物理弹簧专题讲解

专题1弹簧类问题类型一静力学问题中的弹簧类型二 在弹簧弹力作用下瞬时加速度的求解类型三 物体在弹簧弹力作用下的动态分析类型四 物体在弹簧弹力作用下的运动分析类型五传感器问题类型六 连接体弹簧中的动力学问题类型七 连接体弹簧中弹性势能问题类型八 弹簧综合问题中的机械能守恒类型九 用功能关系解决弹簧问题类型十恒定电流中的弹簧的应用类型十一 电磁感应中的弹簧问题弹簧类问题［重点难点提示］弹簧问题是高中物理中常见的题型之一，并且综合性强，是个难点。分析这类题型对训练学生的分析综合能力很有好处。1、 在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为"轻弹簧"。轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒。2、 弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.3、 因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.4、 在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解，同时要注意弹力做功的特点：111Wk=-（恳kx/pkx/）,弹力的功等于弹性势能增量的负值。弹性势能的公式E=^kx2,高k2221p2

考不作定量要求，可作定性讨论。因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。［习题分类解析］类型一静力学问题中的弹簧如图所示，四处完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同:①中的弹簧的左端固定在墙上②中的弹簧的左端也受到大小也为F的拉力的作用③中的弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动④中的弹簧的左端拴一个小物块,物块在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量为零,以L1、L2、L3、L4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（）类型一Q ——*f⑥f——WWVWWV——fFFA．A．L2>L1 B．L4>L3 C．L1>L3分析与解答：题中明确说了弹簧的质量为零，D．L=L24故弹簧为“轻弹簧”，合力肯定为零，则两端受小锦囊在含有弹簧的静力学问题中，当弹簧所处的状态没有明确给出时，必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态,也可以处于压缩状态,必须全面分析各种可能性，以防以偏概全.小锦囊在含有弹簧的静力学问题中，当弹簧所处的状态没有明确给出时，必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态,也可以处于压缩状态,必须全面分析各种可能性，以防以偏概全.到的拉力的大小在①②③④这四幅图中必然相等，否则系统将有无穷大的加速度，而由胡克定律可知，弹簧在这四种情况下的伸长量是一样的，即：L1=L2=L3=L4..答案为D变式1 如图所示,a、b、c为三个物块,M、N为两个轻质弹簧,R为跨过光滑定滑轮的轻绳,它们均处于平衡状态.则:（）有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态分析与解答：研究a、N、c系统由于处于平衡状态,N可能处于拉伸状态，而M可能处于不伸不缩状态或压缩状态;研究a、M、b系统由于处于平衡状态,M可能处于压缩状态（或处于不伸不缩状态）,而N可能处于不伸不缩状态或拉伸状态.答案为AD变式2如图所示,重力为G的质点M与三根相同的轻质弹簧相连，静止时,相邻两弹簧间的夹角均为120。,已知弹簧A、B对质点的作用力均为2G,则弹簧C对质点的作用力大小可能为（）2G B.G C.0 D.3G分析与解答：弹簧A、B对M点的作用力有两种情况：一是拉伸时对M的拉力,二是压缩时对M的弹力.若A、B两弹簧都被拉伸，两弹簧拉

力与质点M重力的合力方向一定竖

直向下，大小为3G,此时弹簧C必被拉伸，对M有竖直向上的大小为3G的拉力，才能使M处于平衡状态.若A、B两弹簧都被压缩,同理可知弹簧C对M有竖直向下的大小为G的弹力.A、B两弹簧不可能一个被拉伸,一个被压缩,否则在题设条件下M不可能平衡.答案为BD变式3 如图所示,两木块的质量分别为m.和m两轻质

弹簧的劲度系数分别为ki和k2,上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为()mg mg mgmgA.1B.2C.1D.2-kkkk1122分析与解答：原来系统处于平衡态则下面弹簧被压缩x1则有：kx=(m+m)g；2112当上面的木块刚离开上面的弹簧时,上面的弹簧显然为小锦囊本题要求学生掌握胡克定律，并理解正比的本质特征•此外对两人拉弹簧与一人拉弹簧的受力分析也是本题设计的陷井.原长,此时对下面的木块巴则有：k笃=m2g，因此下面的木块移动的距离为&=%-X2=7，答案为°小锦囊本题要求学生掌握胡克定律，并理解正比的本质特征•此外对两人拉弹簧与一人拉弹簧的受力分析也是本题设计的陷井.2变式4如图所示，质量为m和M的两块木板由轻弹簧连接，置于水平桌面上.试分析:在m上加多大的压力F,才能在F撤去后，上板弹起时刚好使下板对桌面无压力.分析与解答：设想用力F竖直向上拉使整个系统正好被提起，所用拉力大小为+M)g,当上板弹起刚好使下板对桌面无压力时，弹簧弹力F'的大小也应等于(m+M)g.也就是说，在m上加竖直向下的力F后，使弹簧增加压缩量x,若将F撤去后，弹簧与未加力F相比伸长了x,产生的弹力F'为(m+M)g,由弹簧的可逆性原理可知在m上所加压力F=(m+M)g.变式5如图所示，两物体重分别为乞、G2,两弹簧劲度分别为5、k2，弹簧两端与物体和地面相连。用竖直向上的力缓慢向上拉G2，最后平衡时拉力F=G]+2G2，求该过程系统重力势能的增量。分析与解答：设没有力作用时弹簧的形变量分别为牛、Ax2，力作用后的形变量分别为叫、4x2/,由题意知牛、Lx2为压缩量,Ax/、Ax/为伸长量无拉力F时Ax=(G+G)/k,Ax=Gjk2加拉力F时Ax1/=G2/k1，Ax2/=(G1+G2)/k2而Ah1=Ax1+Ax1/，Ah2=(Ax1/+Ax2/)+(Ax1+Ax2)系统重力势能的增量AE=G；Ah+G；Ahp1122(c丫G+GG)AE= +2GJ-1 2+—2整理后可得：P1 2Ik1 k2丿小锦囊本题若从正向思考，可能难比较大,若换个角度进行思考就可以打开思路•另一方面,弹簧的可逆性原理，实质上就是对称性原理的体现.G2Ax小锦囊本题若从正向思考，可能难比较大,若换个角度进行思考就可以打开思路•另一方面,弹簧的可逆性原理，实质上就是对称性原理的体现.G2Ax2一个轻弹簧一端B固定,另一端C与细绳的一端共同拉住一个质量为m的小球，绳的另一端A也固定，如图所示，且AC、BC与竖直方向夹角分别为°、0，则:1、2

