2025-2026年济南长清区九年级中考数学二模考试试题以及含答案

九年级阶段检测数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟。答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。）1.-2026的绝对值是（）A.2026B.-2026C.12026D.−2.中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力。如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（）A.主视图和俯视图相同B.主视图和左视图相同C.左视图和俯视图相同D.主视图、左视图和俯视图都相同3.地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000用科学记数法可表示为（）A.3.84×103B.3.84×104C.3.84×105D.3.84×1064.博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值。下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）5.下列计算正确的是（）A.a2+a3=2a5B.a2·a3=a6C.(a2)3=a5D.a（a+1）=a2+a6.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在的△ABC边上，则∠PAB+∠PBA=（）A.45°B.30°C.60°D.90°7.已知反比例函数y=−2x的图象上有三个点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，若x1>x2>0>x3，则下列关系式正确的是（A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y2<y1D.y2<y3<y18.如图是某地铁站的进站口，共有3个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是（）A.13B.19C.239.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°。以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于12FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE。下列四个结论：①∠AED=∠ABC；②BC=AE；③ED=12BC；④当AC=2时，AD=5A.1B.2C.3D.4（第9题图）（第10题图）10.在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA=3，OA的长是一元二次方程x2−3x−18=0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q，交对角线OB于点P。动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒3个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、N两点同时出发，设运动时间为t秒。连接MN、PM，△PMN的面积S关于运动时间t的函数图象大致是（）第Ⅱ卷二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案。）11.因式分解：mx−2my=__________。12.如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是________。（第12题图）（第13题图）（第14题图）13.已知l1∥l2直线，将正五边形ABCDE按如图所示的位置摆放，顶点D在直线l1上，若∠1=135°，则∠2的度数是________。14.小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为________分钟。15.如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形AFEB沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为点H，连接AG。若AB=2，BC=4，则AG+2EF的最小值是________。三、解答题（本题共10小题，共90分。解答时应写出文字说明，证明或演算步骤。）16.（本小题7分）计算：(π−6)0+27+2cos60°+∣−2∣+(−12)17.（本小题7分）解不等式组：3(x+1)≤2x+4①18.（本小题7分）如图，平行四边形ABCD中E，F是直线AC上两点，且AE=CF。求证：BE∥DF。19.（本小题8分）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程。图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，B，C，D，E，F，G，H都在同一平面内）。如图2，伸缩臂高空作业车CD固定不动，转轴BC固定不动，转动点B离地面EG的高度BH为3.4m，起重臂AB长为6.1m，∠ABH=125°，楼高FG为14.4m，操作平台A在FG上。（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）（1）求此时操作平台A离地面的高度AG；（2）若起重臂AB可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为13m，则操作平台A能到达楼顶F吗？为什么？20.（本小题8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD。（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AD=10，cosB=3521.（本小题9分）《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转。某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A.50≤x<60，B.60≤x<70，C.70≤x<80，D.80≤x<90，E.90≤x≤100五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图：其中C等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79。根据以上信息，解答下列问题：（1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图；（2）本次被抽取的所有成绩的中位数为________分，D组扇形所对应圆心角的度数是________°；（3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由。22.（本小题10分）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元。（1）求A型、B型两种机器人的单价；（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A，B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元。求出所有配备方案。23.（本小题10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(k≠0)与直线y=3x相交于点B(m,3)、点C两点，点A在x轴的正半轴上，OA=2，连接CA并延长与反比例函数y=kx(k（1）求反比例函数的解析式；（2）求点D的坐标及△OAD的面积；（3）在x轴上是否存在点Q，使得以点A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。