2023年上海市静安区中考二模数学试卷（含解析）

2023年上海市静安区中考二模数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.化简（-V）2的结果是（）

A.-%6B.-?C.%6D.%5

2.下列无理数中，在-2与0之间的数是（）

A.-1-72B.1-V2C.-1+72D.1+72

3.下列关于9的算术平方根的说法正确的是（）

A.9的算术平方根是3与-3B.9的算术平方根是-3

C.9的算术平方根是3D.9的算术平方根不存在

4.甲、乙两名射击运动员分别进行了相同次数的射击训练，如果将甲、乙两人射击环

数的平均数分别记作章和耳，方差分别记作篇和黑，那么下列描述能说明甲运动员

成绩较好且更稳定的是（）

A.a＞x乙且S甲＜S乙B.而।＞x乙且S市＞S乙

C.Aqi＜*乙且$甲＜S乙D.瓯1＜x乙且＞S乙

5.某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元,

如果纯燃油行驶，则燃油费为75元.己知每行驶1千米,纯燃油费用比纯用电费用多0.6

元.如果设每行驶1千米纯用电的费用为x元，那么下列方程正确的是（）

7525,7525〃7525-7525

AA.--------=—B.——=---------C.—=--------D.--------=—

x-0.6xxx-0.6xx+0.6x+0.6x

6.下面是“作/AO8的平分线'’的尺规作图过程：

①在04、。8上分别截取。。、0E,使0D=0E；②分别以点£＞、E为圆心，以大于

的同一长度为半径作弧，两弧交于/A08内的一点C；

③作射线0C.

0C就是所求作的角的平分线.

B.两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等

C.两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等

D.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

二、填空题

7.1的倒数是.

8.计算：（a-b\+2b2=.

9.已知=那么/（百）=.

10.方程方x-1=x的解是.

11.关于X的一元二次方程/一3》+4=0有两个不相等的实数根，则左的取值范围是

12.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题；“一百馒

头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100

个和尚分100个慢头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个.那么

大和尚有人.

13.毕业典礼上，李明、王红、张立3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么王红

恰好站在中间的概率是.

14.已知半径分别是2和6的两圆的圆心距为6,那么这两个圆有个公共点.

15.如图，已知四边形A8CQ中，点P、。、R分别是对角线AC、8。和边8的中点.如

UUU

果设=BC=b,那么向量PQ=（用向量Q、〃表示）.

试卷第2页，共6页

16.某旅游风景区为满足不同游客的需求，推出了100、150、200（单位：元）三种价

格的套票.景区统计了这三种套票一年的销售情况，并将销售量数据绘制成扇形统计图

（如图所示）.那么这一年销售的套票的平均价格是元.

17.如图，在A8C中，AB=AC,将「ABC绕着点B旋转后，点C落在AC边上的点E

处，点A落在点。处，3E与4B相交于点尸，如果8E=8尸，那么NDBC的大小是

Dd

-E

18.在平面直角坐标系中，我们定义点A（x,y）的“关联点”为B（x+y,x-y）.如果

已知点A在直线），=x+3上，点B在。的内部，0。的半径长为3亚（如图所示），

那么点A的横坐标x的取值范围是.

三、解答题

x2-4x+43_1

19.化简求值:,其中》=却.

X•'>-xX

20.已知反比例函数y=2的图像经过点(-1,4).

X

⑴求火的值；

(2)完成下面的解答过程.

x+3>l®

解不等式组■4>[②

.X

解：解不等式①，得;

在方格中画出反比例函数y=A的大致图像，根据图像写出不等式②的解集是

X

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

-4-3-2-I01234

从图中可以找出这两个不等式解集的公共部分，得到原不等式组的解集是.

21.如图，已知CE、CF分别是平行四边形A8CD的边AB、AQ上的高，对角线AC、

8。相交于点0，且CE=CF.

/•

力.C

()

/I-HE

(1)求证：四边形ABCO是菱形；

⑵当AB:BE=3:2,CE=5时，求/C4E的余切值.

