新教材适用2023-2024学年高中数学第7章概率复习课课件北师大版必修第一册

第7课时

概率知识网络要点梳理专题归纳·核心突破

知识网络

要点梳理1.什么是随机现象?其特点是什么?提示:在自然界和人类社会中,普遍存在着两种现象,一类是在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.另一类则是在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.随机现象有两个特点:(1)结果至少有2种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.2.什么是样本空间?什么是样本点?什么是有限样本空间?提示:一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.3.什么是随机事件,必然事件,不可能事件?提示:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件,常用A,B,C等表示.样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.空集⌀也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称⌀为不可能事件.4.随机事件的运算有哪些?提示:(1)交事件(或积事件);(2)并事件(或和事件);(3)事件的互斥与对立.5.古典概型的概率公式是什么?提示:对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为6.什么是相互独立事件,它具有怎样的性质?提示:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)=P(A)P(B).如果两个事件相互独立,那么把其中一个换成它的对立事件,这样的两个事件仍然相互独立.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)随机事件是样本空间Ω的子集.(

√

)(2)若A∩B=⌀,则事件A与事件B互为对立事件.(

×

)(3)向一个圆面内随机地投射一个点,观察点落在圆面内的不同位置,这个试验是古典概型.(

×

)(4)事件A与B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).(

√

)(5)如果事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件,记作A∪B(或A+B).(

×

)(6)在抛掷一枚质地均匀的骰子,观察掷出的点数试验中,“出现2点”和“出现5点”是对立事件.(

×

)(7)在大量重复试验中,概率可以看作是频率的稳定值.(

√

)专题归纳·核心突破专题整合高考体验专题一

样本空间与随机事件的样本点表示【例1】

口袋中有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,甲、乙两人依次不放回地从中摸出1个球.(1)写出试验的样本空间;(2)用样本点表示下列事件:事件A表示“甲、乙两人摸到的球颜色相同”;事件B表示“甲摸到黑球”.解:(1)将两个白球编号为1,2,两个黑球编号为3,4.用(x,y)表示样本点,其中x表示甲摸到的球,y表示乙摸到的球.则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.(2)甲、乙两人摸到的球颜色相同,即都摸到白球或都摸到黑球.所以事件A={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)};甲摸到黑球,即x=3或4,所以事件B={(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.1.样本空间和随机事件用集合表示时,简单的试验一般用列举法表示,有时也用描述法,复杂的试验有时用列表法或树形图表示.2.在表示样本空间时,注意试验的条件,条件不同,样本空间就不同.如本题是不放回取球,所以样本点(x,y)中的x≠y,甲、乙两人分别取球,则(1,2)与(2,1)表示两个不同的样本点.【变式训练1】

甲、乙两人玩石头、剪刀、布的猜拳游戏,假设两人都随机出拳,设事件A表示“平局”,事件B表示“甲赢”.试用样本点表示事件A,B.解:用(i,j)表示出拳的结果,其中i表示甲出的拳,j表示乙出的拳.因为当甲、乙出的拳相同时,才是平局,所以事件A={(石头,石头),(剪刀,剪刀),(布,布)}.因为石头赢剪刀,剪刀赢布,布赢石头,所以事件B={(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头)}.专题二

对立事件与互斥事件的判断【例2】

一个射击手进行一次射击.事件A表示“命中的环数大于7环”;事件B表示“命中环数为10环”;事件C表示“命中的环数小于6环”;事件D表示“命中的环数为6,7,8,9,10环”.判断下列各对事件是不是互斥事件,是不是对立事件,并说明理由.(1)事件A与B;(2)事件A与C;(3)事件C与D.解:试验的样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={8,9,10},B={10},C={0,1,2,3,4,5},D={6,7,8,9,10}.(1)不是互斥事件,理由:A∩B={10}≠⌀.(2)是互斥事件,但不是对立事件.理由:A∩C=⌀,但A∪C={0,1,2,3,4,5,8,9,10}≠Ω.(3)是互斥事件,也是对立事件.理由:C∩D=⌀,且C∪D=Ω.互斥事件与对立事件的判断方法:(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先是互斥事件,且必有一个发生.(2)利用集合的观点:设事件A,B所包含的样本点组成的集合表示分别是A,B.①事件A与B互斥,即A∩B=⌀;②事件A与B对立,即A∩B=⌀,且A∪B=Ω(Ω为样本空间),也即A=∁ΩB或B=∁ΩA.特别提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.【变式训练2】