a.烧断细绳瞬间，小球的加速度aa.烧断细绳瞬间，小球的加速度a=gsine2B.烧断细绳瞬间，小球的加速度a=gsinO

sin（0+0）12c.在c处弹簧与小球脱开瞬间川、球的加速度a=gsinO

sin^0+0）12d.在c处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度a=gsine】分析与解答：在绳子烧断前,小球受力平衡,据拉密原理可知FF B—= A—sinO sinOFF B—= A—sinO sinO12sinO+O），故F=siJOTO1），-Fa=sin<O+O2）121212烧断细绳瞬间,F消失，而F尚未变化（弹簧形变需时间,认为这一瞬间不变），此时合力与ABF gsinOF等大反向，加速度为a=a= % ㈠；弹簧与球脱开时,F消失,F发生突变，此a m sin%）+O） ba12时重力与绳子拉力的合力为:时重力与绳子拉力的合力为:F合=mgsinO].方向与ac垂直,所以a=gsinO】.答案为bd变式1 如图所示，物块B和C分别连接在轻弹簧的两端，将其静置于吊篮A的水平底板上，已知A、B、C三者质量相等且为m.则将挂吊篮的轻绳烧断的瞬间，吊篮A、物块B和C的瞬时加速度分别为：A.g、g、g B.g、g、0C.1.5g、1.5g、0 D.g、2g、0分析与解答对物块C在轻绳烧断的瞬间,其受力情况不变,故其瞬时加速度为零•而对于吊篮A和物块B,由于它们是刚性接触，它们之间的相互作用力可发生突变，因此在轻绳烧断的瞬间A和B的加速度相等.研究A、B、C系统，由牛顿定律可知：3mg=2ma:.a=a=1.5g答案为c.AB变式2 如图所示，竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两物块P、Q,它们的质量均瞬间,P对Q压力的大小为（g取10m/s2）：为2kg,瞬间,P对Q压力的大小为（g取10m/s2）：A.5NB.15NC.25ND.35N.分析与解答在物块P上突然施加一个竖直向下的力的瞬间P和Q的加速度相等•研究P、Q系统，据F=2ma:.a=a=2.5m/s2PQ研究P物块，据mg+F-N=ma:.N=25%N）.因此P对Q的压力大小为25N.答案为C变式3 如图天花板上用细绳吊起两个用轻弹簧相连的两个质量相同的小球。两小球均保持静止。当突然剪断细绳时，上面小球A与下面小球B的加速度为( )A．A．a1=g a2=gB．a1=2ga2=gC.aR a2=0D. C.aR a2=0D. ai=oa2=gJlF(a) (bl 【珅(b)分析与解答分别以A，B为研究对象，做剪断前和剪断时的受力分析。剪断前A,B静止。如图2-10,A球受三个力，拉力T、重力mg和弹力F。B球受三个力，重力mg和弹簧拉力FzA球：T—mg-F=0B球：F'—mg=0解得T=2mg，F=mg剪断时，A球受两个力，因为绳无弹性剪断瞬间拉力不存在,小锦囊弹簧和绳是两个物理模型，特点不同。弹簧不计质量，弹性限度内k是常数。绳子不计质量但无弹性，瞬间就可以没有。而弹簧因为有形变，不可瞬间发生变化，即形变不会瞬间改变，要有一段时间。而弹簧有形米，瞬间形状不可改变，弹力还存在。如图2-11，A球受重力mg、弹簧给的弹力F。同理B球受重力mg和弹力F'。A球：—mg—F=maAB球：F'—mg=maB解得aA=—2g(方向向下)aB=0 答案为CAB变式4 如图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定于杆上，小球处于静止状态。设拔去销钉N瞬间，小球加速度的大小为12m/s2。若不拔去销钉m而拔去销钉N瞬间，小球的加速度可能是：(取g=10m/s2)A.22m/s2,竖直向上 B.22m/s2，竖直向下C.2m/s2,竖直向上 D.2m/s2，竖直向下分析与解答：拔去销钉M的瞬间。小球只受下面弹簧的弹力和重力作用。代入数值得：F=22m；1代入数值得：F=22m；1若弹簧处于伸长状态，则弹力向下，设为F2，则F2+mg=ma,代入数值得：F2=2m。小球处于平衡状态时，设上面弹簧处于压缩状态、伸长状态时，上面弹簧的弹力分别为F1 F2由力的平衡方程：F1，+mg=F,F；+mg=F2，得：F{=12m,F^=12m。当拔去销钉N时,列牛顿第二定律方程:F1/+mg=ma/,a'=22m/s2，竖直向下；F；-mg=ma；,a2/=2m/s2,竖直向上。答案为BC类型三I 物体在弹簧弹力作用下的动态分析如图所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上,使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2，求：此过程中所加外力F的最大值和最小值。此过程中外力F所做的功。