22.已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，小明家与街心公园相距900米,

小明家与超市相距1200米.小明和妈妈从家里出发，匀速步行了20分钟到达街心公园;

试卷第4页，共6页

两人在公园停留20分钟后，妈妈按原来相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行

5分钟到达超市购买文具用品，停留10分钟后，匀速骑自行车返回家，发现妈妈比他

早到家io分钟.如图反映了这个过程中小明离开家的距离y（米）与离开家的时间工（分

钟）的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）小明从家到街心公园的速度为（米/分）：

（2）小明从街心公园到超市的速度为（米/分）；

（3）小明从超市骑车返回家时，求他离开家的距离y（米）与离开家的时间X（分钟）的

函数解析式，并写出X的取值范围.

23.如图，在矩形A8CO中，点P是边8C的中点，。是的外接圆，O交边AB

于点E.

/------

-------------

.（）

B~7rc

（1）求证：PA=PD；

（2）当AE是以点。为中心的正六边形的一边时，求证：AE=EP-

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4x+c（aH0）与x轴分别交于点

4（1,0）、点8（3,0）,与丫轴交于点C,连接BC,点尸在线段8c上，设点尸的横坐标

为m.

(1)求直线8c的表达式；

(2)如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为。：

①求新抛物线的表达式(用含用的式子表示)，并写出，〃的取值范围；

②过点尸向x轴作垂线，交原抛物线于点E,当四边形AEQP是一个轴对称图形时，求

新抛物线的表达式.

25.如图，扇形MON的半径为「，圆心角/MON=90。，点A是AW上的动点(点A不

与点"、N重合)，点5、C分别在半径OM、ON上，四边形ABOC为矩形，点G在

线段8C上，且CG=2BG.

(2)如图，以A为顶点、AC为一边，作NC4P=NBCO,射线AP交射线ON于点P,联

结AN,OG.

①当N8G0=NANP时，求aOBG与04NP的面积之比；

②把V0G8沿直线OG翻折后记作△OG",当OB'J.BC时，求NP的正切值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】根据积的乘方与基的乘方求解即可.

【详解】解：原式=(-1)2.，)2=炉,

故选：C.

【点睛】本题考查了积的乘方与塞的乘方，熟悉相关性质是解题的关键.

2.B

【分析】根据无理数的定义进行估算解答即可.

【详解】解：A、V-2<-72<-l.

,,一3<—1—V2<—2，

.••此项不合题意；

B、*.•-2<-V2<-1>

-l<l-V2<0,

，此项合题意；

C、：1<血<2，

•,0<—1+yfl.<1

：.此项不合题意；

D、•1<y/o,<2，

...2V1+4z<3

，此项不合题意；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为

两个整数之比的数，即无限不循环小数.

3.C

【分析】根据算术平方根的定义逐一判断即可得答案.

【详解】9的算术平方根是3,

：4B、D三个选项都错误，不符合题意，C选项正确，符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握定义是解题关键.

答案第1页，共18页

4.A

【分析】根据平均数及方差的意义直接求解即可.

【详解】解：•••甲运动员成绩较好且更稳定，

，甲的平均数大于乙，且方差比乙小时，能说明甲成绩较好且更稳定.

故选：A.

【点睛】本题主要考查平均数及方差的意义，熟练掌握平均数及方差的意义是解答此题的关

键.

5.D

【分析】根据纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元列分式方程

即可.

【详解】解：由每行驶1千米纯用电的费用为x元，得由每行驶1千米燃油费用为"+06)

元，

・.・--75-=—25，

x+0.6x

故选：D.

【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系列出相应的分式

方程.

6.A

【分析】由作图可得EO=。。，EC=DC,根据三角形全等的判定方法“SSS”解答.

【详解】解：连接EC,DC,由作图可得EO=。。，EC=DC,EO=DO,

在，OEC和0£>C中

EC=DC

CO=CO

OD=OE

答案第2页，共18页

OEC区。。C(SSS),

二NAOC=ZBOC,

...OC平分/A08.

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的应用，以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并

读懂题目信息是解题的关键.

7.5

【分析】根据倒数的定义求解即可.

【详解】••弓x5=l,

•••g的倒数是5.

故答案为：5

【点睛】此题考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

8.a2-2ab+3b2

【分析】利用完全平方公式展开再合并同类项即可.

【详解】解：(。-城+0

=a2-2ab+b2+2b2

=a2-2ab+3b?，

故答案为/-2"+3巴

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的展开式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.

9.2

3

【分析】把x=G代入/(力=犷'，根据负整数指数幕运算法则计算，再化简为最简二次根

式即可得答案.

【详解】V/(x)=x-1,

/(⑹=(同'=专=当'

故答案为：皇

3

【点睛】本题考查负整数指数幕的运算及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键.

