2023年考研数学(二)真题及答案详解

2023年全国硕士探讨生入学统一考试数学(二)试题解析

一、选择题:18小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在写理纸指定位置上.

(1)下列反常积分收敛的是()

【答案】(D)

x

【解析】J—^dx=-(x+l)e~>则]；公=一(％+1)"[=3e"-limQ+l)"*=3©一2.

•.x2

⑵函数/(8)=叫(1++-”在(-8,+00)内()

(A)连续

(B)有可去间断点

(C)有跳动间断点

(D)有无穷间断点

【答案】(B)

2

xsinrf

Sintx—lim---------

【解析】.f(x)=:呻(1+---)'-e'^x'-ex,XHO,故/(X)有可去间断点X=O.

x°cos-3,x>0

⑶设函数尤，(=>0,万〉0),若/0在尢=0处连续则：()

0,x<0

（A）a-〃>0（B）0<a-^<l

（C）a-/?>2（D）0<cr-/7<2

【答案】(A)

【解析】x<0时，r(x)=0£(0)=0

xacos—^--0

x!al1

*0)=噂=limx~co

xx->0+v

龙〉0时，f'（x\=axa''cos^-+（-l）xQ，

工+sin3

=axa~]cos

xf

/'(x)在x=0处连续则：£(())=£⑼=1些xaTcosJ=0得0—1>0

axa~'cos」+/3xa~p~'sin二

尸(0)=1呼r(x)=lim=0

xpxp

得：«-/7-l>0,答案选择A

(4)设函数/(X)在(-00,48)内连续，其中二阶导数/"(x)的图形如图所示，则曲线

>=/(无)的拐点的个数为()

(A)0(B)1(C)2(D)3

【答案】(C)

【解析】依据图像视察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数

为2个.

(5)设函数〃“力)满意—9，贝1」/“二；

与②“T依次是()

加V=1

1八cl1,、八1

(A)2，()(B)0,—(C)--,0(D)0,--

【答案】①)

【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.

人yrt.l"WV2

令〃=x+y,u=—,WiJx=----,y=---从-而/(x+y,—)=x-/变为

X1+V1+Vx

uv)w2(l-v).,df2w(l-v)df2u2

----=-----------.故二T'=---------------------"2

1+vj1+vdu1+v5v-(l+v)

因而九=噜::广彳・故选⑴)・

(6)设。是第一象限由曲线2移=1,4孙=1与直线y=x,y=氐围成的平面区域，函

数〃x,y)在。上连续，则JJ7(x,y)公力=()

D

K1

(A),"，卜喂/(rcose/sinO>dr

42sin20

(B)£。可‘号"/(rcose,rsine)rdr

4x/2sin2。

K1

(C)f(rcos0,rsin0y1r

42sin26>

(D)jJdjJ'si?。y^rC0SO^rsmOyir

4&sin28

【答案】（B）

【解析】依据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为

1

，呜“隹，痴谖</^<—

，sin2J

所以

||f(x,y)dxdy4可，"'产y(rcos仇rsin0)rdr

D4

故选B.

1>

1111

（7）设矩阵A=12a,bd.若集合。={1,2},则线性方程组Ax=6有无穷多

u4吃d2)

解的充分必要条件为（)

(A)a^Cl,d纪。(B)

(C)aeQ,deQ(D)aw。,deC

【答案】（D）

1111、’1111

【解析】（A,b）12ad01a-\d-\

14a2d2(a-l)(tz-2)(J-W-2)

7,007

由/■(A)=r(A份<3,故a=l或a=2,同时d=l或d=2.故选（D）

（8）设二次型孙巧）在正交变换x=£y下的标准形为2y；+为一代，其中

尸=（勺,02，©3）,若。=（01,-03，02）则/=（七,工2，工3）在正交变换工=0下的标准形

为（）

（A）2y：一贡+y；（B）2y；+贡一y；

(C)2y；-1一M(D)2>f+达+M

【答案】(A)

［解析］由x=f»y,故/=xTAx-yT(P1AP)y=2y；+y；-.

'200、

且P'AP=010.

Wo-I

,100、

由己知可得。=P001=PC

、0-10,

'200、

故Q7AQ=CT(P'AP)C=0-10

、00"

所以/=，土=:/(070*=2才一＞；+4.选(A)

二、填空题：914小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答)粤纲指定位置上.

⑼x=arctant则屋术

【答案】48

⑵(1+产)2

(10)函数/(x)=Y•2'■在龙=0处的〃阶导数/"(0)=

【答案】〃(〃—l)(ln2)i

【解析】依据莱布尼茨公式得：

兴(0)=第2(2"广)=«(nZl)2/ln2广2=〃(〃_］)(加2广2

'7%=o2

(11)设/(x)连续，夕(x)='若0(1)=1,0'(1)=5,则/(1)=

【答案】2

【解析】已知9(X)=X「/(M，求导得”(x)=⑺力+2x"(d),故有

J0J0

奴1)=£'f(t)dt=1,

"(1)=1+2/(1)=5,则/⑴=2.

