2023人教版新教材B版高中数学必修第三册同步练习-全书综合测评

全书综合测评

（全卷满分150分，考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.已知。=（1,2）力=（4,3）,则（。-与为=（）

A.-30B.-15C.-10D.5

2.若aC（0,1）,sina+cosa=4cos2a,贝！］sin2a=（）

A.竺B；2C巫DT

1681632

3.AABC中,AB=4MC=2,O为AB的中点，丽=2近，则而.荏=（）

A.OB.2C.-2D.-4

4.如图，以正方形的各边为底向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是

)

A.2+2V2B.4C.V2+2D.2

5.设函数危）=2sin（6ox+9）K£R,其中60>0,磔<71.若人争=2尺等）=0,且加）的最小正周期大于2兀,

则()

A2n2Un

、3=一,(p=—B&=-,0=-—

3r123*12

/1Ilirc17n

C0=，S=后D.①=”=豆

6.函数兀r)=log2因+cosx而大致图象是)

7.已知a，B为锐角，且4sin2a+2sin2/?=1,2sin2a-sin24=0,贝ijcos(2a+2^)=()

A.-B.-iC.--D.--

4443

8.在△ABC中,4?=34c=2,N8AC=6()O,M是BC的中点，连接AM,作BN人AM,交AM的延长线于

点N,则向量BN在向量AC上的投影的数量为)

A.--B.--C.-D.-

19381938

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目

要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.若a,Z?,c均为单位向量，且。0=0,0。）0-次0,则|6!+/?-<?|的值可能为（）

A.V2-1B.lC.V2D.2

10.已知函数次x)=2sinxcos(x+§埒,则()

A.y（x）的最小正周期为2兀

B./（x）的图象关于直线广"对称

C#x）在上单调递减

D次x）的最大值为2

11.如图所示，函数/W=8tan（2x+9）的部分图象与坐标轴分别交于点。，瓦尸,且4。£尸的面积为*

下列结论正确的是（）

A.点。的纵坐标为百

B•（—黑）是危）的一个单调递增区间

C.对任意左£乙点（一行+等,0）都是人冷图象的对称中心

D.将产百tanx的图象上各点的横坐标缩短为原来的;，纵坐标不变，再把所得图象向左平移?个

单位,可得到/U）的图象

12.设函数«r）=sin（g%+以（0>0）,若/U）在［0,无］上有且仅有5个最值点，则（）

A.7（x）在（0,兀）上有且仅有3个最大值点

B.兀r）在（0,兀）上有且仅有4个零点

CQ的取值范围是后哥

D.启）在（0,另上单调递增

三、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）

13.若扇形的弧长是3兀cm,面积是671cmL则该扇形圆心角的弧度数0=____.

14.若函数«r）=2sin（Tix+］的图象在闭区间［£,TH］上是轴对称曲线，则m的最小值

为.

］5.若‘丁\、=弓,则sin（2a+1）=________.

tan（a+-）2\6/

16.已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面A8C内一点，则（丽-南）.（而+玩）的最小值

是.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知心产”了嗜⑹.

Jsm（2n-0）

⑴若幽W，求cos2。的值;

（2）若a-93且红。瑞，求sin3的值.

18.(12分)已知两个不共线的向量a,b的夹角为包|3=6,依=2.

⑴若。为钝角，试问。+方与小5"能否垂直?若能，求出cos。的值;若不能，请说明理由;

⑵若依？，当fc>0时，求|。-4姐|的最小值并求此时a与a-4kb的夹角.

19.(12分)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

①函数/(x)=cos*sin(£x4-，)-；(0〉0);

②函数於)=*0$会5历次+：coswx(co>0);

③函数_Ax)=3in(a)x+s)(3>0,\(p\</),对任意x^R,都有一％)=。成立・

已知，函数«r)图象的相邻两条对称轴之间的距离为今

⑴求49的值；

(2)求函数/U)的单调递增区间及其图象的对称中心、对称轴.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

20.(12分)已知函数#x)=Asin((yx+9)+8(/>0,3>0,\(p\<§的图象在一个周期内的最高点和

最低点分别为(2,1),(8,-3).