答案第3页，共18页

10.x=l

【分析】根据一元二次方程和二次根式的性质求解即可；

【详解】=

**•2x-l=x2,

:.(1)2=0,

.•4=X)-1,

2x-l>0,

x>—,

2

/.x=1；

故答案是尤=1.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和二次根式的性质，准确计算是解题的关键.

9

<

4-

【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，知△=乂-4">0,然后据此列出关于攵

的不等式，解不等式即可.

【详解】・・・/-3工+2=()有两个不相等的实数根，

••.△=9-必>0,

9

解得

4

9

故答案为：k<.—

4

12.25

【分析】设大和尚有x人，小和尚有，’人，根据题意列出二元一次方程组，解之即可解答.

【详解】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，

依题意得：，

x+y=100

[x=25

解得：”，

[y=75

可知大和尚有25人，小和尚有75人.

故答案为：25.

答案第4页，共18页

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、解二元一次方程组，理解题意，正确列出方程

组是解答的关键.

13.-

3

【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲站在中间的结果数，然后根据概

率公式求解即可.

【详解】解：分别用甲、乙、丙表示王红、李明、张立，画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中甲即王红站在中间的结果数为2,

21

所以王红恰好站在中间的概率=》=彳.

故答案为：—.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出

n,再从中选出符合事件A或B的结果数目相，然后根据概率公式求出事件A或8的概率.

14.2

【分析】根据圆心距于两个圆半径间的关系即可判断得解.

【详解】解：；半径分别是2和6的两圆的圆心距为6,

.\6-2<J<6+2

两圆相交，即是2个圆有两个交点，

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查了圆与圆的位置关系，当外切时，圆心距=两圆半径的和，当内切时,

圆心距=两圆半径的差，两圆相交时，圆心距介于两圆半径的差与和之间时，圆有两个交点.

15.~a~—b

22

【分析】先证明QRPQ分别是△BCD的中位线，从而得到=QR=；b,

2.乙

则PQ=PR_QR=ga-gb.

答案第5页，共18页

【详解】解：•.•点p、Q、R分别是对角线AC、8。和边cn的中点，

:.QR，PQ分别是△BCD△4CO的中位线，

AQR//BC,QR=；BC,PQ//AD,PR=^AD,

•AD=4，BC=b,

PR=~^a>QR=,

：.PQ=PR-QR=；a-；b,

故答案为：^-a-^-h.

22

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，向量的运算，证明QR，PQ分别是

△BCD,△AC。的中位线是解题的关键.

16.175

【分析】根据加权平拘束求解即可.

【详解】解：这一年销售的套票的平均价格=100xl0%+150x30%+200x60%=175（元），

故答案为：175.

【点睛】本题主要考查了加权平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键.

17.108°/108度

【分析】设/A=x,由A8=AC,BE=BF得/ABC=NC,NBEF=/BFE,再由旋转

的性质得/===BE=BC,从而有/CBE=/A=x,同理可证:

NEBF=/A=x,利用三角形的内角和定理构造方程即可求解.

【详解】解：设/A=x,

AB=AC,BE=BF,

：.ZABC=ZC,NBEF=NBFE,

•.•将ABC绕着点8旋转后，点C落在4c边上的点E处，点A落在点。处，QE与A8相交

于点F,

:.NDEB=NC=NABC=NDBE,BE=BC,

/BEC+NC+/CBE=ZABC+NC+NA=180。，

/CBE==x,

同理可证：ZEBF=ZA=x,

：.NDBE=ZABC=NC=NBEC=2x,

答案第6页，共18页

・・・ZABC+/C+/A=180。，

/.2x+2x+x=180°,

解得x=36。,

・・・NDBC=NDBE+NCBE=3x=l08°

故答案为108°.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，旋转的性质以及一元一

次方程的应用，熟练掌握三角形的内角和定理时解题的关键.

18.-3<x<3

【分析】先求得点A（x,y）的“关联点”为8（2x+3,-3）,过点C（0,-3）作）轴的垂线A。，交

圆。于点A、D,连接OA,则点8在线段（两端点除外）上运动，利用勾股定理及垂

径定理即可求解.