(12)设函数y=y(x)是微分方程y'+y-2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3,则

y(x)=.

【答案】e2x+2ex

【解析】由题意知：y(o)=3,y'(0)=0,由特征方程：??+几一2=0解得4=],%=一2

所以微分方程的通解为：y=Ge'+G"2'代入y(O)=3,y'(0)=0解得：C,=2C2=l

解得：y=2ex+e-2x

(13)若函数Z=z(x,y)由方程*22+盯z=l确定，则dz(o,o)=•

【答案】一:(dr+2d)，)

【解析】当x=0,y=()时z=0,则对该式两边求偏导可得

(3/+2>'+3Z+孙)在=_/―/+2>'+3Z

dx

(36抖2>，+3?+孙)生=一立—2e，+2>+3z将(0,0,0)点值代入即有

Sy

dz_1dz_2

瓦(0,0)一—了由(0,0)一一3

121

则可得加1(00)办=-§(dx+2dy).

(14)若3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,8=A2—A+E，其中E为3阶单位阵，则行列式

忸"

【答案】21

【解析】A的全部特征值为2,一2,1.6的全部特征值为3,7,1.

所以|B|=3x7xl=21.

三、解答题：15〜23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

设函数f(x)=x+a\n(l+x)+hxsinx,g(x)=Q^.若/(龙)与g(x)在x—0时是等价无

穷小，求。,。次的值.

【答案】a=-\,k=--,b=~-

32

【解析】

方法一：

12%3冗3

因为ln(l+x)=x——H——+,sinx=x——+o(^x^),

那么,

(1+(i)x+S—)厂—x，+)

f(x)「x+aln(l+x)+0xsinx

1==hm--------------g-----------lim-----------------__3-----------------

KT。g(x)I。kx'2。k)c

1+Q=0a=-\

可得：♦b_q=o,所以，■h=-■-

2

—=1k=--

13k

方法二：

由题意得

1Q7.,

£(、,1\,入-1+-----+Osinx+/ucosx

t(x)x+«ln(l+x)+/?xsinxi_LR

hm=hm--------------------------=lim——-----------------------

1。g(x)1。kx1。3kx

由分母lim3Ad=0,得分子lim(l+，一+〃sinx+〃xcosx)=lim(l+a)=0,求得c；

x->0XTO1+Xx->0

于是「勤rzx缁1-----第--+Z?sin——x+/?xcosx

1.x+/?(l+x)sinx+/?x(l+x)cosx

=lim--------------------------------------

・D3Z；r(l+x)

1.x+/?(l+x)sinx+/?x(l+x)cosx

=lim---------------------；-----------------

r->o3kx~

—liml+^sinx+h(l+x)cosx+b(l+%)cosx+bxcosx-bx(l+x)sinx

.v->06kx

由分母lim6&x=0,得分子

xfO

limU+/?sinx+2〃(l+x)cosx+/zxcosx-〃x(l+x)sinx]=lim(14-2Z?cosx)=0，

x->0x->0

求得。=一4；

2

进一步，b值代入原式

口、1--sinx-(l+x)cosx--xcosx+-x(l+x)sinx

1=lim------=lim——-------------------------------------------------------

gW6kx

-'cosx-cosx+(1+x)sinx-—cosx+—xsinx+—(l+x)sinx+^xsinx+—x(l+x)cosx

=lim---------------------------------------------------------------------------------------------------------

s06k

_1

=」，求得上=」.

6k3

(16)(本题满分10分)

TTn

设A>O,D是由曲线段y=Asinx(0Wx<5)及直线y=0,%=万所围成的平面区域，匕，

匕分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若匕=匕，求A的值.

Q

【答案】-

【解析】由旋转体的体积公式，得

V,;rf2(x)dx=j^^(Asinx)2tZr=7iA2j^--。；2,工="j

V2=17ixf{x}dx=・2Mpxdcosx=2M

Q

由题丫1=丫2，求得人=?.

7T

(17)(本题满分11分)

已知函数/(尤,y)满意fAy(x,y)=2(y+l)e*，/；(x,0)=(x+l)e\f(O,y)=/+2y,

求/(x,y)的极值.

【答案】微小值/(0,-1)=一1

【解析】《.(毛田=2(y+1)/两边对丫积分，得

f'(x,y)=2(1y1+y)ex+(p{x)=(y2+2y)ex+(p(x),

故/；(x,0)=e(x)=(x+l)ev,

求得0(x)=e*(x+1),

f：(x,y)=(y2+2y)ex+ex(\+x),两边关于x积分，得

f(x,y)=(y2+2y)ex+Jex(l+x)dx

=(y2+2y)e、，+J(1+x)dex

=(y2+2y)eA+(1+x)eA-je'dx

=(丁+2y)e'+(1+x)ex-ex+C

=(V+2y)e'+xex+C

由/(0,y)=y2+2y+c=J+2y,求得C=0.