分析与解答(1)A原来静止时：kx=mg当物体A开始做匀加速运动时，拉力F最小，设为行，对物体A有：F1＋kx1－mg=ma当物体B刚要离开地面时，拉力F最大，设为F2，对物体A有：F2－kx2－mg=ma对物体B有：kx2=mg1对物体A有：X]+x2=2at2解得a=3.75m/s2，F】=45N,F2=285N⑵在力F作用的0.4s内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：1WF=mg(X]+x2)+-m(at)2 49.5J2变式1 如图，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可以不计，盘内放一个物体小锦囊本题若称盘质量不可忽略,在分析中应注意P物体与称盘分离时，弹簧的形变不为0,P物体的位移就不等于x。，而应等于x0-x(其中X即称盘对弹簧的压缩量)。P处于静止。P的质量为12kg，弹簧的劲度系数k=800N/m。现给小锦囊本题若称盘质量不可忽略,在分析中应注意P物体与称盘分离时，弹簧的形变不为0,P物体的位移就不等于x。，而应等于x0-x(其中X即称盘对弹簧的压缩量)。分析与解答：以物体P为研究对象。物体P静止时受重力G、称盘给的支持力N。因为物体静止，N-G=0所以：N=G=kx0设物体向上匀加速运动加速度为a。此时物体P受力如图2-31受重力G,拉力F和支持力N据牛顿第二定律有F+N'—G=ma当0.2s后物体所受拉力F为恒力，即为P与盘脱离，即弹簧无形变，由0〜0.2s内物体的位移为X。。物体由静止开始运动，则x0=at2/2解得x0=0.15ma=7.5m/s2当N'最大时，即初始时刻，F最小卩皿订ma+mg—kx(=12x(7.5+10)-800x0.15=90(N)F最大值即N=0时，F=ma+mg=210(N)变式2 如图所示,一只升降机在箱底装有若干个弹簧,设在某次事故中,升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中()升降机的速度不断减小升降机的加速度不断变大

先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值.分析与解答：升降机从弹簧下端触地后直到最低点的运动过程可分为三个阶段：①mg>N（Nmg—Nmg—kx为弹簧的弹力），据a= = 可知,加速度a随着形变量x的增大而减小，故此阶段升降机做加速度减小的加速运动；②mg=N时,速度达到vm；③mg<N,据N—mgkx—mga= = 可知,加速度a随着形变量x的增大而增大，故此阶段升降机做加速度增大的减速运动，最低点时v=0,由以上分析知A、B错,由动能定理可知选项C正确•由弹簧的对称性易知选项D也正确.答案为CD类型四物体在弹簧弹力作用下的运动分析一名宇航员抵达一个半径为r的星球表面，为了测定该星球的质量M,他做了如下实验：取一根细线穿过光滑的细直管,细线的一端拴一个质量为m的小球,另一端连接在一固定的测力计上,手握细直管转动小球,使之在竖直平面内做完整的圆周运动,并观察测力计的读数发现:小球运动到圆周的最高点和最低点时测力计的示数差为A已知万有引力常量为G,试求出该星球的质量M分析与解答若设小球在圆周的最高点和最低点时，绳的拉力大小分别为F和F，速度大小分别为v1和v小分别为v1和v2•设圆运动半径为Rv2则在最高点时有:F+mg=m卞v2在最低点时有：F2-吨=mR又:AF=F一F,11小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒，由此可得:刁mv2—mv2=mg•2R2221Mm又据mg=G,联立可得:联立可得:MAFr26Gm变式1 一质量为M的塑料球形容器，在A处与水平面接触。它的内部有一直立A的轻弹簧，弹簧下端固定于容器内部底部，上端系一带正电、质量为m的小球在竖直方向振动，当加一向上的匀强电场后，弹簧正好在原长时，小球恰好有最大速度。在振动过程中球形容器对桌面的最小压力为0,求容器对桌面的最大压力。

