)由(6)式得，所以(5)式可化为(8)其中，为常数，I为积分(9)手工计算积分I比较麻烦，其步骤如下(10)设y=nx，可得(11)由此可得CI=5.6688×10-8(12)这就是斯特潘常数。当波长趋于零时，单色辐射本领趋于零；当波长趋于无穷大时，单色辐射本领也趋于零。因此单色辐射本领随波长的变化有极值。令dM(x,T)/dx=0，可得方程：x=5(1-e-x)(13)一般用迭代算法计算上式之值，除了零解之外，可得xm的值为4.965，由(14.1.4)式可得维恩常数=0.0029(14)这就是维恩常数。理论值与实验值符号得很好。[算法]用MATLAB的符号积分计算积分可直接计算I的值，从而计算斯特潘常数。设(15)用MATLAB的符号导数先求y的导数，求导数的零解而得xm之值，从而计算维恩常数。取温度为参数向量，取波长为自变量向量，形成温度和波长矩阵，根据普朗克黑体辐射公式可直接计算单色辐射本领，画出以波长为自变量的曲线族。每条曲线的峰值坐标可用最大值指令获得，至于峰值曲线则根据维恩定律计算。三．研究黑体辐射式的图像(1)取温度为参数，黑体的单色辐射本领与波长的关系如图1普朗克黑体单色辐射能力与波长的关系曲线所示。不论温度是多少，单色辐射本领随波长的增加先增加再减小，峰值波长与温度的关系遵守维恩位移律：峰值波长与温度成反比。温度升高时，峰值波长变短，峰变高。(2)曲线下的面积表示总辐射本领，温度越高，曲线下的面积越大，总辐射本领越强。Matlab实验程序如下：%温度不同的普朗克黑体单色辐射能力与波长的曲线clear%清除变量k=1.38054e-23;%玻尔兹曼常数h=6.626e-34;%普朗克常数c=2.997925e8;%光速sigma=5.6688e-008;%斯特潘常数b=0.0029;%维恩常数t=1400:100:2000;%热力学温度向量n=length(t);%向量长度lambda=[0:0.01:5]*1e-6;%波长向量lambda(1)=eps;%给零加一小量使分母不为零[T,L]=meshgrid(t,lambda);%波长和温度矩阵M=2*pi*h*c^2./(exp(h*c./(k*T.*L))-1)./L.^5;%单色辐射能力figure%创建图形窗口plot(lambda*1e6,M)%画曲线hl=legend([repmat('\itT\rm=',n,1),num2str(t'),repmat('K',n,1)]);%标记图例fs=16;%字体大小set(hl,'fontsize',fs)%设置图例大小gridon%加网格title('普朗克黑体单色辐射能力与波长的关系','fontsize',fs)%标题xlabel('波长\it\lambda\rm/\mum','fontsize',fs)%横坐标yl='单色辐射能力\itM\rm(\it\lambda\rm,\itT\rm)/(W\cdotm^-^3)';%纵坐标字符串ylabel(yl,'fontsize',fs)%纵坐标txt=['\itb\rm='num2str(b)'m\cdotK'];%维恩常数文本txt=[txt',\it\sigma\rm='num2str(sigma)'W/(m^2\cdotK^4)'];%斯特潘常数文本text(0,max(M(:))/10,txt,'fontsize',fs)%显示常数holdon%保持图像[mx,ix]=max(M);%找最大值和下标stem(lambda(ix)*1e6,mx,'--','filled')%画直杆图text(lambda(ix)*1e6,mx,[num2str(lambda(ix)'*1e6)],'fontsize',fs)%显示峰值波长t=1300:2020;%较密的温度向量lambda=b./t;%波长向量m=2*pi*h*c^2./(exp(h*c./(k*t.