新教材适用2023-2024学年高中数学第6章统计3用样本估计总体的分布课件北师大版必修第一册

§3

用样本估计总体的分布自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习课标定位素养阐释1.通过实例了解频数和频率的区别与联系.2.理解频数、频率在实际问题中如何反映总体.3.在表示样本数据的过程中,通过实例学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图,并体会它们各自的特点.4.在解决统计实际问题的过程中,体会用样本估计总体分布的思想,提升数学运算、数学建模的核心素养.

自主预习·新知导学一、频数和频率【问题思考】1.阅读下面情境问题,并回答问题.情境1:某校高一年级学生今天缺勤12人.情境2:某校高一年级学生今天的缺勤率为1%.(1)在上述两种情境中,分别从哪个角度来刻画缺勤情况?(2)频数和频率的区别与联系是什么?提示:(1)情境1是用频数作为指标来刻画.情境2是用频率作为指标来刻画.(2)频数是指一种情况中出现的数量,频率是频数与总数的比值.频数和频率都是用来刻画样本和总体之间的关系的,因为总体的数量不同,所以仅用频数来刻画是不够的,用频率能更好地反映样本和总体的相应特征.2.(1)频率表示频数与总数的比值,能更好地反映样本和总体的相应特征.(2)频率反映了相对总数而言的相对强度,其所携带的总体信息远超过频数.在实际问题中,如果总体容量比较小,频数也可以较客观地反映总体分布;当总体容量较大时,频率就更能客观地反映总体分布.3.在统计中,频率有怎样的用途?提示:在统计中,经常要用样本数据的频率去估计总体中相应的频率,即对总体分布进行估计.二、频率分布直方图【问题思考】1.将一定数量的数据,按从小到大的顺序分组后,如何更直观、形象地来描述它们的分布?提示:用频率分布直方图来描述.2.图中每个矩形的底边长是该组的组距,每个小矩形的高是该组的频率与组距的比,从而每个小矩形的面积等于该组的频率,即每个小矩形的面积=组距×=频率,我们把这样的图叫作频率分布直方图.频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.3.频率分布直方图的好处在于什么?提示:首先,能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别;其次,当考虑数据落在若干个组内的频率之和时,可以用相应的矩形面积之和来表示.4.画频率分布直方图的步骤是什么?提示:(1)计算极差;(2)确定组距与组数;(3)分组;(4)列表;(5)画频率分布直方图.5.对某活动中800名志愿者的年龄抽样调查,统计后得到频率分布直方图,如图,但是年龄在区间[25,30)内的数据不慎丢失,依据此图回答以下问题:(1)年龄在区间[25,30)内对应小矩形的高度为

;

(2)据此估计本次活动中志愿者年龄在区间[25,35)内的人数为

.

解析:(1)设年龄在区间[25,30)内对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.(2)由(1)得志愿者年龄在区间[25,35)内的频率为5×(0.04+0.07)=0.55,故可据此估计本次活动中志愿者年龄在区间[25,35)内的人数为0.55×800=440.答案:(1)0.04

(2)440三、频率分布折线图【问题思考】1.(1)定义:在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的中点开始,用线段依次连接各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,我们称之为频率折线图.(2)作用:有时也用它来估计总体的分布情况.2.样本容量的大小与估计总体的分布有什么关系?提示:一般地,样本容量越大,用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确.3.随着样本容量的增大,所划分的区间数也可以随之增多,而每个区间的长度则会相应随之减小,相应的频率折线图会怎样?提示:越来越接近于一条光滑曲线.4.是不是样本容量越大就越好?提示:样本容量越大,工作量就越大,所以实际问题中,一般根据不同的情况,选择适当的样本容量.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)频率分布直方图的组数越多,越能看出总体数据的分布特点.(

×

)(2)频率分布直方图中小矩形的高度就是对应组的频率.(

×

)(3)同一组数据,组数不同,得到的频率分布直方图的形状也不同.(

√

)(4)频率分布直方图中的所有小矩形的面积之和等于1.(

√

)(5)频率分布表和频率分布直方图之间有密切关系,它们是相同数据的两种不同表达方式.(

√

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

画频率分布直方图【例1】

某中学同年级40名男生的体重数据(单位:kg)如下:61

60

59

59

59

58

58

57

57

5757

56

56

56

56

56

56

56

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5555

55

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54

54

54

53

53

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5252

52

52

51

51

51

50

50

49

48列出样本的频率分布表;画出频率分布直方图.分析:画频率分布直方图的一般步骤:算极差,确定组距,分组,列频率分布表,画频率分布直方图.解:(1)计算极差:61-48=13.所以,共分成7组.(3)分组:使分组端点比数据多一位小数,并把第1组的分组端点减小0.5,即分成如下7组:[47.5,49.5),[49.5,51.5),…,[59.5,61.5].(4)列频率分布表如下:(5)画出频率分布直方图.1.组数的确定方法:当数据在120个以内时,通常按照数据的多少分成5组~12组.2.分组方法:若数据为整数,则分组端点减去0.5;若数据的小数点后有一位数,则分组端点减去0.05,以此类推.【变式训练1】