从1,2,3,…,9这九个数中任取两个数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是(

)A.① B.②④ C.③ D.①③解析:从1,2,3,…,9这九个数中任取两个数,按所取的数的奇偶性有3类可能结果:一个奇数一个偶数,两个奇数,两个偶数,则①②④中不是互斥事件;③中至少有一个奇数与两个都是偶数不能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,故选C.答案:C专题三

古典概型【例3】

某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:性别一年级二年级三年级男ABC现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相等).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.解:(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,C),(B,X),(B,Y),(B,Z),(C,X),(C,Y),(C,Z),(X,Y),(X,Z),(Y,Z),共15种可能的结果,且每个结果出现的可能性相等,从而用古典概型来解决.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y),共6种.因此,事件M发生的概率求解古典概型问题的一般思路:(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.【变式训练3】

一个盒子里装有3张卡片,分别标记有数字1,2,3,这3张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.解:(1)由题意知(a,b,c)所有的可能结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共有27种等可能的结果.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包含(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种可能的结果,专题四

互斥事件的概率【例4】

玻璃盒子中装有大小、质地相同的各色球12个,其中5红、4黑、2白、1绿,从中任取1球.设事件A表示“取出1个红球”,事件B表示“取出1个黑球”,事件C表示“取出1个白球”,事件D表示“取出1个绿球”.求:(1)P(A),P(B),P(C),P(D);(2)“取出1球为红球或黑球”的概率;(3)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.求复杂事件的概率通常有两种方法:(1)将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件;(2)将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件,需要分类较多,而其对立面的分类较少时,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.【变式训练4】

某商场进行有奖销售,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,每个开奖单位设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券中奖的概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件,专题五

事件的相互独立性【例5】

小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车是否正点到达之间互不影响,求:(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.与相互独立事件有关的概率问题的求解策略(1)明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.(2)一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么:①A,B中至少有一个发生为事件A+B.②A,B都发生为事件AB.【变式训练5】

已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8.(1)若甲、乙各投篮一次,则都命中的概率是多少?(2)若甲每次投篮的结果相互独立,则他投篮两次,恰好投中一次的概率是多少?解:(1)记事件A表示“甲投中”,B表示“乙投中”.因为A与B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56.即都命中的概率为0.56.考点一

互斥事件与对立事件的概率1.(2018·全国Ⅲ高考)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(

)A.0.3 B.0.4

C.0.6

D.0.7解析:设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.答案:B2.(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是

.

解析:已知男女同学共5名.从5名学生中任选2名,共有10种选法.若选出的2人中恰有1名女生,有6种选法.若选出的2人都是女生,有1种选法.考点二

古典概型3.(2019·全国Ⅱ高考)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(

)解析:设测量过该指标的3只兔子分别为a,b,c,剩余2只分别为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(c,A,B),(b,A,B)共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B)共6种,所以恰有2只测量过该指标的概率为

,故选B.答案:B4.(2019·全国Ⅲ高考)两名男同学和两名女同学随机排成一列,则两名女同学相邻的概率是(

)解析:两名男同学和两名女同学排成一列,共有24种排法.两名女同学相邻的排法有12种,故两名女同学相邻的概率是

.故选D.答案:D5.(2021·全国甲高考)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(

).解析:将4个1和2个0随机排成一行的总的排法为15种,其中2个0不相邻的排法为10种,所以2个0不相邻的概率为

.答案:C6.(2020·全国Ⅰ高考)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为(

).解析:由题意知一共有10种取法,当选A,O,C和B,O,D时符合要求,故所求概率答案:A7.(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是

.

解析:第1,2次向上的点数分别记为a,b,每个样本点记为(a,b),则所有的样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36个,其中,点数和为5的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),考点三

独立事件的概率8.(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为

假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为

;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为

.

9.(2019·全国Ⅰ高考)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是

.

解析:前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.答案:0.1810.(2019·全国

Ⅱ

高考)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两名同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.求:(1)P(X=2);(2)事件“X=4且甲获胜”的概率.解:(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.考点四

频率估计概率与概率的意义11.(2019·全国Ⅰ高考节选)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:性别满意不满意男4010女3020分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率.12.(2019·北京高考)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付方式不大于2

000元大于2

000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.解:(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30(人),仅使用B的学生有24+1=25(人),A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40(人).估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2

000元”,(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2

000元”.假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2

000

元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2

000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.考点五

概率与统计的综合问题13.(2020·全国Ⅰ高考)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B