THUSSAT2023年3月诊断性测试数学答案

THUSSAT

中等生标淮学术・力

中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

9101112

ACBCDABDAD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.Js~214.(-W,-1)

15.10816.I

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

2

⑴(3”+9).(n+l)a„+1=(n+2)%,

3(〃+_(〃+2)。“

'(n+2)2(〃+

("+3)J1("+2)a„

即1\-2....................................................................................2分

(〃+2)3(/?+1)

11♦21J(nf2)aI.]।

又--------=z,所以数列-------—1卜是首项为，公比为■的等比数列

(1+1)3|("+1『|33

从而-(-”--+-2-)-a-.=k(1Y＞,则为:一5——­If..........................5分

(n+lfl3j(n+2)-3"

(n+])-n+1n+1〃+l

⑵6分

“一(〃+2).3"-〃+2'3"3"

23„+i123〃+1

设*=k孕+…+丁，则/=铲+?+

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中学2标退学**力

两式相减得:

1匚得

2T211M+129-I"〃+1

/=不+审++/诃=”一J_3"+】

-3

2_J,「(if']_n±lJ_2"+5

-3+611一|\3)1|-3"*1-6-2.3".........................................9分

“52n+5-52〃+5八

从而7；=7-——,故S”「------；.................................................10分

44・3八44.3"

18.(12分)

(1)由已知及正弦定理得：2sinB.cosA-sinA=2sinC

又在编A8C中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.............2分

:2sinBcosA-sinA=2sinAcosB+2cosAsinB

即2sinAcosB=一sinA

XsinA丰0,：cosB=-.................................................................4分

又0<8<",：B=y-,即角8的大小^^.......................5分

⑵....................................................................6分

BD是二ABC的角平分线,而S编A8C=S^ABD+S^BCD

J311

：—ac=y)AB)BD)sin60o+-)BD)BC)sin60e

即-8ac=".BD.(a+c),：BD=.............................................................8分

44a+c

•；BD=2,：ac=2(a+c)

a+c>2,：ac>»BPac>16.........................................10分

当且仅当a=c=4时取等号，则5儡.=-ic.sinB'16=4-f3

即编ABC的面积的最小值为4J3........................................................12分

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中学'+»4-9'F*《力■!

19.(12分)

(I)在BE上取一点N,使得BN=\NE,连接fTV,NM

,.BD=6,：BN=[BD=1,NE=2,ED=3

•6

AF_1BN_AF_1

FE-2''NE~FE~2

则KV//AB2分

•••FN二面ABC,AB仁面ABC,:FN〃面ABC

BN_CM_1

:N昭BC......................................................4分

NDMD5

•••NMH面ABC,BCM二面ABC,：NMABC

FN「'NM=N,：面FNM〃面ABC

■/FM仁面FNM,：FMABC...................................................5分

⑵'AE±BD,CE±BD

2,r

所以二面角A—BD-C的平面角为三AEC=--....................................6分

3

又,,'AEriCE=E,：3。_1面4后。

；BD仁面ABD,:面ABD±®A£C

「面AB。“面AEC=AE,过点C作CHLAE,则07,面A3。

则CH=CE.sin三=6CE

3-2

CE=J(3/J一32=3点>：CH=万='二：..............8分

即。到面A3。的距离为弛

7

MD=—CD,:M到面ABD的距离为一§3-星圣业...............9分

6624

_31

计算EM：cos-CDB=--j-=—I-

在一WME中,DM=,DE=3

2

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中标;口竽术蜒力■!

:」=I2）不EM=尺.......................11分

S5s=2

2叫-根3

5而

Z/八

：EM与面A3。所成角的正弦值为西=々J-.........................................12分

2

（其他方法酌情给分）

20.（12分）

（1）列联表如下:

感兴趣不感兴趣合计

男生12416

女生9514

合计21930

...........................................2分

2

K=财艮（12根5一甘艮9）如04082<2.072

时艮1件艮21根9

所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关.....5分

（2）由题意可知X的取值可能为0,1,2,3

则P（X=0）=：=「......................................6分

P（X=1）='/；="’................................................................7分

尸（X=2）=*=、......................................8分

G*14

P（X=3）=2='................................................................................9分

（??1

故X的分布列为

X0123

5

P5101

42211421

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中学*标次学术・力

/、510514

E（X）=。〉订+1〉21-+2）|厂+32］口=......................12分

21.（12分）

（1）因为双曲线C以2r±国=0为渐近线

设双曲线方程为3+6［公_-&）=入,即幅_5：/=入.............1

□L上

尸（0,3），:入＜0,即：A-A=1

A_A9人、

：-----=9,即入=-20........................3分

5420

92

所以双曲线。的方程为：1.............................4分

45

⑵

设直线/:y=依+3,P(AJ,y),Q(X2,y2)

〈"一底=20不5的+3『-底=20

\y=kx+3

2

化简得：(5炉-4)x+30kx+25=0....6分

此方程的两根为用，々，则

......8分

(15k-12)

PQ中点M坐标为|\一52-4'5l4)19分

12_!(15A)

:上中垂线方程为：，+5入4=一4、+5〃-4)1

-27

令x=0,:y=~;---

5k--4

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中学'+»4-9竽*《力■!

15立+15

则|7F|=............................11分

5^-4

15—+15

M_|5^-4_3

..................................12分

PQ-2ofr+1)4

\\5^-4

22.(12分)

令于,(x)

⑴...............................1分

:X想1,即函匆'(X)的单调递增区间为(-W』)，函豺(X)的单调递减区间为(1,+W)

...................2分

当T时，噌)=彳=出：切点电，出

e*

又分「］=上,=_L,：/0在尤=1处的切线方程为:

⑴J2石2

11(_L)11

"彘工