高等数学课件

导数与微分2.1导数的概念及基本初等函数导数公式2.2函数的四则运算的求导法则2.3复合函数的求导法则、高阶导数2.4隐函数的导数、对数求导法2.5微分2.6微分的应用2.1.1导数的概念

引例

１导数的概念0

y

x

2.5.2微分的基本公式及微分的运算法则

导数的应用3.1罗比塔法则3.2拉格朗日中值定理及函数的单调性3.3函数的极值与最值3.4函数图形的凹向与拐点100公里20公里ABCD

不定积分

4.1不定积分的概念和性质4.2不定积分的换元积分方法4.３不定积分的分部积分方法4.４简易积分表的使用4.1不定积分的概念及性质4.1.1不定积分的概念

4.1.2不定积分的性质

4.1.3不定积分的基本积分公式

4.1.4内容小结

4.2不定积分的换元积分积分法4.2.1换元积分法4.2.3内容小结4.2.1第一换元积分法(凑微分法)4.2.2第二换元积分法(去根号法)4.3分部积分法

４．４简易积分表的使用方法前面我们学习了多种求不定积分的方法，但还有许多不定积分的计算难度要更大，在实际工作中为了应用方便，把常用的积分公式汇集成表——积分表。一般积分表是按照被积函数的类型排列的，求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经简单变形后，在表中查得所需结果，下面通过实例说明积分表的使用。1.以直接从表中查到结果的例1求。解本例属于表中（一）类含有的积分，按公式6，当时，有

。例２求。解本例属于表中（五）类含有的积分，按公式28，当，时，有于是

。2.进行变量替换，然后再查表求积分例３求。解表中不能直接查到，若令则可应用积分表（六）中的公式38，于是3.递推公式在积分表中查到所求积分

例４求。解查表中（十一）类公式96，有

就本例而言，利用这个公式并不能求出最后结果，但用一次就可使被积函数的幂指数减少二次，重复使用这个公式直到求出结果，这种公式叫做递推公式。运用公式96，得4.2.3内容小结

1．分部积分法

2．简易积分表的使用方法

定积分及其应用5.1定积分的概念与性质5.2牛顿—莱布尼茨公式5.3定积分的换元法和分部积分法5.4广义积分5.5定积分在几何中的应用5.6定积分其它应用举例

5.1定积分的概念与性质5.1.1两个实例5.1.2定积分的概念5.1.3定积分的几何意义5.1.4定积分的性质5.1.5内容小结5.1.1两个实例图5.1.1

图5.1.2

5.1.2定积分的概念5.1.3定积分的几何意义

5.1.4定积分的性质

5.1.5内容小结1.定积分的概念．

2.定积分的几何意义．

3.定积分的性质．

5.2牛顿—莱布尼茨公式

5.2.1变上限的定积分

5.2.２牛顿—莱布尼茨公式

5.2.3内容小结5.2.1变上限的定积分

5.2.2牛顿—莱布尼茨公式5.2.3内

容

小

结5.3定积分的换元法和分部积分法

5.3.1定积分的换元积分法

5.3.2定积分的分部积分法

5.3.3内容小结５.3.1定积分的换元积分法

５.3.2

定积分的分部积分法

５.3.3内容小结５.4广义积分

５.4.1无穷区间上的广义积分

５.4.2被积函数有无穷间断点的广义积分

５.4.3内容小结５.4.1无穷区间上的广义积分

５.4.2被积函数有无穷间断点的广义积分

５.4.3内容小结

1.无穷区间上的广义积分

2.被积函数有无穷间断点的广义积分

５.５定积分在几何中的应用５.５.1定积分应用的微元法５.５.2用定积分求平面图形的面积５.５.3用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积５.５.4用定积分求平面曲线的弧长５.５.5内容小结５.５.1定积分应用的微元法

