现代控制理论第一章

线性系统理论

吴小娟电子科技大学自动化工程学院主楼C2-519教材《现代控制理论》〔第二版〕，刘豹主编，机械工业出版社主要参考书《线性系统理论》〔第一局部〕，郑大钟主编，清华大学出版社

研究对象:线性系统、非线性系统、时变系统、多变量系统、连续与离散系统工具：状态空间法，系统输入/输出特性和内部性能改善系统的方法：绪论状态反响、输出反响状态变量及状态空间表达式模拟结构图状态空间表达式的建立状态方程的线性变换状态空间表达式求传递函数

第一章状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式经典控制理论现代控制理论1.1状态变量及状态空间表达式状态变量

能够完全描述系统运行状态的的一组最小变量。一、状态及状态空间〔1〕完全描述t=t0时变量的值〔初始状态〕，那么t≥t0时，在输入作用下能完全确定系统行为。〔2〕最小变量该组变量是线性无关。u(t)RC2C1C3i1i2i3例：RC网络如以下图所示，试选择系统的状态变量。1.1状态变量及状态空间表达式y(t)

∵uc1+uc2+uc3=0，即线性相关∴最小变量组的个数是2

1.1状态变量及状态空间表达式在t=t0时，假设uc1(t0)，uc2(t0)和uc3(t0)，那么当t≥t0时，由u(t)可求得输出y(t)。因此，可选uc1(t)，uc2(t)，uc3(t)作为状态变量注：

状态变量是具有非唯一性的。如上例中，最小变量组是2个独立变量，可在uc1,uc2,uc3中任选2个，选法不唯一。1.1状态变量及状态空间表达式n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)构成的状态矢量

状态矢量1.1状态变量及状态空间表达式

由系统的n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的n维空间，称为状态空间。状态空间状态轨迹

1.1状态变量及状态空间表达式

系统状态矢量在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线。例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10,x20,

x30。在u(t)作用下，系统的状态开始变化，运动规律如下：由状态变量x和输入变量u构成的一阶微分方程组：状态变量x和输出变量y的函数关系：状态方程输出方程1.1状态变量及状态空间表达式状态方程和输出方程组合起来，构成对一个系统完整的动态描述称为系统的状态空间表达式。1.1状态变量及状态空间表达式状态空间表达式对于n阶线性定常系统〔n个状态，r个输入，m个输出〕多输入多输出系统对象输出元件u1

u2

urx1

x2

xny1

y2

ym

1.1状态变量及状态空间表达式二、状态空间表达式一般形式式中：A—系统矩阵，n×n阶常数矩阵B—控制矩阵〔输入矩阵〕，n×r阶常数矩阵C—输出矩阵，m×n阶常数矩阵D—直接传递矩阵，m×r阶常数矩阵1.1状态变量及状态空间表达式1.2模拟结构图模拟结构图：反映系统各状态变量之间的信息传递关系。具体方法如下：〔1〕确定积分器的个数〔=状态变量数=微分方程阶数〕，将其画在适当位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量；〔2〕由状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；〔3〕用箭头连接各元件。例：系统状态空间表达式为：1.2模拟结构图a11c1b1b2a22a21a12c2∫dt∫dt+++++x1x2y1.2模拟结构图u练习:画出以下系统的模拟结构图1.2模拟结构图1.3状态空间表达式的建立建立系统状态空间表达式的方法：

机理模型结构方框图传递函数一、由系统机理建立状态空间表达式1.3状态空间表达式的建立例：考虑人口分布问题。设某国1988年人口分布：城市人口为107，农村人口为9×107。人口的流动情况为：每年有4%的上一年城市人口迁去农村，同时有2%的上一年农村人口迁到城市。整个国家的人口自然增长率为1%，建立人口按年分布方程。解：确定状态变量，城市人口x1和农村人口x2

取1988年为k=0，k+1年时城市人口和农村人口的分布为：1.3状态空间表达式的建立1.3状态空间表达式的建立例：机械运动系统，M为物体质量，K为弹簧系数，B为阻尼器，f为外加的力，y为受力后弹簧的位移，试写出该机械系统的状态方程。MKByf1.3状态空间表达式的建立根本步骤：将结构图中每个方框的传递函数分解为单环节的组合〔一般为惯性环节和积分环节〕，求出相应的模拟结构图。b.把每个积分器的输出选择为一个状态变量，列写系统的状态方程和输出方程。1.3状态空间表达式的建立二、由结构方框图建立状态空间表达式根本环节结构图分解〔1〕一阶环节1.3状态空间表达式的建立U(s)Y(s)1.3状态空间表达式的建立〔2〕二阶环节U(s)Y(s)1.3状态空间表达式的建立1.3状态空间表达式的建立U(s)Y(s)例：某系统的结构方框图如下：