*lambda))-1)./lambda.^5;%单色辐射能力向量plot(lambda*1e6,m)%画峰值曲线图1普朗克黑体单色辐射能力与波长的关系曲线普朗克黑体单色辐射斯特潘常数和维恩常数求法。Matlab实验程序如下：%普朗克黑体单色辐射斯特潘常数和维恩常数求法clear%清除变量k=1.38054e-23;%玻尔兹曼常数h=6.626e-34;%普朗克常数c=2.997925e8;%光速symsx%定义符号变量y=x^3/(exp(x)-1);%被积函数i=int(y,0,inf)%求积分sigma=eval(2*pi*k^4/h^3/c^2*i)%求斯特潘常数y=x^5/(exp(x)-1);%普朗克约化公式d=diff(y)%求符号导数s=solve(d)%求符号零解e=eval(s)%求零解的数值b=h*c/e/k%求维恩常数[结果]i=pi^4/15sigma=5.6688e-008d=(5*x^4)/(exp(x)-1)-(x^5*exp(x))/(exp(x)-1)^2s=lambertw(0,-5/exp(5))+5e=4.9651b=0.0029i=pi^4/15sigma=5.6688e-008d=(5*x^4)/(exp(x)-1)-(x^5*exp(x))/(exp(x)-1)^2s=lambertw(0,-5/exp(5))+5e=4.9651b=0.0029四．实验结论本文对普朗克黑体辐射模型进行分析，应用MATLAB的指令，画出了黑体辐射曲线族，并画出了峰值线的分布，加深了对黑体辐射的理解。同时也利用MATLAB强大的数值计算功能，通过调用MATLAB中的trapz()和quad()函数，利用梯形法和辛普森法分别求解了普朗克黑体辐射公式在有界域A，如内的数值积分。并应用该积分解，对距离黑体一定距离处探测器表面的辐照度值E进行了研究。研究表明，利用MATLAB，只需要编写简单的几行程序即可实现方便快速地计算出黑体的辐出度和探测器表面的辐照度值，且精度完全能够满足要求。通过编制通用的GUI计算界面使得计算更方便、直观，不仅省去了大量查表的时间，也为我们研究各参数对E值的影响提供了方便。普朗克的“黑体辐射定律”创定在不同温度下，此定律在绝大多数情况下都成立，但如何在极微小的距离中稳定控制物体，达成能量传导的测试有极高的困难度。百多年来，科学家始终无法突破。而普朗克也对此定律在微距物体间是否仍成立，持保留态度。在讨论普朗克黑体辐射定律的历史时都犯了严重的错误。尽管这些错误概念在四十多年前就已经被物理学史的研究者们指出，事实证明它们依然难以被消除。部分原因可能在于，普朗克最初量子化能量的动机并不是能用三言两语就能够道清的，这里面的原因在现代人看来相当复杂，因而不易被外人所理解。丹麦物理学家HelgeKragh曾发表过一篇文章清晰地阐述了这种错误是如何发生的。而我们利用了这一软件清楚的看到了黑体辐射能力与波长的关系，加深了我们对黑体辐射这种物理现象的认识，知道了物理学中的紫外灾难的产生，以及爱因斯坦和普朗克的争论。经过一个星期的课程设计，过程曲折可谓一语难尽，感想颇多。在此期间我们也失落过，也曾一度热情高涨。从开始时满富盛激情到最后汗水背后的复杂心情，点点滴滴无不令我回味无长。设计确实有些辛苦，但苦中也有乐，在如今单一的理论学习中，很少有机会能有实践的机会，但我们可以，而且设计也是一个团队的任务，一起的工作可以让我们有说有笑，相互帮助，配合默契，多少人间欢乐在这里洒下，经过这几天的合作，我感觉我和同学们之间的距离更加近了；我想说，确实很累，但当我们看到自己所做的成果时，心中也不免产生兴奋。通过这次课程设计，加强了我们动手、思考和解决问题的能力。通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。这次课程设计终于顺利完成了，在设计中遇到了很