(1)求函数/(%)的表达式；

(2)求函数7U)在区间［0,6］上的最大值和最小值；

(3)将产/㈤图象上的点的横坐标变为原来的2倍(>0),纵坐标不变，再向上平移1个单位得到

产g(x)的图象若函数产g(x)在［0川内恰有4个零点，求/的取值范围.

21.(12分)设有三个乡镇，分别位于一个矩形MNPQ的两个顶点M,N及的中点S

处,MN=10akm,7VP=5V3km,现要在该矩形的区域内(含边界)，且与等距离的一点0处设

一个宣讲站，记0点到三个乡镇的距离之和为Lkm.

(1)设/OMN=x(rad),试将L表示为x的函数并写出其定义域；

(2)试利用(1)中的函数关系式确定宣讲站。的位置，使宣讲站。到三个乡镇的距离之和最小.

22.(12分)若存在a力eR使得函数次处和g(x)满足g(x)=/(x+a)+"则称函数g(x)为兀r)的(a力)型

“同形”函数.

(1)若/(x)=sinJC-COSx,g(x)=sinx+cosx+1,是否存在aW(0,兀)，bWR使得函数g(x)为/(x)的(。力)型

“同形”函数?若存在，求出a,b的值并证明;若不存在,请说明理由；

(2)在(1)的条件下，函数/2(x)=|/a>[g(x)-l]-m[/(x)+g(x)],若对任意的xG糖身，不等式/Ga2〃《恒

成立,求实数〃?的取值范围.

答案与解析

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1.B因为。=(1,2)力=(4,3),所以。/=(-3,-1),所以乃=-3x4+(-l)x3=-15.故选B.

2.A因为a©(O,1),sina+cosa=4cos2a=4(cos2a-sin2々),所以cosa-sina=*两边平方，得cos2a-

2sinacosa+sin2a=—,B[J1-sin2a=三，所以sin2a=—.

161616

3.A由题意得荏=荏+露=荏+三瓦5」前,南+2元,丽=与/彳瓦所以丽•荏=(乙南-

3333212

ACy^AB+|前)二海2_|前2=沁怖x22=o故选A.

4.A设等腰三角形的底角为。(0＜。＜5),则等腰三角形的底边长为2cos。，高为sin。，所以阴

影部分的面积为4x1x2cos仇:sin8+(2cos0)2=2sin20+

2cos28+2=2或sin(2。+9+2,故当外；时,阴影部分的面积最大，为2+2版

5.A由兀r)的最小正周期大于2冗,得:当；.由/(m)=2,詈)=0,得：=等号

=拳.\r=37i,即^=3兀,.,.0=|..,./(x)=2sin(|%+9).由/孰=2sin(|x奈+@)=2,得sin(g+

工)=1....夕$=]+2E,%GZ,即夕=看+2左兀,攵ez.又|夕|＜兀,；.夕=已故选A.

6.C因为.*-x)=log2&x|+cos(-x)=log2|x|+cos枳/(X),且以)的定义域为(小邦｝,关于原点对称，所以

«r)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B,D.

当x趋近于0时,y=log2kl趋近于负无穷,y=cosx趋近于1,所以«r)趋近于负无穷，排除A.故选C.

7.B由4sin2a+2sin力=1,得4x1^^+2x2詈生=1,即2cos2a+cos2夕=2①.

由题知2sin2«-sin24=0②，

①、②左右两边分别平方并相加，得4cos22a+4cos2acos2^+cos22^+4sin22a-4sin2asin

2/7+sin22/7=4,所以4cos2acos2/Msin2asin2/7=-l,即4cos(2a+2£)=-1,所以cos(2a+2£)=-：.故选B.

8.D以A为原点4c所在直线为x轴力。的垂线为y轴建立平面直角坐标系,如图.4

作CO,AN交AN于点。，因为M是3c的中点,N在直线AM上，且BN_LAM,所以BN〃0c.由

三角形全等可知DC=NB,所以前=DC.

因为AB=3MC=2,N8AC=60。,所以B(1,^),C(2,0),

所以点M的坐标为[，乎L

44

373

设NNAC=a，则tana=^=—.