A分析与解答因为弹簧正好在原长时小球恰好速度最大，所以：qE=mg小球在最高点时有容器对桌面的压力最小由题意可知，容器在最高点:kx=Mg此时小球受力如图，所受合力为F=mg+kx-qEMg由以上三式得：小球的加速度为：a=5m由振动的对称性可知：小球在最底点时，KX-mg+qE=ma解以上式子得：kX=MgqEmg对容器:Fn=Mg+Kx=2Mg变式2一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a(aVg)匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。qEmg分析与解答设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg,弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有:当N=0时，物体与平板分离，所以此时x :宀因为x当N=0时，物体与平板分离，所以此时x :宀因为x=2at2，所以t=.2m(§①ka变式3A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质量分别为0.42kg和0.40kg,弹簧的劲度系数k=100N/m，若在木块A上作用一个竖直向上的力F,使A由静止开始以0.5m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动(g=10m/s2).使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248J，求这一过程F对木块做的功.分析与解答当F=0(即不加竖直向上F力时)，设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x,有kx=(m+m)gABx=(m+m)g/kAB对A施加F力，分析A、B受力如图9-7对A F+N-mAg=mAa对B kx'-N-mg=ma'BB可知，当NH0时，AB有共同加速度a=a',由②式知欲使A匀加速运动，随N减小F增大.当N=0时，F取得了最大值Fm,即Fm=mA(g+a)=4.41N又当N=0时，A、B开始分离，由③式知，此时，弹簧压缩量kx'=m(a+g)B

小锦囊相互接触的物体间可能存在弹力相互作用。对于面接触的物体,在接触面间弹力变为零时,它们将要分离。抓住相互接触物体分离的这一条件,就可顺利解答相关问题。小锦囊相互接触的物体间可能存在弹力相互作用。对于面接触的物体,在接触面间弹力变为零时,它们将要分离。抓住相互接触物体分离的这一条件,就可顺利解答相关问题。BAB共同速度v2=2a(x-xz)由题知，此过程弹性势能减少了Wp=Ep=0.248J设F力功WF，对这一过程应用动能定理或功能原理1WF+EP-(mA+mB)gd=2(mA+mB)V联立上述方程，且注意到Ep=0.248J可知,W=9.64x10-2J类型五传传感器问题如图的装置可以测量汽车在水平路面上做匀加速直线运动的加速度。该装置是在矩形箱子的前后壁上各安装一个由力敏电阻组成的压力传感器。用两根相同的轻弹簧夹着一个质量为2.0kg的滑块，滑块可以无摩擦滑动,传感器a传感器b两弹簧的另一端分别压在传感器a、b上，其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出。现将装置沿运动方向固定在汽车上，传感器b在前，传感器a在后。汽车静止时，传感器a、b的示数均为10N。(取g=10m/s传感器a传感器b(1)若传感器a的示数为14N、b的示数为6.0N,求此时汽车加速度的大小和方向。(2)当汽车以怎样的加速度运动时，传感器a的示数为零。分析与解答(1)当传感器a的示数为14N、b的示数为6.0N时，说明左端弹簧的压力增大,右端弹簧的压力减小，以滑块为研究对象在水平方向上运用牛顿第二定律，(FT-F2)=ma,所以(14-6)=2a,a=4m/s2，方向向右(2)设加速度为a/时，传感器a的示数为0,则左端弹簧的弹力为0。以滑块为研究对象，运用牛顿第二定律，(10+10)=ma/，所以a/=10m/s2，方向向左。变式1如图所示的装置可以测量飞行器在竖直方向上做匀加速直线运动的加速度。该装置是在矩形箱子的上、下壁上各安装一个可以测力的传感器，分别连接两根劲度系数相同(可拉伸可压缩)的轻弹簧的一端，弹簧的另一端都固定在一个滑块上，滑块套在光滑竖直Z二3.wzsYar?杆上。现将该装置固定在一飞行器上，传感器P在上，传感器Q在下。飞行器在地面静止时，传感器P、Q显示的弹力大小均为10NZ二3.wzsYar?滑块的质量(地面处的g=10m/s2)若此飞行器在地面附近沿竖直方向向上加速运动时，传感器P显示的弹力大小为20N,此时飞行器的加速度多大？G2F2x10分析与解答(1)m=一= = kg=2kggg10(2)由牛顿第二定律得：2F－mg=ma2F一mg2x20一2x10a= - m/s2=10(m/s2)m2变式2 两个质量不计的弹簧将一金属块支在箱子的上顶板与下底板之间,箱子只能沿竖直方向运动，如图所示，两弹簧原长均为0.80m,劲度系数均为60N/m.当箱以a=2.0m/s2的加速度匀减速上升时，上、下弹簧的长度分别为 0.70m和0.60m(g=10m/s2).若上顶板压力是下底板压力的四分之一，试判断箱的运动情况.