24.（本小题12分）抛物线C1:y=−mx2−2mx+3m（m为常数，m>0）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点P为直线AC上方抛物线上任意一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，交线段AC于点M。（1）如图1，若点C的坐标为(0,3)。①求抛物线C1的函数解析式及其顶点坐标；②设点P到直线AC的距离为d1，点B到直线AC的距离为d2，h=d1（2）如图2，将抛物线C1绕点O(0,0)旋转180°，得到抛物线C2，抛物线C2与y轴交于点F，抛物线C1，C2相交于D，E两点，若四边形ECDF的面积为183，直接写出m的值。25.（本小题12分）【问题发现】在一次数学探究课上，小明把正方形ABCD和正方形CEFG如图1摆放到一起，连接BE、DG，然后把正方形CEFG绕点C顺时针旋转。（1）小明发现，无论如何旋转，线段BE和DG的数量关系是________；直线BE和DG位置关系是________；【类比探究】（2）连接AF、AC，延长BE交AF所在直线于点P，小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段AF与线段BE的比值及∠APB的度数也是固定的。如图2，当正方形CEFG旋转至正方形ABCD外侧且B、C、G三点共线时。①求线段AF与线段BE的比值及∠APB的度数；②如图3，连接BD交AC于点O，交AF于点H，当BC=35，AH=5PF时，求EC的长。答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。）1.-2026的绝对值是（A）A.2026B.-2026C.12026D.−2.中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力。如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（B）A.主视图和俯视图相同B.主视图和左视图相同C.左视图和俯视图相同D.主视图、左视图和俯视图都相同3.地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000用科学记数法可表示为（D）A.3.84×103B.3.84×104C.3.84×105D.3.84×1064.博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值。下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）5.下列计算正确的是（D）A.a2+a3=2a5B.a2·a3=a6C.(a2)3=a5D.a（a+1）=a2+a6.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在的△ABC边上，则∠PAB+∠PBA=（A）A.45°B.30°C.60°D.90°7.已知反比例函数y=−2x的图象上有三个点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，若x1>x2>0>x3，则下列关系式正确的是（BA.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y2<y1D.y2<y3<y18.如图是某地铁站的进站口，共有3个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是（A）A.13B.19C.239.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°。以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于12FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE。下列四个结论：①∠AED=∠ABC；②BC=AE；③ED=12BC；④当AC=2时，AD=5A.1B.2C.3D.4（第9题图）（第10题图）10.在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA=3，OA的长是一元二次方程x2−3x−18=0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q，交对角线OB于点P。动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒3个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、N两点同时出发，设运动时间为t秒。连接MN、PM，△PMN的面积S关于运动时间t的函数图象大致是（B）第Ⅱ卷二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案。）11.因式分解：mx−2my=_____m(x－2y)_____。12.如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是____38（第12题图）（第13题图）（第14题图）13.已知l1∥l2直线，将正五边形ABCDE按如图所示的位置摆放，顶点D在直线l1上，若∠1=135°，则∠2的度数是____63°____。14.小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为___3_____分钟。15.如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形AFEB沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为点H，连接AG。若AB=2，BC=4，则AG+2EF的最小值是___217_____。三、解答题（本题共10小题，共90分。解答时应写出文字说明，证明或演算步骤。）16.（本小题7分）计算：(π−6)0+27+2cos60°+∣−2∣+(−12)=1+33+1+2﹣2=33+217.（本小题7分）解不等式组：3(x+1)≤2x+4①解不等式①得x≤1，2分解不等式②得x>−7，4分∴不等式组的解集为−7<x≤1。6分∴非负整数解为0,1。7分18.（本小题7分）如图，平行四边形ABCD中E，F是直线AC上两点，且AE=CF。求证：BE∥DF。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，2分∴∠ACD=∠CAB。3分在△CFD和△AEB中，AB=CD∴△CFD≌△AEB，(SAS)5分∴∠F=∠E，∴BE∥DF。7分19.（本小题8分）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程。图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，B，C，D，E，F，G，H都在同一平面内）。如图2，伸缩臂高空作业车CD固定不动，转轴BC固定不动，转动点B离地面EG的高度BH为3.4m，起重臂AB长为6.1m，∠ABH=125°，楼高FG为14.4m，操作平台A在FG上。（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）（1）求此时操作平台A离地面的高度AG；（2）若起重臂AB可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为13m，则操作平台A能到达楼顶F吗？为什么？解：（1）如图：过点B作BM⊥FG，垂足为点M，则四边形BHGM为矩形，∵AB=6.1m，BH=3.4m，∠ABH=125∘，∴MG=BH=3.4m，∠HBM=90∘，∠AMB=90∘，∴∠ABM=∠ABH−∠HBM=125∘−90∘=35∘，2分∵在Rt△ABM中，sin∠ABM=AMAB∴AM=ABsin35∘=6.1×0.57≈3.477