-7

4

因为sirPa+cos2a=1,所以sina二薪,cosct=^=,

所以I前|二|尻|=ACsin所毁,所以向量前在向量而上的投影的数量为I前|cos(9(T-a)=|前|sin

776

6x/3373274、4r

。=瑞帚罚故7r选D-

9.AB因为(a-c＞(b-c)W0,所以。6。(。+6)+衣0.

因为均为单位向量，且。乃=0,所以c-{a+b）>\,

所以1〃+。-

c\=yj（a+b—c）2=y/dz+b2+c2+2a-b—2a-c—2b-c=y/3—2c•（a4-/7）<V3—2=1,结合选

项可知,A、B正确.

10.BCy（x）=2sinxQcosx—?sinx）+?二sinxcosx+1-2sin2x）=|sin2x+

*os2Asin（2%+§,所以函数段）的最小正周期为号=兀,最大值为1,故A,D错误；

令2/行+也伙eZ）,得户导阳小Z）,即於）的图象的对称轴为直线

（ZGZ）,当D时,x=*，故B正确；

当上0时,函数段）的单调递减区间为玲，胃因为曲生上,胃所以於）在片外上单调递减，故

C正确.故选BC.‘''

11.BC易得函数於）的最小正周期为..△。所的面积为/xbxtan吟

...tans=g,.,.点D的纵坐标为百tanp=l,故A错误；

由tan3=?及题图，得s=£,.\Ax）=V^tan（2x+J当龙Gf时,2尤4微

6（一三（），此时函数人X）单调递增，故（一，9是火X）的一个单调递增区间，故B正确；

当户手哈，%ez时,2x+,考次GZ,此时段）=0或段）不存在，故对任意七乙点（一卷+2,0）都是

.*x）图象的对称中心，故C正确；

将y=V3tanx的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y=V3tan2x的图象，再把

所得图象向左平移2个单位，得到产V5tan（2%+9的图象，故D错误.

故选BC.

12.ACD•.”£[0,7t],co>0,-<cox+7<7ico+-.

555

令贝哈0二兀①+*

作产sin的部分图象如图所示.

由题意及图可知府）在（0,兀）上有且仅有3个最大值点，故A正确;当与兀。牛5无,即季①<g时段:）

在（0,兀）上有且仅有4个零点;当5无3值0+^<手，即时次r）在（0,兀）上有且仅有5个零点，故B

错误;,•7U）在[0,兀]上有且仅有5个最值点,.•今加（吗<等,...亭0令故C正

确;••”e（0,茄）,£0>0,0<tyx<n（y,二^^⑦乂+^^■，由C选项可

知，鼠端;翳琮叫啜:‘黑调。4）上单调递增，故口正确•故选ACD.

13.答案千

4

解析设扇形的半径为rem,则扇形的面积5=沁兀尸6兀,解得『4,所以0=-=^.

2r4

14.答案y|

解析当於）的定义域为R时，图象的对称轴满足7Lr+m=E+?（ZeZ）,即x=k+\

623

(%ez).

因为函数_/U）在闭区间[曰,m]上是轴对称曲线，

，、21

IXtl>一,

所以《/4正乙所以心鼻ZWZ,所以女的最小值为5.

"0+3=A21科12

易知女取最小值时〃?也取得最小值，所以m的最小值为患.

15.答案\

6

解析—7—iK=-tana.=tan\=_；,整理，得2>/3tan2a-9tana-V3=O,BPtan2a

tang/巴空驾空上更2

l-tanatana”孚「ana

=­tana+；所以sin（2a+-）=sin2acos-+cos2asin-=-sin2a+-cos2a

22\6/6622

V3sinacosa+|cos2a-^sin2ax/3tana+|-|tan2a

=V3sinacosa+-1cos7a-ls.inoa=

22cos2a+sin2al+tan2a

(

4屈ana+2_2taMa_48tana+2_2苧atna+斗_4V3tana+2-3\/3tana-lV3tana+1_1

4+4tan2a-4+4(^tana+|)4+6V3tana+26(V3tana+l)6

16.答案-6

解析取BC的中点0,连接A。,以。为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则

A(0,2V3),B(-2,0),C(2,0).

设P（x,y）,则方=（-x,2g-y）,而=（-2-x,-y）,丽=（2-x,-y）,所以（而-荏）•（而+

电=同.（而+无）=-M-2x）+（2存y）.（-2y）=2f-4何+2/=2[f+0-8）2-3],所以当x=0,y=V3

时,（而-荏）.（而+正）取得最小值-6.