分析与解答由题意可知上、下两弹簧均处于压缩状态•令下、上弹簧的弹力分别为叫和N2则据胡克定律可得:N1=60x(0.80-0.60)=12.0N,N=60X(0・80-0.70)=6.0N.设向下为正方向,当金属块以2.0m/s2的加速度匀减速上升时,由牛顿第二定律得:mg+N一N=ma.解之m=o.75kg.因弹簧总长度不变，则l=l+1=0.70+0.60=1・30(m)・12上顶板压力为下底板压力的1/4时，设上、下弹簧的压缩量分别为X'和x'，则x'=4x',2112由21一5x'=1，.:x'=0・06m・N'=kx'=3.6N.则N'=4N=14.4N.0222212据mg+N'一N'=ma'，得a'=-4.4mIs2.21因此箱子以大小为4.4m/s2的加速度上升或减速下降.类型六连接体弹簧中的动力学问题如图所示，在倾角为0的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B,它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板。系统处一静止状态，现开始用一恒AB力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d,重力加速度为go分析与解答：令X］表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知mgsin0=kx令X2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量，可知：kx2=mBgsin^_F—mAgsin野一kx2—mAaF一(m+m)gsin0由②③式可得a= ABm由题意d由题意d—x1＋x2(m+m)gsin0联立可得d= Abk变式1 如图所示，A、B两滑环分别套在间距为1m的光滑细杆上，A和B的质量之比为1:3用一自然长度为1m的轻弹簧将两环相连，在A环上作用一沿杆方向的、大小为20N的拉力F，当两环都沿杆以相同的加速度a运动时，弹簧与杆夹角为53°o(cos53°=0.6)求：(1)弹簧的劲度系数为多少？(2)若突然撤去拉力F，在撤去拉力F的瞬间，A的加速度为a/al与a之间比为多少？

分析与解答：(1)先取A+B和弹簧整体为研究对象，弹簧弹力为内力，杆对A、B支持力与加速度方向垂直，在沿F方向应用牛顿第二定律F=(mA+mB)aAB再取B为研究对象Fcos53°=mBa弹 B联立求解得，F弹=25N弹由几何关系得，弹簧的伸长量/x=l(1/sin53°—1)=0.25m所以弹簧的劲度系数k=100N/m(2)撤去F力瞬间，弹簧弹力不变，A的加速度a/=F弹cos53°/m弹

所以a/：a=3:1。类型七连接体弹簧中弹性势能问题类型七如图所示，轻弹簧的两端与两物块（质量分别为m】、m2）连在一起时,m】静止在A点,m2靠墙,现用水平力F推m】使弹簧压缩,m]=1kg,m2=2kg，将它们放在光滑的水平面上，弹簧自然压缩一段距离后静止，此过程中力F的功为4.5J.当F撤去后，求：（l）m】在运动过程中的最大速度⑵m2在运动过程中的最大速度⑶m】在越过A点后速度最小时弹簧的弹性势能分析与解答：（l）.m】在弹开过程中，回到A点时速度最大，设为V】,1则有:W=-mv2v=3m/s.F2111（2）.m】越过A点后,m2开始向右加速,m】开始减速，弹簧被拉长，当其伸长到最大长度时,二者具有共同速度v此过程对系统有:件叮=<mi+m2】；2i+mJ2+E2i2Pm解得:v=1m/s.Ep=3JPm（3）m越过a点后由伸长到最长至第二次恢复原长过程的某一时刻速度第一次最小且为零.据由mv=mv'+o,得v'=1.5m/sii22 2iimv2=mv'2+E.得E=2.25J2ii2 22P P变式1 在原子物理中，研究核子与核子关联的最有效途经是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下面力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直轨道的固定档板P,右边有一小球C沿轨道以速度vo射向B球，如图7所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后,A球与档板P发生碰撞，碰后A、D静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除销定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。（1） 求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。（2） 求在A球离开档板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。分析与解答：整个过程可分为四个阶段来处理．（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为V],由动量守恒定律，得mv=2mv01当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为V2，由动量守恒定律，得2mv=3mv12

即 v=(1/3)V.10此问也可直接用动量守恒一次求出(从接触到相对静止)mv°=3mv2，V2=(1/3)v.0(2)设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为Ep,由能量守恒定律，得2＋Ep12＋Ep2(2m)22(2m)22撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，弹性势能全部转变成D的动能，设D的速度为v，有3E=—(2m)v2p2 3以后弹簧伸长，A球离开挡板P,并获得速度.设此时的速度为v，由动量守恒定律,4得2mv=3mv341V2=—322(21V2=—322(2m)3m)1即Ep=36mvo2.变式2如图，质量为mi的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A,另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为(m+m)的物体D,仍从上述初始12位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为go分析与解答：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为X],有kxi=mig挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有kX2=m2gB不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为△E=m3g(Xi+X2)－mig(Xi+X2)C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得11(m+m)v2+mv2=(m+m)g(x+x)一mg(x+x)一AE2 3 1 2 1 3 1 1 2 1 1 2(2m+m)v2=mg(x+x)2 1 3 1 1 2