５.５.2用定积分求平面图形的面积

图５.５.1

图５.５.2

图５.５.3图５.５.4

图５.５.5

图５.５.6

图５.５.7

５.５.3用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积

图５.５.8

图５.５.9５.５.4用定积分求平面曲线的弧长

图５.５.10

上式称为弧微分公式,于是所求的弧长为图５.５.11

５.５.5内容小结

５.６定积分其它应用举例５.６.1定积分物理应用５.６.2定积分经济应用问题举例５.６.3定积分在工程上的应用

５.６.4内容小结

５.６.1定积分物理应用图5.6.1图５．６.2

5.6.2定积分经济应用问题举例

5.6.3定积分在工程上的应用

5.6.4内容小结行列式、矩阵与线性方程组6.1.1二阶行列式

利用消元法求解：（当时)

=二元线性方程组(Ⅰ)的解中，分母都是

注意到在。为了便于记忆，引入一个新的记号

来表示，即

定义1我们称为二阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，第列的元素。称为二阶行列式的展开式。二阶行列式可按下列方法展开(如图)：

二阶行列式是一个确定的数，这个数称为行列式的值。根据上述定义，我们记：

方程组（Ⅰ）的解可表示为:称为二阶行列式第行实对角线上两元素之积取正号，虚对角线上两元素之积取负号，然后相加就是行列式的展开式。这就是行列式的对角线展开法.⑴

⑵

解：

⑴⑵例1计算下列二阶行列式的值：练习P1061(1)(2)解：方程组化为一般形式：因为

所以，方程组的解为：例2解方程组6.1.2三阶行列式三元线性方程组的一般形式为：

（Ⅱ）

用消元法同样可以求解，但解出来的式子较为复杂，现在的计算机数学工具（如MATLAB）有专门用于解线性方程组的软件，这里我们就不再列出（Ⅱ）解的式子。我们仿照二阶行式，记：

左边叫做三阶行列式，右边叫做这个三阶行列式的展开式。三阶行列式同样可以用对角线法展开

实线上三数之积取正号，虚线上三数之积取负号，然后相加。例3计算行列式的值．

解：

例4展开行列式解：

与二阶行列式相似，可用三阶行列式来求解三元线性方程组。

引入记号

，其中行列式D是由方程组(Ⅱ)中未知数的系数按原来的顺序排列而成，叫做方程组的系数行列式，行列式是以

一列、第二列、第三列的元素所得到．因此，当D≠0时，方程组(Ⅱ)的解可表示为：分别分别替换行列式D中的第

例5解方程组解：方程组化为一般形式：因为所以，根据(6-4)式，方程组的解为：练习P1065（3）所以，方程组的解是6.1.3n阶行列式注意：（1）余子式仍是行列式；（2）余子式是比原行列式低一阶的行列式.中，

例如，在行列式定义1

将行列式中第i行第j列的元素所在的行和列的各元素划去，其余元素按原来的相对位置次序排成一个新的行列式，这个新的行列式称为元素的余子式，记作

。称为

的代数余子式，记作即

有了代数余子式的概念，我们容易得到三阶行列式按第一行元素展开为（＊）若规定一阶行列式

则二阶行列式按第一行元素展开为（＊＊）依照上述（＊）、（＊＊）式来定义n阶行列式：称为n阶行列式.定义2将

个数

排成一个正方形数表，并在它的两旁各加一条竖线，即当时，规定一阶行列式

；当时，规定n阶行列式

例6计算行列式的值．

解：根据定义，在n阶行列式中，有一类特殊的行列式，它们形如(6-8)

或（6-9）

我们都称它们为三角形行列式，其中式(6-8)称为下三角形行列式，式(6-9)称为上三角形行列式．三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积，即四阶和四阶以上的行列式称为高阶行列式．6.1.4n阶行列式的性质按定义计算行列式是一种较复杂的运算方法，下面学习的n阶行列式性质，能简化行列式的计算．

