广东省惠州市惠阳高级中学2024届高三下第二次质量检查数学试题

广东省惠州市惠阳高级中学2024届高三下第二次质量检查数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．2．已知，则（）A． B． C． D．3．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()A． B．C． D．4．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（）A． B． C． D．6．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）7．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A．PA，PB，PC两两垂直 B．三棱锥P-ABC的体积为C． D．三棱锥P-ABC的侧面积为8．函数在上单调递减的充要条件是（）A． B． C． D．9．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（）.A．16 B． C．5 D．410．已知.给出下列判断：①若，且，则；②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；④若在上单调递增，则的取值范围为.其中，判断正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知，且，则的值为（）A． B． C． D．12．已知函数是奇函数，则的值为（）A．－10 B．－9 C．－7 D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，则r的取值范围是________．14．三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________.15．已知数列满足对任意，，则数列的通项公式__________.16．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的取值范围是_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点分别是的中点．（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．18．（12分）平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，点．（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求的面积．19．（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820．（12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）若，点是线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点，点在第一象限，为左顶点，为下顶点，交轴于点，交轴于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求点的坐标.22．（10分）已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数只有一个零点，求正实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】由题，侧棱底面，，，，则根据余弦定理可得，的外接圆圆心三棱锥的外接球的球心到面的距离则外接球的半径，则该三棱锥的外接球的表面积为点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径公式是解答的关键．2、C【解题分析】

利用诱导公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【题目详解】由可得，∴，∴.故选：C.【题目点拨】本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.3、A【解题分析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．【题目详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，底面为等腰直角三角形，斜边长为，如图：的外接圆的圆心为斜边的中点，，且平面，，的中点为外接球的球心，半径，外接球表面积．故选：A【题目点拨】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．4、C【解题分析】

先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围.【题目详解】由题化简得，，作出的图象，又由易知．故选：C.【题目点拨】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.5、B【解题分析】

计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和.【题目详解】由题意可知，则对任意的，，则，，由，得，，，，因此，.故选：B.【题目点拨】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6、D【解题分析】

原问题转化为有四个不同的实根，换元处理令t，对g（t）进行零点个数讨论.【题目详解】由题意，a＞2，令t，则f（x）＝a⇔⇔⇔⇔．记g（t）．当t＜2时，g（t）＝2ln（﹣t）（t）单调递减，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则⇔，记h（t）（t＞2且t≠2），则h′（t）．令φ（t），则φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，则h（t）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．由，可得，即a＜2．∴实数a的取值范围是（2，2）．故选：D．【题目点拨】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.7、C【解题分析】

根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.【题目详解】解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，其中D为AB的中点，底面ABC.所以三棱锥P-ABC的体积为，，，，，、不可能垂直，即不可能两两垂直，，.三棱锥P-ABC的侧面积为.故正确的为C.故选：C.【题目点拨】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.8、C【解题分析】

先求导函数，函数在上单调递减则恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得.【题目详解】依题意，，令，则，故在上恒成立；结合图象可知，，解得故.故选：C.【题目点拨】本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法:(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.9、D【解题分析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【题目详解】设等比数列公比为，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，当且仅当时，等号成立.故选：D.【题目点拨】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.10、B【解题分析】

对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.【题目详解】因为，所以周期.对于①，因为，所以，即，故①错误；对于②，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；对于③，令，可得，则，因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，所以，即，解得，故③正确；对于④，因为，且，所以，解得，又，所以，故④正确.故选：B.【题目点拨】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.11、A【解题分析】

由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可.【题目详解】因为，所以，又，所以，，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.12、B【解题分析】

根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值.【题目详解】因为函数是奇函数，所以，.故选：B【题目点拨】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设圆C1上存在点P（x0，y0），则Q（y0，x0），分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数范围.【题目详解】设圆C1上存在点P（x0，y0）满足题意，点P关于直线x－y＝0的对称点Q（y0，x0），则，故只需圆x2＋（y－1）2＝r2与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1有交点即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.故答案为：【题目点拨】此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.14、【解题分析】

某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【题目详解】设抽取的样本容量为x，由已知，，解得.故答案为：【题目点拨】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.15、【解题分析】

利用累加法求得数列的通项公式，由此求得的通项公式.【题目详解】由题，所以故答案为：【题目点拨】本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.16、【解题分析】

计算出角的取值范围，结合正弦定理可求得的取值范围.【题目详解】，则，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范围是.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）取的中点，连接，通过证明，即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示即可得解.【题目详解】（1）证明：取的中点，连接．是的中点，，又，四边形是平行四边形．，又平面平面，平面．（2），，同理可得：，又平面．连接，设，则，建立空间直角坐标系．设平面的法向量为，则，则，取．直线与平面所成角的正弦值为．【题目点拨】此题考查证明线面平行，求线面角的大小，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，法向量法求线面角的基本方法，根据公式准确计算.18、（1）．（2）【解题分析】

(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标的几何意义求解，再求点到直线的距离即可算出三角形面积.【题目详解】解：（1）曲线，即．∴．曲线的极坐标方程为．直线的极坐标方程为，即，∴直线的直角坐标方程为．（2）设，，∴，解得．又，∴（舍去）．∴．点到直线的距离为，∴的面积为．【题目点拨】此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目.19、（1）有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.（2）【解题分析】

(1)根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值,从而由参考数据作出判断.(2)因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果.【题目详解】（1）由题意可知，有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率.【题目点拨】本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般.20、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）的中点，连接，，证明四边形是平行四边形可得，故而平面；（2）以为原点建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算与的夹角的余弦值得出答案．【题目详解】（1）证明：取的中点，连接，，，分别是，的中点，，，又，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）解：，，又，故，以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，是的中点，是的三等分点，，1，，，，，，，，，0，，，2，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，，，，，直线与平面所成角的正弦值为．【题目点拨】本题考查了线面平行的判定，空间向量与直线与平面所成角的计算，属于中档题．21、（1）；（2）【解题分析】

（1）由题意得，求出，进而可得到椭圆的方程；（2）由（1）知点，坐标，设直线的方程为，易知，可得点的坐标为，联立方程，得到关于的一元二次