12m(m+m)g2即v= 11 2(2m+m)k1 3变式3如图所示，两个质量均为4m的小球A和B由轻弹簧连接，置于光滑水平面上.一颗质量为m子弹，以水平速度％射入A球，并在极短时间内嵌在其中.求:在运动过程中什么时候弹簧的弹性势能最大，最大值是多少？A球的最小速度和B球的最大速度.分析与解答：子弹与A球发生完全非弹性碰撞，子弹质量为m，A球、B球分别都为M,当子弹射入A球并嵌入其中的过程中B球可以看为速度没有发生变化，子弹与A球作为一系统，以子弹入射前为初态、子弹和A球有共同速度为末态•根据动量守恒定律有mv0=(m+M)V(1)以子弹、A球、B球作为一系统，以子弹和A球有共同速度为初态，子弹、A球、B球速度相同时为末态，则(m+M)V=(m+M+M)VfTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1(m+M)V2= (m+M+M)V'2+E\o"CurrentDocument"2 2 p玄 A\o"CurrentDocument"2mv2 "BQ 0M=4m 解得E= 4P45小锦囊子弹、A球一起向右运动，弹簧因被压缩而产生弹力.A球开始减速，B球开始加速；当两球速度相等时，弹簧压缩量达到最大值，此时弹簧的弹性势能最大；接着，弹簧开始伸长,弹力继续使B加速而使A减速;当弹簧恢复到原长时，B球速度达到最大值,A球速度达到最小值；然后，弹簧又开始伸长，使A球加速，使B球减速.当两球速度相等时弹簧的伸长量达到最大(此时弹簧的弹性势能与压缩量最大时的弹性势能相等)如此反复进行•小锦囊子弹、A球一起向右运动，弹簧因被压缩而产生弹力.A球开始减速，B球开始加速；当两球速度相等时，弹簧压缩量达到最大值，此时弹簧的弹性势能最大；接着，弹簧开始伸长,弹力继续使B加速而使A减速;当弹簧恢复到原长时，B球速度达到最大值,A球速度达到最小值；然后，弹簧又开始伸长，使A球加速，使B球减速.当两球速度相等时弹簧的伸长量达到最大(此时弹簧的弹性势能与压缩量最大时的弹性势能相等)如此反复进行•所以,两球的速度达到极值的条件一—弹簧形变量为零.111(m+M)V2二(m+M)V2+MV2解得Va-1v450或Va解得Va-1v450或Va=5voV=0B根据题意求A球的最小速度和B球的最大速度，所以VAi二45v，VB二2voAmin450Bmax90变式4 如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为mA=2.0kg,mB=1.0kg,ABmc=1.0kg,现用一轻弹簧将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做功108J(弹簧仍处于弹性范围)，然后同时释放，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰以4m/s的速度迎面与B发生碰撞并瞬时粘连。求:(1)弹簧刚好恢复原长时(B与C碰撞前)，A和B物块速度的大小。(2)当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能。分析与解答：(1)设弹簧刚好恢复原长时，A和B物块速度的大小分别为v、vAB

联立解得va=联立解得va=6m/S11mv2+mv22AA2BB=EPv=12m/sB(2)弹簧第二次被压缩到最短时，弹簧具有的弹性势能最大，此时A、B、C具有相同的速度，设此速度为vmv=(m+m+m)vCCABC所以v=1m/sC与B碰撞，设碰后B、C粘连时的速度为v'mv—mv=(m+m)v' v'=4m/sBBCCBC故：弹簧第二次被压缩最短时，弹簧具有的最大弹性势能为：111E'=mv2+(m+m)v'2一(m+m+m)v2=50JP2AA2BC 2ABC变式5如图所示，一质量为m的塑料球形容器放在水平桌面上，它的内部有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧直立地固定于容器内壁的底部,弹簧上端固定一只电荷量为q的带正电小球,小球质量也为m,与弹簧绝缘。某时刻加一个场强大小为E、方向竖直向上的匀强电场。试求：1)从加上电场时刻起，到容器对桌面压力减为零时止，电场力对小球做的功。2)容器对桌面压力为零时，小球的速度大小。分析与解答：(1)开始时，弹簧压缩量为X]=弩容器对桌面压力为零时，弹簧伸长量为x2=mg所以电场力做功为W=qE(x1+x2)=2Eqmg2)开始时和容器对桌面压力为零时，弹簧的弹性势能相等W_mg(X]+x2)=^2mv2一0类型八I弹簧综合问题中的机械能守恒如图所示，质量分别为m和M的人、B两重物用劲度系数为k的轻质弹簧竖直地连接起来,使弹簧为原长时，两物从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。当重物人下降距离h时，重物B使弹簧为原长时，两物从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。当重物人下降距离h时，重物B刚好与地面相碰，假定碰后的瞬间重物B不离开地面(B与地面作完全非弹性碰撞)但不粘连。为使重物A反弹时能将重物B提离地面，试问下落高度h至少应为多少？(提示：1弹簧形变量为%时的弹性势能为Ep=kx2)分析与解答：B触地时，弹簧为原长，A的速度为：v=、]2gh，A压缩弹簧，后被向上弹起弹簧又恢复原长时，因机械守恒，可知A的速"77~^77^7T7度仍为：va「2gh小锦囊尤其要注意对本题隐含条件的挖掘，铜块与弹簧相碰，碰后返回恰好停在木板的右端,说明此时铜块与木板存在着相同的对地速度,因此，全过程铜块与木板的碰撞相当于完全15勿初上表面必存在摩擦TZ碰,因此木小锦囊尤其要注意对本题隐含条件的挖掘，铜块与弹簧相碰，碰后返回恰好停在木板的右端,说明此时铜块与木板存在着相同的对地速度,因此，全过程铜块与木板的碰撞相当于完全15勿初上表面必存在摩擦TZ碰,因此木力。A继续向上运动拉伸弹簧，设％=0时弹簧伸长量为x,则要使此时B能被提离地面，应有：kx=Mg而在此弹簧被拉伸的过程对A和弹簧有：1mv2=mgx+1kx22A2由上几式可解得：h=M•M+2mK 2m变式1如图1,在光滑水平长直轨道上,放着一个静止的弹簧振子,它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成,两小球质量相等,现突然给左端小球一个向右的速度u0,求弹簧第一次恢复到自然长度时,每个小球的速度.(2)如图,将N个这样的振子放在该轨道上,最左边的振子被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E0,其余的振子间都有一定距离,现解除对振子1的锁定,任其自由运动,当它第一次恢复到自然长度时,刚好与振子2碰撞,此后,继续发生一些碰撞,每一个振子被碰后都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一振子相碰,求所有的碰撞都发生后,每个振子弹性势能的最大值,已知两球相撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度.分析与解答：(1).振子从初态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直处_1 2 3 4 N于压缩状态，当两球速度相同均为'2 QWWWMWO.■■rZ ZZ时,(即为10时刻)弹簧压缩最短,t0--t弹簧逐渐恢复原长，当t时刻弹簧恢复到原长时，左小球速度为零,右小球速度为u0,即两小球互换速度.(2)从振子1解除锁定到弹簧第一次恢复原长过程中,右小球向右加速,左小球向左加速且