试建立系统状态空间表达式。1.3状态空间表达式的建立

将每一个根本环节的输出设为状态变量，列写状态空间表达式：

1.3状态空间表达式的建立1.3状态空间表达式的建立习题：某系统的结构图如下：试建立系统状态空间表达式。〔1〕传递函数中没有零点系统微分方程为：三、由传递函数建立状态空间表达式1.3状态空间表达式的建立

系统模拟结构图1.3状态空间表达式的建立每个积分器的输出取为状态变量：

1.3状态空间表达式的建立状态空间表达式为：1.3状态空间表达式的建立A为友矩阵〔主对角线上方的元素均为1，最后一行元素可任意取，其余元素均为0〕例：系统输出的微分方程为：1.3状态空间表达式的建立求其状态空间表达式。1.3状态空间表达式的建立解：〔2〕传递函数中有零点时微分方程为：1.3状态空间表达式的建立模拟结构图1.3状态空间表达式的建立其中，a)当m=n时，

对应的状态空间表达式为：1.3状态空间表达式的建立例:系统的传递函数：试写出状态空间表达式。解：1.3状态空间表达式的建立b)当时，，，1.3状态空间表达式的建立试写出状态空间表达式。解：将传递函数整理成标准形式

例：系统的传递函数1.3状态空间表达式的建立1.3状态空间表达式的建立

一、线性变换的概念

对于给定系统，可以选取多种状态变量来描述,所选取的状态矢量之间的关系实际是一种矢量的线性变换。

1.4状态方程的线性变换二、根本关系式设一个n阶系统，状态矢量为x,其状态空间表达式为:

取线性变换为,其中:Ｐ是阶非奇异阵。1.4状态方程的线性变换 比较可得：可见，满足上述条件的变换矩阵P有无穷多。故状态变量不是唯一的。

1.4状态方程的线性变换例:试建立下面RLC网络的状态空间表达式：解：根据电路原理，得：1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换4.验证两状态空间表达式的变换关系1.4状态方程的线性变换

经变换后的状态为：对应的变换矩阵为：1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换三、状态变换的根本性质1.系统的特征值系统

系统矩阵A的特征值，即特征方程的根。当A为实数方阵，其特征值为实数或共轭复数；当A为实数对称方阵，那么其特征值都为实数。1.4状态方程的线性变换2.状态变换不改变系统的特征值 证明：假设能证明

那么可以证出矩阵A和的特征值必然相等 1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换3.特征矢量一个n维矢量pi经过以A作为变换阵的变换，得新矢量如果，那么称pi为A对应于的特征矢量，此时四、化A阵为对角形或约当标准形 设系统的特征值为1. 假设互不相同 定理：线性定常系统，假设其特征值互不相同，那么必存在一非奇异矩阵P，通过线性变换，使A阵化为对角形。 1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换即：1.4状态方程的线性变换

1.4状态方程的线性变换注：A阵转化为对角形以后。状态方程中，各状变量间的耦合关系即随之消除，称之为状态解耦。

1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换

3.由各特征矢量构成P阵：例：设系统的状态方程为：

试求将A阵变换为对角阵后的状态方程。解:1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换例：试将以下状态空间表达式化为约旦标准型1.4状态方程的线性变换解：〔1〕求取A的特征值〔2〕求各特征根对应的特征矢量1.4状态方程的线性变换1.4状态方程的线性变换〔3〕求取变换矩阵〔4〕求取变换后矩阵1.4状态方程的线性变换注：

当A为标准型，即1.4状态方程的线性变换〔a〕A的特征值无重根时，其变换矩阵为：1.4状态方程的线性变换〔b〕A的特征值有重根时，设，其变换矩阵为：1.4状态方程的线性变换〔c〕A的特征值有共轭复根时，设

一、传递函数〔1〕设单输入单输出系统的状态空间表达式为：

1.5状态空间表达式求传递函数

输出方程取拉氏变换：

1.5状态空间表达式求传递函数零初始条件下，取拉氏变换：即：

1.U-X

间的传递函数为：

1.5状态空间表达式求传递函数2.U-Y间的传递函数为：

〔2〕设多输入多输出系统的状态空间表达式为：

1.5状态空间表达式求传递函数

其中，

同理，可得：1.U-X

间的传递函数为：

1.5状态空间表达式求传递函数2.U-Y间的传递函数为：

例：

试求传递函数。1.5状态空间表达式求传递函数解：1.5状态空间表达式求传递函数1.5状态空间表达式求传递函数 故： 反变换得微分方程：

1.5状态空间表达式求传递函数1.5状态空间表达式求传递函数二、子系统在各种联结时的传递函数设系统1为设系统2为1.5状态空间表达式求传递函数1.并联并联联结系统方框图1.5状态空间表达式求传递函数因此系统传递函数