【详解】解：：），=x+3,

x+y=x+x+3=2x+3,x-y=x-（x+3）=-3,

:,点A（x,y）的“关联点”为B（2x+3,-3）,

过点C（0,-3）作y轴的垂线AQ,交圆。于点A、D,连接。4,则点8在线段AO（两端点

除外）上运动，

在Rt..OCD中，AC=ylOA2-OC2=，卜0丫-3?=3，

轴，了轴过圆心，

AC=DC=3,

的取值范围为一3<x<3.

故答案为:-3<x<3.

【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，一次函数数等知识，熟练掌握垂径定理是解题的

答案第7页，共18页

关键.

【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可.

X2-4X+4(2X-2,

【详解】解:

(x-272x-2-x

x(x-l)x

二('-2)2产2

x(x-l)X

=(1)2X

x(x-l)x-2

_x-2

=,

x-\

把犬=岸=_2代入得:

原式=彳-2彳-24

-2—13

【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计

算.

20.(l)k=-4

(2)x>—2；—4<x<0；—2<x<0

【分析】⑴把点(T4)代入y=1中即可求解；

X

⑵先解出不等式X+3>1的解集为x>_2；然后在直角坐标系中画出y="的图像，得到K>1

XX

的解集，最后即可求出不等式组的解集.

【详解】⑴解：将点(-L4)代入y=8中，

X

・♦•左二-lx4=-4；

(2)解：不等式x+3>1的解集为-2,

4

画出y=--及y=i在直角坐标系中的图像如下图所示：

x

答案第8页，共18页

4

由图可知，不等式-->1的解集为-4<x<0,

x

x+3>l①

在数轴上画出不等式组4_的解集如下图所示:

——>1②

二原不等式组的解集是：-2<x<0.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解不等式组，数形结合的思想，在数

轴上表示不等式的解集，正确的理解题意是解题的关键.

21.(1)证明见解析

⑵石

【分析】(1)利用等面积法证明即可;

(2)可设A8=3x,8E=2x,则BC=AB=3x,在RtEBC中，由勾股定理得，52+4x2=9x2,

「AFr-

解方程求出AE=5不，则cot/C4E=^=石.

CE

【详解】(1)证明：:CE、CT分别是平行四边形ABC。的边AB、AO上的高，

,*•S四边形ABCD=24°°F=~2A",

答案第9页，共18页

ADCF=ABCE,

又•:CE=CF,

AD=AB,

.••平行四边形ABC。是菱形；

(2)解:VAB:BE=3:2,

.•.设AB=3x,BE=2x,

•••四边形A8CO是菱形，

BC=AB=3x,

在RtEBC中,由勾股定理得BC?=3炉+。炉，

52+4X2=9/,

解得x=6(负值舍去)，

・•・AE=AB+BE=5x=5y/5,

4Er

在RtZXAEC中，cotACAE=—=V5.

CE

【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，求余切值，熟

知菱形的性质与判定是解题的关键.

22.(1)45

(2)60

(3)y=-80x+5600(554x470)

【分析】(1)根据题图信息即可求解；

(2)根据题图信息即可求解；

(3)由题可知，妈妈回家所用时间为20min；妈妈比小明早到家10分钟，小明骑自行车返

回家的时间为：20+10-(55-40)=15min；小明到家时途中所对应的坐标为：(70,0)：将相

关点代入函数解析式丫=履+分中即可求解;

【详解】(1)解：等=45m/min,

故答案为：45；

1200-900迎=60m/min

45-405

答案第10页，共18页

故答案为：60；

（3）由题可知，妈妈回家所用时间为20min；妈妈比小明早到家10分钟,

，小明骑自行车返回家的时间为：20+10-（55-40）=15min；

，小明到家时途中所对应的坐标为；（70,0）；

设小明从超市骑车返回家时，他离开家的距离）’（米）与离开家的时间x（分钟）的函数解

析式为y="+〃

,、/、[1200=55A:+Z>

将（55,1200）、（70,0）代入广区+方得，0=70忆+人；

解„得,：|仅匕==5-68000,

/.y=-80x+5600（55<x<70）.

【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题图信息得到相关点的坐标是解本题的关键.