具有瞬时对称性,两小球和弹簧组成的系统满足动量守恒和机械能守恒,设向右为正向,则有:mv+mv'=011TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"11 E\o"CurrentDocument"—mv2+一mv‘2=E.解得v= o,v'2 1 2 1 0 —m—且在此时刻振子1的右小球与振子2的左小球相碰,碰后它们互换速度,此时振子1左小球的速度仍为v1.此后振子1向左运动,左小球向左减速,右小球向左加速,当其速度相同时弹簧拉伸至最长，弹性势能最大，设两球的共速为v,11则有:mv1=2mv—mv2=—2mv2+E则有:mv1'2 1 2 p1解得E=1E-p40变式2 如图所示,质量为M的L型长木板静止在光滑水平面上，在木板的右端有一质量为m的小铜块，现给铜块一个水平向左的初速度v,铜块向左滑行并与固定在木板左端的长度为lo的轻弹簧相碰，碰后返回且恰好停在木板的右端，求：铜块与弹簧作用过程中弹簧获得的最大弹性势能.分析与解答：第一阶段为从铜块开始运动到弹簧压缩最短此时铜块与木板具有相同的速度v1,由系统动量守恒定律和能量守恒定律可得：mvo=M+mvo=M+m)v；1W+EfP1=mv220+m第二阶段为从弹簧压缩最短到铜块运动到木板的最右端，此时它们具有相同的速度v2,由系统动量守恒定律和能量守恒定律可得：E-W +m九2-v2)Pf221可解之：v1可解之：v1=v2Mmv2变式3质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面，平衡时弹簧的压缩量为X0，一物块从钢板正上方距离为3X0的A处自由落下，和钢板相碰后共同向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，若物块质量也为m时，它们恰好不分离。若物块质量为2m,仍从A处自由下落，则物块回到弹簧原长处O点时还有速度，求：物块向上运动到达的最高点与O点（弹簧的原长位置）的距离分析与解答：物块下落过程中机械能守恒，有：mg3x=mv2/20碰撞过程动量守恒，有：mv=2mv'后段运动过程中它们恰好不分离，得：在最高点速度为0，弹簧正好是原长，由机械能守恒得：Ep+（2m）v'2/2=2mgx0当物块质量为2m时：物块下落过程中2mg.3x0=（2m）v2/22mv=3mv'碰撞过程：2mv=3mv'机械能守恒得：Ep+1/2(3m)v'2=3mgx0+(3mg)v”2/2物块上升过程中：（2m）v"2/2=mgh1解以上各式得：h=x20类型九 用功能关系解决弹簧问题图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B相同滑块A,从导轨上的P点以某一初速度向B滑行，当A滑过距离11时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回出发点P并停止。滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为卩，运动过程中弹簧最大形变量为12，求A从P出发时的初速度V0。分析与解答：令A、B质量皆为m,A刚接触B时速度为V1（碰前），由功能关系，有