性质１行列式所有的行与相应的列互换，行列式的值不变，即这个性质说明，对于行列式的行成立的性质，对于列也一定成立，反之亦然．

我们把行列式D的行与列互换后所得行列式称为D的转置行列式，记作

性质2

行列式的任意两行（列）互换，行列式仅改变符号．例如,

性质3

若行列式中某两行（列）对应元素相同，则此行列式的值为零．例如,性质4

行列式中某行（列）的各元素有公因子时，可把公因子提到行列式符号外面．例如，

例7计算下列行列式的值：（１）（２）（２）解

(1)推论１若行列式有一行（列）各元素都是零，则此行列式等于零．推论２若行列式有二行（列）对应元素成比例，则此行列式等于零．例如，小结

1．二阶行列式；

2．三阶行列式；

3．n阶行列式及其性质；

4．用行列式求解二（三）元线性方程组。

性质5若行列式某一行（列）的各元素均是两项之和，则行列式可表示为两个行列式之和，其中这两个行列式的该行（列）元素分别为两项中的一项，而其它元素不变．

例如，

性质6将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数K后加到另一行对应位置的元素上，行列式的值变．例如，

性质5在行列式的计算中起着重要的作用．运用性质时选择适当的数，可以使行列式的某些元素变为零．反复交替地使用行列式性质，将行列式化为三角形行列式，也是计算行列式的值的常用方法．例1计算下列行列式的值：（１）（２）解：

（１）=1×(-4)×5=-20（２）

在n阶行列式的定义中，是将行列式按第一行展开的．事实上，n阶行列式也可以按任何一行（列）展开．性质7（行列式展开性质）行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和．例如,例2利用性质6计算行列式的值.解：

性质7行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零．（这样会有两行（列）的元素相同）

例如，在三阶行列式中，

或练习P1064(1)解法1解法2６．２克莱姆（Cramer）法则

在上一节的讨论中我们知道，二元、三元线性方程组在系数行列式时方程组有唯一解，并且解可以表示为:二元线性方程组的解是三元线性方程组的解是一．n元线性方程组的解法n元线性方程组，其一般形式为有如下结论：定理（克莱姆法则）若n元线性方程组的系数行列式则n元线性方程组有且仅有一个解：例3解线性方程组解因为线性方程组的系数行列式所以,方程组有唯一解,又因为

其中Dj(j=1,2,…,n)是把D的第j列元素换成方程组的常数项b1,b2,…bn而得到的n阶行列式.由克莱姆法则,得方程组的解为例4某企业一次投料生产能获得产品及副产品共四种，每种产品的成本未单独核算．现投料四次，得四批产品的总成本如下表所示．试求每种产品的单位成本.解：设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品的单位成本分别为依题意列方程组利用克莱姆法则解这个方程组,得方程组有唯一解:所以,四种产品的单位成本分别为10元,5元,3元,2元.二．齐次线性方程组的解的概念则当系数行列式D≠0时,方程组有唯一零解:

我们应该知道，解线性方程组，只有在方程组的未知数个数与方程个数相等以及方程组的系数行列式D≠0时，才能应用克莱姆法则．当D=0，或者未知数个数与方程个数不相等时，我们可以用矩阵的知识来解决．如果n元线性方程组的常数项均为零，即

三．小结四.课外作业P1081(1)2.行列式的应用——克莱姆法则若n元线性方程组的系数行列式对于６．３矩阵的概念、运算

前言行列式产生于线性方程组的求解，是线性代数中的基本概念之一．矩阵(matrix)是由英国数学家凯莱于1855年作为一个独立的概念引入数学中的，矩阵不仅是解线性方程组的重要工具，而且在工程技术及经济管理中应用广泛．６．３矩阵的概念、运算矩阵(matrix)不仅是解线性方程组的重要工具，而且在工程技术及经济管理中也有着极为广泛的应用．引例某公司销售四种商品Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，它们在第一季度的销售量分别如表6-1所示：

如果我们把这些数按原来的行列次序排出一张矩形数表：

这种矩形数表在数学上就叫做矩阵6.3.1矩阵的概念（6-12）

1.定义1由个数按一定顺序排列成的一个行列的矩形数表:数称为矩阵A的第行列元素.