23.（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】（1）根据矩形的性质及线段中点的定义得到三角形全等的条件，则ABPmDCP,

根据“全等三角形的对应边相等“得到PA=PD；

（2）连接04OE,OD,OP,并延长P。交4。于点M,先证明OP〃A8,再根据“有一个

角是60的等腰三角形是等边三角形“得到aAOE为等边三角形，然后根据“两直线平行，内

错角相等”得到/EOP=/4EO=60,则/AOE=/EOP=60,最后根据“在同圆中，相等

的圆心角所对的弧相等''得到AE=EP-

【详解】（1）四边形ABCO是矩形，且点尸是边BC的中点，

AB=DC,NB=/C,BP=CP,

在"BP和“。CP中，

'BP=CP

■NB=NC,

AB=DC

ABP=DCP（SAS）,

PA=PD；

答案第II页，共18页

(2)证明：如图，连接0E,OD,OP,并延长尸。交A。于点M,

四边形ABCD是矩形，

?.ZBAD=9O0

OA=OD,PA=PD,

...点P、。都在线段的垂直平分线上，

P。垂直平分AO,

二ZDMP=90°=ZBAD,

OP//AB,

AE是以点0为中心的正六边形的一边，

由正六边形性质可得：ZA0E=60,

OA=OE,

.•.&AOE是等边三角形，

ZAEO=60

又：OP//AB

ZEOP=ZAEO=60,

ZAOE=ZEOP=60,

AE=EP-

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，

线段垂直平分线的判定以及正多边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定及性质以及等

边三角形的判定及性质是解题的关键.

24.⑴y=-x+3

—3/\212

(2)0y='—(x-w)--m+3,0</«<3；=--(x-2)-+1

【分析】(1)先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点C的坐标，再利用待定系

答案第12页，共18页

数法求出直线BC的解析式即可;

（2）①先求出P（，/，-m+3）,设新抛物线解析式为、="（》-胆）2-胆+3,把原点坐标代入

新抛物线解析式求出新抛物线解析式，再根据点P在线段BC上，可得0<3；②先求出

点。的坐标，再分当四边形AED尸关于A。对称时，当四边形AECP关于PE对称时，两种

情况分类讨论求出m的值即可得到答案.

a-4+c=0

【详解】（1）解：把A（1,O）、8（3,0）代入抛物线解析式中得:

9〃―12+。=0'

[c=3

...抛物线解析式为y=f一以+3,

在了二/一4x+3中，令工=0,则y=3,

・・・C（0,3）；

设直线8C的解析式为y=履+3

♦.心k=-3\，

...直线BC的解析式为y=-X+3；

（2）解：①•.•点P在线段8c上，点尸的横坐标为〃?.

/.P（m,-机+3）,

.•.可设新抛物线解析式为y=a'（x-iny-〃?+3,

•••新抛物线经过原点，

a'（O-m）2-m+3=0,

•••新抛物线解析式为广审（、-/一,〃+3,

•.•点户在线段8c上，

0<m<3；

答案第13页，共18页

②•••新抛物线解析式为>=卑"-，〃）2-m+3与x轴的一个交点为原点，对称轴为直线

tn"

x=mf

，新抛物线解析式为y="W（x-，行-，〃+3与x轴的另一个交点。的坐标为（2/n,0）,

■:PElx轴，

/.E（m,机2-4m+3）；

当四边形AEOP关于4）对称时，则_加+3=-/+4"2-3,

解得m=2或m=3（舍去），

.••新抛物线解析式为y=2）2+1；

当四边形AEDP关于PE对称时，

♦.•点。与。关于PE对称，

，点。与点4不关于PE对称，

此种情况不成立；

综上所述，新抛物线解析式为y=-"x-2『+1.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，求一次函数解析式

等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

25.（1）见解析：

（2）①：；②平

【分析】（1）连接40,由四边形A80C为矩形得到8c=0A=r,由CG=28G得到

答案第14页，共18页

112

BG=—BC=—r,即可得到CG=一〃；

333

SOlfc(BGV

(2)①连接A。，证明/尸=/C3。，再证/.BGOS：PNA,ZCGO=/ANO,则--=—,

S即(PN)

oAnnr

NGOB=/PAN,NP=NCBO，再求得OC=CG=W,再证.AOCsPOA，得到U=",

3POAO

3i

求出尸0=/，PN=PO-ON=-rf即可得到AOBG与_4VP的面积之比；

②延长B'G交OB于点Q,设。8=工，利用勾股定理得到0C=77=7,利用等积法求出

OH=B°C°=X,『",勾股定理得到B”=/，即可得到G，=《—证明

BCrrr3

GQVOB,则NGQO=NGHO=90°,可证得,.GQOgcGHO(ASA),^GQ=GH=---r,