某班50名同学参加数学测验,成绩的分组及各组的频数如下:[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.(1)列出样本的频率分布表;(2)画出频率分布直方图.解:(1)列频率分布表如下:分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100]80.16(2)频率分布直方图如图所示.探究二

频率分布直方图的应用【例2】

为了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出的频率分布直方图如图6-3-2,图中从左到右各小矩形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,已知第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该校全体高一学生的达标率.(注:图中分组除最后一组为闭区间外,其余分组均为左闭右开区间)解:(1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小,1.若本例条件不变,试求样本中不达标的学生人数.解:由达标率为88%,知不达标的学生频率为1-0.88=0.12.又样本容量为150,所以样本中不达标的学生人数为150×0.12=18.2.若本例条件不变,试求第三小组的频数.又因为样本容量为150,所以第三小组的频数为150×0.34=51.【变式训练2】

某工厂对一批产品进行了抽样检测,根据抽样检测后的产品净重数据(单位:g)绘制的频率分布直方图如图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知样本中净重小于100g的产品的个数是36,则样本中净重大于或等于98g并且小于104g的产品的个数是(

).

A.90 B.75 C.60 D.45解析:产品净重小于100

g的频率为(0.050+0.100)×2=0.300.已知样本中产品净重小于100

g的个数是36,设样本容量为n,则

,可得n=120.产品净重大于或等于98

g并且小于104

g的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.750,所以样本中产品净重大于或等于98

g并且小于104

g的个数是120×0.750=90.故选A.答案:A探究三

频率折线图【例3】

已知50个样本数据的分组以及各组的频数如下:[153.5,155.5),2

[161.5,163.5),10[155.5,157.5),7 [163.5,165.5),6[157.5,159.5),9 [165.5,167.5),4[159.5,161.5),11 [167.5,169.5],1(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图和频率折线图.分析:此题按照频率分布直方图、频率折线图的绘制步骤解决即可.解:(1)频率分布表如下:(2)频率分布直方图和频率折线图如图所示.【变式训练3】

为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为100的样本,数据的分组情况与频数如下:[10.75,10.85),3;[10.85,10.95),9;[10.95,11.05),13;[11.05,11.15),16;[11.15,11.25),26;[11.25,11.35),20;[11.35,11.45),7;[11.45,11.55),4;[11.55,11.65],2.(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图以及频率折线图;(3)根据上述图表,估计数据落在区间[10.95,11.35)内的可能性是百分之几.解:(1)频率分布表如下:(2)频率分布直方图及频率折线图如图所示.

(3)由上述图表可知,数据落在区间[10.95,11.35)内的频率为0.13+0.16+0.26+0.20=0.75=75%,即数据落在区间[10.95,11.35)内的可能性约是75%.易

错

辨

析将矩形的高看作频率致误【典例】

为了解新生儿的体重(单位:g),将所得数据整理后,画出了频率分布直方图,如图6-3-4.新生儿体重在区间[2650,2900)内的频率为

.(除最后一组为闭区间外,其余分组均为左闭右开区间)

错解

观察可知,新生儿体重在区间[2650,2900)内的频率为0.001.答案

0.001以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:频率分布直方图中矩形的高是该组的频率与组距的比,不是频率.正解:由题图可知,组距=250,故新生儿体重在区间[2650,2900)内的频率为0.001×250=0.25.答案:0.25随

堂

练

习1.关于频率分布直方图中小矩形的高的说法,正确的是(

)A.表示落在该组内的个体在样本中出现的频率B.表示取某数的频率C.表示落在该组内的个体数与组距的比值D.表示落在该组内的个体在样本中出现的频率与组距的比值答案:D2.已知样本数据:10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12,则下列分组中频率为0.3的是(

).A.[5.5,7.5) B.[7.5,9.5)C.[9.5,11.5) D.[11.5,13.5]解析:由题意知,样本容量为20.若频率为0.3,则在该组的频数应为20×0.3=6.由数据可知选B.答案:B3.某幼儿园对本园“中班”的100名儿童的体重(单位:kg)做了测量,并根据所测量的数据画出了频率分布直方图,如图所示,其分组除最后一组为闭区间外,其余分组均为左闭右开区间,则体重在区间[18,20)内的儿童人数为(

).A.15

B.25

C.30

D.75解析:这100名儿童的体重在区间[18,20)内的频率是0.075×2=0.15,所以体重在区间[18,20)内的儿童人数为100×0.15=15.答案:A4.根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的频率分布直方图,如图所示,其中平均气温的范围是20.5~26.5℃,样本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5