1994全国高考理科数学试题

1994年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则 ()(A){0}(B){0，1}(C){0，1，4}(D){0，1，2，3，4}(2)如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 ()(A)(0，+∞)(B)(0，2)(C)(1，+∞)(D)(0，1)(3)极坐标方程所表示的曲线是 ()(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆(4)设θ是第二象限的角，则必有 ()(A)(B)(C)(D)(5)某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 ()(A)511个(B)512个(C)1023个(D)1024个(6)在下列函数中，以为周期的函数是 ()(A)y=sin2x+cos4x(B)y=sin2xcos4x(C)y=sin2x+cos2x(D)y=sin2xcos2x(7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 ()(A)32(B)28(C)24(D)20(8)设F1和F2为双曲线－y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是 ()(A)1(B)(C)2(D)(9)如果复数z满足│z+i│+│z－i│=2，那么│z+i+1│的最小值是 ()(A)1(B)(C)2(D)(10)有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有 ()(A)1260种(B)2025种(C)2520种(D)5040种(11)对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 ()(A)m⊥n，m∥α，n∥β(B)m⊥n，α∩β=m，nα(C)m∥n，n⊥β，mα(D)m∥n，m⊥α，n⊥β(12)设函数f(x)=1－(－1≤x≤0)，则函数y=f－1(x)的图像是 ()(13)已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是 ()(A)π(B)π(C)4π(D)π(14)函数y=arccos(sinx)的值域是 ()(A)(B)(C)(D)(15)定义在(－∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1)，x∈(－∞，+∞)，那么 ()已知函数f(x)=tgx，x∈(0，)．若x1，x2∈(0，)，且x1≠x2，证明[f(x1)+f(x2)]>f()(23)(本小题满分12分)如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点．(1)证明AB1∥平面DBC1；(2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数．(24)(本小题满分12分)已知直线l过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半轴上．若点和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．(25)(本小题满分14分)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．(1)写出数列{an}的前3项；(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)；(3)令，求1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1．C2．D3．D4．A5．B6．D7．B8．A9．A10．C11．C12．B13．D14．B15．C二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)16．－18917．x=3，(x－2)2+y2=118．19．20．三、解答题21．本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力．解：(1)由z＝1+i，有ω=z2+3－4=(1+i)2+3－4=2i+3(1－i)－4=－1－i，ω的三角形式是．(2)由z=1+i，有=由题设条件知(a+2)－(a+b)i=1－i．根据复数相等的定义，得解得22．本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力．证明：tgx1+tgx2=∵x1，x2∈(0，)，x1≠x2，∴2sin(x1+x2)>0，cosx1cosx2>0，且0<cos(x1－x2)<1，从而有0<cos(x1+x2)+cos(x1－x2)<1+cos(x1+x2)，由此得tgx1+tgx2>，∴(tgx1+tgx2)>tg，即[f(x1)+f(x2)]>f()23．本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力．(1)证明：∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．连结B1C交BC1于E，则B1E=EC．连结DE．在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1．又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1．(2)解：作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面B1BCC1，连结EF，则EF是ED在平面B1BCC1上的射影．∵AB1⊥BC1，由(1)知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，则BC1⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．设AC=1，则DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，DF=DC·sinC=，CF=DC·cosC=．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．在Rt△BEF中，EF2=BF·GF，又BF=BC－FC=，GF=，∴EF2=·，即EF=．∴tg∠DEF=．∴∠DEF=45°．故二面角α为45°．24．本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力．解法一：依题设抛物线C的方程可写为y2=2px(p>0)，且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l的方程为y=kx(k≠0)． ①设A'、B'分别是A、B关于l的对称点，因而A'A⊥l，直线A'A的方程为 ②由①、②联立解得AA'与l的交点M的坐标为．又M为AA'的中点，从而点A'的坐标为xA'=，yA'=．③同理得点B'的坐标为xB'=，yB'=．④又A'、B'均在抛物线y2=2px(p>0)上，由③得，由此知k≠±1，即⑤同理由④得．即．从而=，整理得k2－k－1=0．解得但当时，由③知，这与A'在抛物线y2=2px(p>0)上矛盾，故舍去．设，则直线l的方程为．将代入⑤，求得．所以直线方程为．抛物线方程为．解法二：设点A、B关于l的对称点分别为A'(x1、y1)、B'(x2，y2)，则|OA'|=|OA|=1，|OB'|=|OB|=8．设由x轴正向到OB'的转角为α，则x2=8cosα，y2=8sinα． ①因为A'、B'为A、B关于直线l的对称点，而∠BOA为直角，故∠B'OA'为直角，因此x1=cos=sinα，y1=sin=－cosα，②由题意知x1>0，x2>0，故α为第一象限角．因为A'、B'都在抛物线y2=2px上，将①、②代入得cos2α=2p·sinα，64sin2α=2p·8cosα．∴8sin3α=cos3α，∴2sinα=cosα，解得．将代入cos2α=2psinα得，∴抛物线C的方程为．因为直线l平分∠B'OB，故l的斜率∴直线l的方程为．25．本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力．解：(1)由题意，当n=1时有，S1=a1，∴，解得 a1=2．当n=2时有，S2=a1+a2，a1=2代入，整理得(a2－2)2=16．由a2>0，解得a2=6．当n=3时有，S3=a1+a2+a3，将a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)2=64．由a3>0，解得a3=10．故该数列的前3项为2，6，10．(2)解法一：由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n－2．下面用数学归纳法证明数列{an}的通项公式是an=4n－2(n∈N)．①当n=1时，因为4×1－2=2，又在(1)中已求出a1=2，所以上述结论成立．②假设n=k时结论成立，即有ak=4k－2．由题意，有，将ak=4k－2代入上式，得2k=，解得Sk=2k2．由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1，将Sk=2k2代入，得=2(ak+1+2k2)，整理得－4ak+1+4－16k2=0．由ak+1>0，解得ak+1=2+4k．所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2．这就是说，当n=k+1时，上述结论成立．根据①、②，上述结论对所有的自然数n成立．解法二：由题意，有，整理得Sn=(an+2)2，由此得Sn+1=(an