2023-2024学年福建省三明市五校协作高三上学期11月联考数学试题及答案

“宁化、永安、尤溪、大田、沙县一中”五校协作2023—2024学年高三11月联考高三数学试题（考试时间：120分钟总分150分）试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题，共60分）一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.6,8，若集合M满足UM8，则（）1．设全集U4M6M4ÎM6MD．A．B．C．2．复数z1i，则z2z（）A．5B．10C．25D．2103．已知向量a,b满足a(，b2，ab2，则a与b的夹角为（）A．B．C．D．6446x7满足，当时，，则（）fxfx2fx0xfx1f4．若偶函数A．2227543B．C．D．445“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整1至2022这2022个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）anA．58B．57C．56D．556．下列说法正确的是（）第1页共4页X~B0.2PX0.032，则2A．随机变量P3X40.24，则X~N2PX20.62B．若随机变量，C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D．从除颜色外完全相同的10个红球和个白球中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；7．已知函数fxax2在上不单调的一个充分不必要条件是（）4axx，则fx3161a,1a,11a,a,A．B．C．D．62268．已知在正三棱锥ABCD中，E为AD的中点，AB^CE，则正三棱锥ABCD的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为（）63233333A．B．C．D．二.4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.x9．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点523P,x，且sinxx，则的值可以是（）22A.2B.1C.0D.10．一副三角板由两个直角三角形组成，如图所示，BF90,A60,D45,且，现将两块三角板拼接在一起，得到三棱锥F，取BC和ACO中点、，则M下列判断中正确的是（）A．直线BC⊥面B．三棱锥F体积为定值.C．AC与面所成的角为定值D．设面ABF面MOFll，则∥AB15，则实数x,y满足（）11．已知3x5y1112xyxy44A．B．C．D．xy第2页共4页Sn12Sn11112．数列的前n项和为，a，且当n2时，S.则下列结论正确的是（）aSnn1n21A.是等差数列B．既有最大值也有最小值.anSn1233D.若b21na,则b22b23b24b2n1C..nn12第II卷（非选择题，共90分）三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．等比数列的前项和，若a0，q1aa=20aa=64，，___．annSS=，则5nn352614．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏，关掉的灯不能相邻，则关灯方案有___种．4x115．已知函数fx，则不等式2x30的解集是_____．2xfx2xgxax16fxgx和图象都相和a切，则实数的取值范围为_____．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）在中，角,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bc2aB.π（1）若B，求；Abcabca（2）求的取值范围.ac1812分）2fxAsinxA0,0,|已知函数的最大值为3，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称.fxx23x,（1）当时，求函数的递增区间fx.64x，fxftx=0恒成立，求实数的最小正值.t（2）若对任意的第3页共4页1912分）等差数列满足，n1an4n2nkkR.数列的前n项和满足nn3.abTnnn（1）求数列和的通项公式；abnnab和中的所有项分别nnABxxAxB（2）对于集合A，B，定义集合且.设数列构成集合ABAB的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列S.，求数列cncn50的前项和502012分）EF在多面体ABCDEF中，AD//BC//，且ADCDDE4，πBCEF2，BCDFED3DC（1）证明:ADBF；BA（2）若26，求直线CD与平面ABF所成角的正弦值.2112分）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．（1）规定第1次从小明开始．（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与期望．nPn（2）若第1次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．2212分）fxxxax，aR．已知函数2（1）若在fxx1a处取得极值，求的值；g(x)fx(ax，讨论函数g(x)的单调性；（2）设12（3）当a2时，若存在正实数，满足xxf(1)f(x)3xx0，求证：1212212第4页共4页“宁化、永安、尤溪、大田、沙县一中”五校协作2023—2024学年高三11月联考高三数学参考答案一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-4．CBCC5-8.ADBD8ABCD中，ABCD，AB^CE，∴AB平面ACD，又AC,AD平面ACD∴ABAC，，为正三棱锥，所以三条侧棱两两相互垂直，又三棱锥ABCD设ABaa2a2BC2BC2a,可得正三棱锥ABCD的表面积为133323a2aa2．设外接球的242半径为R，则2Ra2aa2，2Ra，则外接球的表面积33SR2a,22a233所以两表面积的比为2，故选：D．a2二.4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．BC10.ACD11.AD12.ABDSn12Sn11111Sn2121,且当n2时,.