(m)，3分∴AG=AM+MG=3.477+3.4≈6.9

(m)。答：操作平台A离地面的高度约为6.9m。4分（2）解：能，理由如下：如图：连接BF，由题意可知，FG=14.4m，AB最长为13m，∵在Rt△ABM中，cos∠ABM=BMAB∴BM=ABcos35∘=6.1×0.82≈5.0

(m)，∴FM=FG−MG=14.4−3.4=11

(m)，6分∴在Rt△FBM中，根据勾股定理得：BF2=BM2+FM2，∴BF2=5.02+112=146

(m2)，∵132=169>146，∴操作平台A能到达楼顶F。8分20.（本小题8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD。（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AD=10，cosB=35（1）证明：连接OC，如图所示：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90∘，∴∠ADC+∠CAD=90∘，2分又∵OC=OD，∴∠ADC=∠OCD，3分又∵∠DCF=∠CAD，∴∠DCF+∠OCD=90∘，即OC⊥FC，∴CF是⊙O的切线；。。。。。。。。。。。。。。。。。4分（2）解：∵∠B=∠ADC，cosB=35∴cos∠ADC=35在Rt△ACD中，cos∠ADC=CDAD=3∴CD=AD·cos∠ADC=10×35=6，则AC=AD2－∴CDAC=3∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，∴△FCD∽△FAC，6分∴CDAC=FCFA=FDFC设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+10，∵FC2=FD·FA，即(4x)2=3x(3x+10)，解得x=307∴FD=3x=907。21.（本小题9分）《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转。某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A.50≤x<60，B.60≤x<70，C.70≤x<80，D.80≤x<90，E.90≤x≤100五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图：其中C等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79。根据以上信息，解答下列问题：（1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图；（2）本次被抽取的所有成绩的中位数为________分，D组扇形所对应圆心角的度数是________°；（3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由。解：（1）50，2分（补全频数分布直方图，略）3分（2）78，108∘；5分（3）小敏最后得分：86×20%+89×30%+93×50%=90.4>90，∴小敏能参加决赛。9分22.（本小题10分）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元。（1）求A型、B型两种机器人的单价；（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A，B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元。求出所有配备方案。解：设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为(x−3)万元，根据题意，得90x=60x−3，解得x=9，经检验，x=9是原分式方程的根，且符合题意，4分所以，x−3=6。所以，A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元。5分（2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人(10−y)台，根据题意，得9y+6(10−y)≤70，解得y≤103，∵要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数∴y的取值为1,2,3，共有3种方案：方案一：A型机器人1台，B型机器人9台；方案二：A型机器人2台，B型机器人8台；方案三：A型机器人3台，B型机器人7台；10分23.（本小题10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(k≠0)与直线y=3x相交于点B(m,3)、点C两点，点A在x轴的正半轴上，OA=2，连接CA并延长与反比例函数y=kx(k（1）求反比例函数的解析式；（2）求点D的坐标及△OAD的面积；（3）在x轴上是否存在点Q，使得以点A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）把B的坐标为(m,3)，代入y=3x中，∴m=1，∴B的坐标为(1,3)，1分∵点B在反比例函数y=kx∴k=1×3=3，∴反比例函数的表达式为y=3x，（2）∵延长BO与反比例函数y=y=3x∴点C与点B关于原点对称，∴点C的坐标为(−1,−3)，3分∵OA=2，∴点A的坐标为(2,0)，设直线AC的解析式为y=kx+b，∴﹣k+b=﹣3∴直线AC的解析式为y=33x−233联立得3x=33x−解得x=3或x=−1（舍去），经检验，x=3是原方程的解，∴点D的坐标为(3,33)，∴S△OAD=12OA×∣yD∣=33，（3）是，理由如下：∵△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称，∴OA=OB=OC，∠BOA=∠BAO=60∘，∴∠OAC=∠OCA=12∴∠BAC=90∘，当DQ⊥x轴时，∠DAQ=∠OAC=30∘=∠BCA，∠DQA=∠BAC=90∘，∴△DQA∽△BAC，∵点D的坐标为(3,33∴点Q的坐标为(3,0)；8分当DQ⊥AD时，则∠DAQ=∠OAC=30∘=∠BCA，∠QDA=∠BAC=90∘，∴△QDA∽△BAC，∵点D的坐标为(3,33∴AD=23∴AQ=ADcos30∘=4∴OQ=2+43=10综上，点Q的坐标为(3,0)或(103,0)。24.（本小题12分）抛物线C1:y=−mx2−2mx+3m（m为常数，m>0）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点P为直线AC上方抛物线上任意一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，交线段AC于点M。（1）如图1，若点C的坐标为(0,3)。①求抛物线C1的函数解析式及其顶点坐标；②设点P到直线AC的距离为d1，点B到直线AC的距离为d2，h=d1（2）如图2，将抛物线C1绕点O(0,0)旋转180°，得到抛物线C2，抛物线C2与y轴交于点F，抛物线C1，C2相交于D，E两点，若四边形ECDF的面积为183，直接写出m的值。（1）解：①∵点C的坐标为(0,3)，∴y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，2分∴顶点坐标为(−1,4)；4分②∵抛物线