所以f(x,y)=(/+2y)ex+xex.

匠(丁+2块"+”0,fx=0

令，

f；=(2y+2)/=0b=-l

xxx

又£*=(y+2y)e+2e+xe,

f：y=2(y+\)e\f：y=2e\

当x=0,y=T时，A=/：((),-1)=1,B=/；(0,-l)=0,C=/；(0,-l)=2,

AC-B2>0,/(0,—1)=-1为微小值.

(18)(本题满分10分)

计算二重积分JJx(x+yM猊fy,其中£>={(%,y)，+,2<2,y>%2|

D

[答案]-----

45

【解析】jjx(x+y)dxdy=jjx2dxdy

DD

=2[]X2(>]2-X2-x2)dx

Jo

-1/-----29

=2[x2^2-x2dx——=2(42sin2z2cos2tdt——

Jo5J。5

u=2t

=2(r工4sin-.2tdt——2=rf-2sin*-udu——2=7-T---2-.

J。5Jo545

(19)(本题满分11分)

己知函数求〃x)零点的个数?

【答案】2个

【解析】f\x)=-V1+X2+2x71+7-=Jl+d(2x-1)

令/(X)=O,得驻点为％=：,

在(-8，)，/(X)单调递减，在(1,+00),/(%)单调递增

故/(g)为唯一的微小值,也是最小值.

而/(-)=J：yll+t2dt+j4>Jl+tdt=J'\jl+t2dt-J：J+tdt

25124

224

在八\Jl+t，故I'Jl+t2dt-J'Jl+tdt<0

222

从而有/(g)<0

limf(x)=lim[[j+t2dt+「Jl+tdt]=+oo

,r->-<cXT-ooJAJl

lim/(x)=lim[f[]l+tdf\=lim[fVy/i+tdt-「Jl+」力]

XT+ccXT+ccJxJlX->+<»JIJl

上41.Jl2xJ\+X2―・c,、

考虑lim——==-=lim—j----=4-oo,所以limf(x)=+oo.

2

力…Vi+%-

所以函数/(x)在(-00,g)及(g,+00)上各有一个零点，所以零点个数为2.

(20)(本题满分10分)

己知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的改变率与该时刻物体和介质的

温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃的恒温介质中冷却，30min后该

物体降至30℃,若要将该物体的温度接着降至21℃,还需冷却多长时间？

【答案】30min

【解析】设f时刻物体温度为x(t)，比例常数为k(>0),介质温度为m，则

dx

-=-k(x-ni),从而x(f)=Ce*+m,

dt

x(0)=120,机=20,所以C=100,即直/)=100«-"+20

又x(；)=30,所以A:=21nl0,所以x(f)=历，>+20

当x=21时，1=1,所以还须要冷却30min.

(21)(本题满分10分)

已知函数“X)在区间［a,+8］上具有2阶导数，〃a)=0,/(x)>0,/"(x)>0,设

b>a,曲线y=/(x)在点伍,/(与)处的切线与x轴的交点是(玉)，0)，证明

a<x0<b.

【证明】依据题意得点3,/(切)处的切线方程为y—/S)=/'S)(x—A)

令y=0,得％=人

f'(b)

因为尸(x)>0所以/(x)单调递增，又因为/(a)=0

所以/(b)>(),又因为/'(/?)>()

所以％=方一半■<〃

又因为与-。=人一。-/瑞，而在区间(a,b)上应用拉格朗日中值定理有

/(b)-f(a),卜

-------=f⑹，£(a,b)

b-a

所―左瑞瑞…瑞普

因为/”(x)>()所以/'(x)单调递增

所以((。)>/'e)

所以即所>。，所以。</<人，结论得证.

(22)(本题满分11分)

%10、

设矩阵A=1aT且43=。

、01a>

(1)求4的值;

（2）若矩阵X满意x—MV—AX+AXA'-E七为3阶单位阵，求X

【答案】(2o-P

a=0,X=-11-1

J1-L

【解析】

a10010

⑴A3=0=|A|=O=1a-1=\-cra-1=a3=0=>a=0

01a-a1a

(H)由题意知

X-XA?-AX+AX4?=EnX（E-A2）-AX（E-4）=E

^（E-A）X（E-A2）=E=>X=（E-A）~'（E-A2y'=［（E-A2）（E-A

=>X=（E-A2-A）'

"o-ir

E-A1-A=-111

、一1T2,

’0-1IM0（1-1-IM-10、

-11M10f0-11M00

、T-12M01J1-1-12M0