矩阵通常用大写英文字母Ａ，Ｂ，C,…或,…表示,也可记为或.称为行列矩阵.记作2.几种特殊矩阵

当时，

称为阶方阵，简称方阵．

当时，称为行矩阵．当时，称为列矩阵．(1)方阵(2)行矩阵．(3)列矩阵

(4)零矩阵所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记作O

方阵从左上角到右下角的对角线称为主对角线．除了主对角线上的元素外，其余元素均为零的方阵称为对角矩阵，即(5)对角矩阵(6)单位矩阵

如果对角矩阵中主对角线上的元素均为1，其余元素均为0，则称之为单位矩阵，记作I，即例如，

00(6)三角矩阵

如果方阵中主对角线左下方的元素均为零，则称为上三角矩阵，即或

如果方阵中主对角线右上方的各元素均为零,则称为下三角形矩阵，即上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵．

如果是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即

则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B．3.相关概念

例如,把矩阵Ａ的行换成相应的列所得的矩阵称为矩阵Ａ的转置矩阵,记作例如，矩阵

的行列式为

由方阵Ａ的元素按原来的次序所构成的行列式称为矩阵Ａ的行列式．记作

思考题:行列式与矩阵有什么区别?引例某运输公司分两次将某商品（单位：吨）从３个产地运往４个销地，两次调运方案分别用矩阵Ａ与矩阵Ｂ表示：

显然所求商品运输量用矩阵表示为

这个例子说明，在实际问题中有时需要把两个矩阵的所有对应元素相加．这就是矩阵的加法．6.3.2矩阵的运算1.矩阵的加法与减法求该公司两次从各产地运往各销地的商品运输量．销地产地产地销地定义2设矩阵则矩阵

称为Ａ与Ｂ的和与差，记作

注意:两个矩阵只有当它们的行数和列数都相同(即为同型矩阵)时，才能进行加减运算.

例1已知

求⑴

解:即即

２．数与矩阵相乘求例2已知矩阵定义3设矩阵则矩阵称为数K矩阵Ａ相乘，简称数乘矩阵，记作kA,解：

例如,练习P1152数乘矩阵满足：

⑴交换律：

⑶结合律：

(注意:k=0与A=0是不同的两个概念.)⑵分配律：

其中为任意常数，Ａ、Ｂ均是m行n列矩阵。３．矩阵与矩阵相乘定义4设矩阵注意:其中称矩阵

为矩阵A与矩阵B的乘积,记作1.积的元素是矩阵Ａ的第行的元素与矩阵Ｂ的第列对应位置元素乘积之和.2.只有当矩阵Ａ的列数等于矩阵Ｂ的行数时，Ａ才能与Ｂ相乘，并且所得结果的行数等于矩阵Ａ的行数，而列数等于矩阵Ｂ的列数．

例3已知

求AB.解例如,求AB,BA,AC.解

例4已知

由此可知：(1) 即矩阵乘法不满足交换律．因此，矩阵Ａ与矩阵Ｂ的乘积常读作“Ａ左乘Ｂ”或“Ｂ右乘Ａ”，这时我们称矩阵Ａ为左矩阵，矩阵Ｂ为右矩阵．⑵由不能推出或(3)不能推出，即矩阵乘法不满足消去律．

例5解

由此说明矩阵与单位矩阵的乘法满足（注意：这里两个I不一样）矩阵的乘法还满足

练习

P1153(1)(4)⑴分配律：⑵结合律：

其中Ａ、Ｂ、Ｃ是矩阵，是k任意常数．例8某商店主要销售甲、乙、丙三种商品，其销售量如表1所示，每件商品销售价格及销售利润如表2所示，试求该商店第二季度三个月的销售额及销售利润各为多少？解：4月份的销售额为同理可得：5月份的销售额为28500元，