mv2-1mv2二umgl0211A、B碰撞过程中动量守恒，令碰后A、B共同运动的速度为V2.有mv=2mv12碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速度为V3，在这过程中，弹簧势能始末两态都为零，利用功能关系，有(2m)v2一(2m)v2=u(2m)g(2l)2 2 2 3 2此后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有mv2=umgl2 3 1由以上各式，解得vo="g(10li十1612)变式1 如图所示，质量均为m的两球AB间有压缩的轻、短弹簧处于锁定状态，放置在水平面上竖直光滑的发射管内(两球的大小尺寸和弹簧尺寸都可忽略，他们整体视为质点)，解除锁定时，A球能上升的最大高度为H，现在让两球包括锁定的弹簧从水平面出发，沿光滑的半径为R的半圆槽从右侧由静止开始下滑，至最低点时，瞬间锁定解除，求A球离开圆槽后能上升的最大高度。分析与解答：解除锁定后弹簧将弹性势能全部转化为A的机械能，则弹簧弹性势能为E弹=洌v0,解除弹簧锁定后A、Bv0,解除弹簧锁定后A、B的速度分别为va、B2mgR=2xmv02/22mv0=mvA+mvB2XmV02/2+E弹=mVa2/2+mVb2/2将vB=2v0-vA代入能量关系得到v0=(2gR)1/2B0A2mgR+mgH=mvA2/2+m(2v0-vA)2/2得到： vA=(2gR)1/2+(v0=(2gR)1/2h=H/2+(2RH)1/2相对水平面上升最大高度h,贝9：h=H/2+(2RH)1/2变式2 如图所示，长木板ab的b端固定一挡板，挡板上固定一原长为的轻弹簧，木板连同挡板的质量为M,a、b间距离为s,木板位于光滑水平面上。在木板a端有一小物块，其质量为m,小物块与木板间的动摩擦因数为仏它们都处于静止状态。现令小物块以初速v0沿木板向前滑动，直到和弹簧相碰，碰后小物块又返回并恰好回到a端而不脱离木板。求：弹簧的最大弹性势能。弹簧的最大形变量。分析与解答：(1)小物块压缩弹簧到最短时的速度及小物块回到a端时的速度相等，由动量守恒得mv0=(m+M)vmvv二 0—m+M

全过程中’系统产生的内能为\E=2mv2~全过程中’系统产生的内能为\E=2mv2~—(m+M22mMv2弹簧的最大弹性势能为所产生的内能的一半’即比=—AE=mMv2(2)系统损失的机械能用克服摩擦力做功上，由此可得△E沖mg・2(s—/0+x)mMv2 Mv2即2mzMTmg2(s—l0+x)解得x=4(m+MLg+l0—s变式3质量为M=3Kg的小车放在光滑的水平面上，物块A和B的质量为mA=mB=m=1Kg,AB放在小车的光滑水平底板上，物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连结起来，不会分离。物块A和B并排靠在一起，现用力压B,并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功W=135J,如图所示。撤去外力，当B和A分开后，在A达到小车底板的最左端位置之前，B已从小车左端抛出(A不会从车上落下)。求：B与A分离前的过程中A对B做了多少功？整个过程中，弹簧从压缩状态开始，第二次恢复到原长时，物块A和小车的速度。分析与解答：由题意知，在撤去外力之时，A、B与小车具有的总机械能为E=W=135J(1)A、B分离时，速度相等，设大小为VA1、方向向左，小车的速度大小为VC1、方向向右。此时A、B之间无相互作用力，所以弹簧处于自然长度，弹性势能为0。从撤去外力到A、B分离的过程中，A、B与小车动量守恒、机械能守同盟，即：2x-1mV2+亠MV2=E2 A1 2 C12mV二MVA1 C1解得：VA1=3m/sVC1=2m/sB与A分离过程中A对B做功等于B的动能的增量，即:W=imV2=4.5J2 A1(2)设弹簧第二次恢复原长时，A的速度为Va2,小车的速度为VC2，设水平向右为正方向,根据能量守恒星动量守恒得：mV2+1MV2=士mV2++MV2A2 2C22 A1 2 C1A1VC2=2m/sVC2=—A1VC2=2m/sVC2=—0.5m/s解得：VA2=—3m/s或：VA2=4.5m/s由于弹簧是由伸长状态变原长状态，所以必然有VA2>VC2,所以第二次恢复原长时，A的速度大小为4・5m/s，方向水平向右；小车的速度大小为0・5m/s,方向水平向左。变式4在纳米技术中需要移动或修补原子，必须使在不停地做热运动(速率约几百米每秒)的原子几乎静止下来且能在一个小的空间区域内停留一段时间，为此已发明了“激光致冷”的技术，若把原子和入射光子分别类比为一辆小车和一个小球，则“激光致冷”与下述的力学模型很类似。一辆质量为m的小车(一侧固定一轻弹簧)，如图所示以速度V。水平向右

运动，一个动量大小为p,质量可以忽略的小球水平向左射入小车并压缩弹簧至最短，接着被锁定一段时间再解除锁定使小球以大小相同的动量p水平向右弹出，紧接着不断重复上述过程，最终小车将停下来，设地面和车厢均为光滑，除锁定时间AT外，不计小球在小车上运动和弹簧压缩、伸长的时间，求：（1） 小球第一次入射后再弹出时，小车的速度的大小和这一过程中小车动能的减少量。（2） 从小球第一次入射开始到小车停止运动所经历的时间。分析与解答：（1）小球射入小车和从小车中弹出的过程中，小球和小车所组成的系统动量守恒。由动量守恒定律得（取向右为正）mv一p=mv01mv二mv+p112p得：v=v--1 0m此过程中小车动能减少量A