「到士「八、。。、cos（n+9>cos（D-cosSsine„八人、

17.解析⑴幽=嬴（2篇（3分）

因为/（O）=cos所以cos2^=2COS2^-1=-^.（5分）

（2）由题意可得阳―匀二cos（6—

因为学所以0<纭书,所以sin（。—（7分）

所以sin生sin（6—£+：）=sin（6—^cos：+cos（8—：）sin，二手乂手+如,」？；（10分）

18.解析（1）由题意得〃"=6x2cos9=12cos。，所以（。+/?）・（。-5/?）=|。|2-4。

〃-5|例2=36-48COS仇20=16-48COS0.(2分)

因为。为钝角，所以cos。<0,所以(〃+A)・3・5A)=16・48cos0>0,

所以与a-5b不可能垂直.(4分)

(2)当©工时,a-Z?=6x2xcos乌=6,所以|。-4%加2=同2-8版0+16M|Z?F=36-48Z+64F=64(/c--)+27,(6

33\8/

分)

所以当成时,|a-4烟3n=27,所以|a-4的min=38,此时a-4kb=a1b.(8分)

82

因为a-[a—18）=|〃|2-|〃乃=36-9=27,

所以cos<a,a-|<>=：卜京（10分）

2|af||a--£b|6X3V32

又〈的-沙>£[0,用，所以a与a-lb的夹角为也（12分）

19.解析选择条件①於）=cos4sin（2x+-）--=cos—JC।—sin^+^cos—I-

2\26/422222

1y/3.o）31oO）1V3.11.（,TT\"八、

-=Tsin-xcosTx+icos--x--=Tsin①x+yscox-sin^x+（2分）

因为/（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为今所以最小正周期丁=兀,所以。=2,所以

/（x）=|sin（2x+J）.（4分）

选择条件②於）=*呜n0$会+；coscox=曰sincox+^coscox=^sin^a）x+胃（2分）

因为_/W图象的相邻两条对称轴之间的距离为今所以最小正周期丁=兀,所以/=2,所以

Xx）=1sin（2x+胃（4分）

选择条件③:因为於:）图象的相邻两条对称轴之间的距离为会所以最小正周期丁=兀,所以。=2.

（1分）

因为对任意xGR,都有於升/（朝-x）=0成立,所以段）的图象关于信,0）对称，

（2分）

所以2x1^+s=E,AWZ,即8=丹+71法£乙又|研<4,所以所以危）=：sin（2x+三）.（4分）

12626Z\6/

（1陪月sin（2xg+%*（6分）

⑵令2也空21拳2E+#eZ,解得也奉/也十例WZ,所以危）的单调递增区间为[kn-p/cir+

手,ZdZ.（8分）

令2代=E,AGZ,得户M.GZ,所以上）图象的对称中心的坐标为管-卷,0）,ZGZ.（10

分）

令2x+JW+E,4ez,得广；弓ZWZ,所以於）图象的对称轴方程为尸生打GZ.（12分）

622626

20.解析（1）由题意可得A+8=l,-A+B=-3jx空=8-2,，A=2,3=-l,0=E.（2分）

2（i）6

根据"五点法”可得Wx2+9=/,；.°吟."（x）=2sin（9+*1.（4分）

（2）当xW[0,6]时,％+衿仁,汽（5分）

66L66J

故当》+汽时府）取得最大值，为2-1=1;当3+J用时次x）取得最小值，为2x（-l）-l=-2.（7

分）

（3）易知y=g（x）=2sin（tx+].（9分）

当XG[0,TI]时,戊+^6植311+,.（10分）

若函数y=g（x）在[0,兀]内恰有4个零点，则4兀3兀+^<5兀,解得之£<§.（12分）

666

21.解析⑴过点。作OT_LMN,交MN于点、T（图略），则T为MN的中点,T,O,S三点共

线,/.MT=^MN=5V3,（2分）

OM=ON=^OT=5y[3tanx,（95=5V3-（97^5V3-5V3tanx,（4分）

L=OM+O^+OS=-+5V3-5V3tanx（0<%<-）.（6分）