5月份的利润为4700元；

6月份的销售额为35000元，

6月份的利润为5800元.4月份的利润为我们将上运算用矩阵表示：第二季度的销售额第二季度的利润小结1.矩阵的定义及性质；2.矩阵的运算.课外作业P1153(2),(5).复习：1.矩阵的概念及几种特殊的矩阵同型矩阵相等矩阵转置矩阵矩阵Ａ的行列式2.几个概念3.矩阵的运算(1)矩阵的加减法(2)数与矩阵相乘(3)矩阵乘法其中６．４逆矩阵及初等变换6.4.1逆矩阵

6.4.2矩阵的初等变换

新课内容:6.4.1逆矩阵

根据矩阵与矩阵的乘积和矩阵相等的定义，n元线性方程组(6-10)可写成矩阵形式1.线性方程组的矩阵形式记作式(6-13)称为矩阵方程。

方程组的矩阵形式其中称为方程组(6-10)的系数矩阵；称为未知数矩阵；

称为常数项矩阵．

定义1

设Ａ是n阶方阵，如果存在一个n阶方阵Ｃ，使得

否则称Ａ是不可逆的（或奇异的）．2.逆矩阵的概念

则称方阵Ａ是可逆的（或非奇异的），并称Ｃ为Ａ的逆矩阵，简称逆阵，记作注意:(1)只有方阵才可能有逆矩阵;可逆矩阵具有如下性质：⑴若Ａ可逆，则其逆阵是唯一的．⑵A逆阵的逆阵是A,即

证明：∵

例1设

验证

由逆矩阵的概念，对于下列矩阵方程，若Ａ,B可逆，则

3.用伴随矩阵求逆矩阵其行列式

中各元素

的代数余子式为即将

后转置所得的方阵称为方阵A的伴随矩阵，记作按的顺序排列成方阵，然定义2设n阶方阵有了伴随矩阵，我们就有了求逆阵的方法了。所以，有以下定理：

定理1（伴随矩阵法求逆矩阵法）方阵A

可逆的充要条件是

当A可逆时有（1）因为所以Ａ不可逆．

例2判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求其逆阵．

解（2）因为所以Ａ可逆．所以，

又因为例3解矩阵方程

解：方程两边同时右乘得：

练习P1212(1)

练习P1212(1)例4利用逆矩阵解线性方程组

解：方程组的系数矩阵、未知数矩阵、常数项矩阵分别为则得到矩阵方程为因为

得到方程组的解为

所以，例4利用逆矩阵解线性方程组

解：方程组的系数矩阵、未知数矩阵、常数项矩阵分别为则得到矩阵方程为因为

所以，得到方程组的解为

回顾例4的求解步骤:6.4.2矩阵的初等变换1.矩阵的初等变换定义3(P119定义7)对矩阵的行(或列)作以下三种变换,称为初等变换.

⑴换法变换:矩阵的任意两行（或列）互换位置．（第i行（或列）与第j行（或列）互换，记作⑵倍法变换:用一个不为零的常数乘矩阵的某一行（或列）．（数k乘第i行（或列），记作

⑶消法变换:用一个常数乘矩阵的某一行（或列），再加到另一行（或列）上去.（数k乘第i行（或列），再加到第j行（或列）上去，记作例如,注意:矩阵在作初等变换时中间不能用等号.2.用初等变换求逆矩阵即

具体方法是将n阶方阵Ａ与单位矩阵组成一个长方矩阵，再对这个长方矩阵施行行初等变换，使虚线左边的Ａ变成单位矩阵，这时虚线右边的就变成了（这是求逆阵最有效的方法），例5利用初等变换求矩阵的逆矩阵．

解：

所以,练习P1215(2)解所以,小结1.逆矩阵的定义；2.初等变换;3.逆矩阵的求法:(1)用伴随矩阵求逆矩阵即课外作业P1213(2)(2)用初等变换求逆矩阵即定义1(P119定义5)若矩阵Ａ满足：

⑴零行（即元素全为零的行）在下方，⑵首非零元（即非零行第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，则矩阵Ａ称为阶梯形矩阵．

例如，

都是阶梯形矩阵．6.4.2矩阵的初等变换(续)1.阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵定义2(P119定义5)

若阶梯形矩阵Ａ