两边同时取倒数可得:,2SnSn111112(n2)2是等差数列其公差为2,首项为所以正确.,2,A即S,且,数列Sn11Snn1122n12nSn,可得,Sn2n第1页共8页1,n11112aSS当n2时,,所以an;nnn12nn112n2n1,n22nn1所以是先递减再递增的数列，当时，a0，所以最大，最小.B正确，C错anna1a2n误..11n1b1,对于上式也成立n时,1对于D.当n2时,b21na,又,nnnn1111n2时,n222142n12n1,nn211112111123223242b2n122n12n132n1，D正确3557故选ABD三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．3114．12015．16．21fx2x16x,2x110gxax上的切上的切点坐标为1a,gx2,axxfx点坐标为，且又，22x2x1aa2则公切线的斜率k，则所以2ax，21122411则公切线方程为y21，即yx1x1x111211，则a121a2得：ax2x2111，整理得2,a2代入1214142a，114若总存在两条不同的直线与函数a2有两个不同的实根，fx,gx14x4xx4hx,x0，则设xhxxx2第2页共8页令得hxhx单调递增，x时，hx0x1，当x0,1时，单调递减，hxhx1又hx0可得x，则x0时，hx;xe时，，则函数的大致图象如右：hx0hxa00aa故实数的取值范围为2.所以4，解得0a2四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.171）由已知：sinBsinC2sinAcosB，……1分……2分sinBBsinABsinAB，得所以BAB,或BAB……3分……4分……5分即A2Bππ若B，则A；6Abc)2b2c2bc)2a2（2）由题意得acacb1cosAB1cosAB1cos2B2cosB，……7分……8分asinAsin2BπB而AB3Bπ，所以，3bcabca2cosB1,2，即1,2.故……10分acTfx3，设函数yfx的最小正周期为，则AT181）由题意可得，得22T2，此时，fx3sin2x.……2分Tyfx的图象关于直线kkZ，x对称，则2因为函数332第3页共8页π6kkZ，fx3sin2x，则k1……4分，，626令2k2x2k，得kxk26236x,，∴取k0，……6分64,66yfx在区间,因此，函数上的递增区间为.……7分64x，fxftx=0，所以函数图象的对称中心为，…8分fxt,0（2）又因为6ft3sint则0tkkZ，，所以……10分6k解得tkZ，……11分212当k1t时，取到了最小正值为.……12分1219．解:（1）设等差数列的公差为，则等差数列通项公式为ananaa(ndaddn，n11所以n1addndn2an(ad)4n2nk，111d4d4a1a1a14(n4n3，n所以，所以，所以……3分11adk1k3Tb3，所以当n2时，Tn13，又因为两式相减可得nnn1bbbbbn，即，nnn1n1令n1，则bb3，解得b3，111所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以bnb3n.……6分n5k18k39k法二、由n1a4n2nk可得1，a2a，3n2345k39k49k362kaa2a2，解得k3所以132443第4页共8页4n2nk4(n7(n3k2法三、由n1a4nn2nk可得ann1n1解得k3aaa9,,a,a197,aa（2）由（1）可知，123bbb27,bb12345所以数列的前项为数列50的前52项去除3an……10分cn所以数列的前50项和cnS159205981905266.……12分220．解:（1）证明：连接BD，，在中，EFDπ4，BC2，，3πBD2BC22BC12，23CAB……2分可得，即，同时AD//BC，可得BDAD，……3分2同理可得，……4分因为BDAD，，且BD平面BDF，平面BDF，ID，所以平面BDF；……5分……6分又因为BF平面（2）解：在V中，易得BDBDF，所以ADBF.FD23，且26，所以，同时BD，AD，以DA所在直线为x轴，以DBy所在直线为轴，以z所在直线为轴，如图所示，建立空间直角坐标系D.……7分第5页共8页zEFDCAxByF0,0,23其中，B0,23,0，，C2,23,0，A4,0,04,23,02,23,04,0,23，，，……8分nx,y,z为平面ABF的法向量，设向量n04x23y0n3,2，，不妨取满足……10分n04x23z0直线CD与平面ABF所成角的正弦值为：nDC,n2333.……12分n222222222223391421．解:（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为．……1分36（ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率．……2分44444444464（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，依题意，X可取0，1，2，3，111P(X0)133113311321P(X所以，，44464444444444643964311P(X3P(X2)，．所以的分布列为X44464X01231213P646464…5分第6页共8页121123646439327所以E(X)0．……6分646416n（2）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：14①第n1次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为PnP(…2)；n1n1②第n1次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为n143434……8分Pn11PP(…2)．n1n12因为①②两种情形是互斥的，所以13313PPPPPP(…2)，……10分nn1n2n1n1P(…2)．所以nn12121P11P因为，所以是以为首项，……11分n2n1n112112211n2为公比的等比数列，所以P，即P.……12分……1分n221x12ax，221）解：因为f(x)xxax2，所以f(x)f(x)x1在f112a0a1……2因为处取得极值，所以，解得．分(xx1x验证：当a1时，f(x)12x(x0)，xf(x)x1在……3易得处取得极大值．分（2）解：因为g(x)f(x)(axxxax2(axxax(a2)x，2(axx1x所以g(x)2ax(a2)(x0)．