概率论及数理统计课件

边缘分布1.二维离散型随机向量的边缘分布2.二维连续型随机向量的边缘分布边缘分布marginaldistribution

二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。

问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？——边缘分布问题定义2.5.5边缘分布marginaldistribution

设二维随机变量的分布函数为，依次称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数．二维离散型R.v.的边缘分布如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p21p22p23…x3p31p32p33………………二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二维离散型R.v.的边缘分布例1

设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于X、Y的边缘分布关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解关于X的边缘分布为X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布列二维离散型R.v.的边缘分布例2

设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为YX011/3-11/121/41/1201/121/12025/1200求关于X、Y的边缘分布关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解关于X的边缘分布为X-102概率5/121/65/12YX011/3-11/121/41/1201/121/12025/1200（X，Y）的联合分布列不同的联合分布，可有相同的边缘分布例2.5.4设一袋中有5个球,有两个球上标有数字1,3个球上标有数字0,现从中(1)有放回摸两个球;(2)无放回摸两个球,并以X表示第一次摸得的球上标有的数字,以Y表示第二次摸到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布列及其两个边缘分布列.二维连续型随机变量的边缘分布

关于X的边缘概率密度为关于Y的边缘概率密度为的边缘分布函数为关于的边缘分布函数为关于解:由由如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布与相关系数无关可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布概率空间的测度存在。其中为样本空间，为代数（完全可加性）概率在此公理化定义下，有如下运算性质性质1——性质2——（有限可加性）设A1，A2，...，An两两互斥，则性质3——若，则一般地，只有性质4——（加法定理）概率在此公理化定义下，有如下运算性质推广——（挖补定理）性质5——性质6——性质7——（7）推论（半有限可加性）（8）约旦公式（jordan公式）（9）（10）半完全可加性因为（因为）因为从而得所以存在，且因为故存在由（5）得定义1.4.3设为可测空间，为定义于上的实值集合函数，如果满足下列条件：几何概型

GeometricProbability

将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中

几何度量--------指长度、面积或体积

特点

有一个可度量的几何图形S试验E看成在S中随机地投掷一点

一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0,5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间[2,3]上的概率。=[2,3]=5-0=5=3-2=1几何概型的计算

甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。几何概型的计算：会面问题

解设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为x及y（分钟）,则二人会面30301010yx几何概型的计算：蒲丰投针问题

设平面上画着一些有相等距离2a（a>0）的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（l<a）的针，求针与直线相交的概率。θd2al解设针的中点离较近直线的距离为d，针与较近直线的交角为θ。则d与θ的可取值为0<d<a,0<θ<π所求概率为针与直线相交0<d<lsinθ

daθπ蒲丰投针试验的应用及意义

几何概型性质（1）（2）思考题2，一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？ABCOr解以A为起点，逆时针方向为正，

B至A的曲线距离为x，C至A的曲线距离为y，则∆ABC为锐角三角形或思考题2，一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？∆ABC为锐角三角形或解……..所求概率为随机事件的频率FrequencyA=“出现正面”随机试验抛掷一枚均匀的硬币试验总次数n

将硬币抛掷n次随机事件事件A出现次数m出现正面m次随机事件的频率频率的稳定性与统计概率德.摩根试验者抛掷次数n出现正面的次数m出现正面的频率m/n204810610.518蒲丰404020480.5069

皮尔逊1200060190.5016

皮尔逊24000120120.5005维尼0.49981499430000

抛掷硬币的试验Experimentoftossingcoin历史纪录程序模拟抛掷硬币模拟试验

随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A发生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显频率和概率

频率的稳定性

事件的概率

事件A的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A的概率

对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行n次试验，事件Ａ发生的频率m/n，随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数附近摆动那么称p为事件Ａ的概率

概率的统计定义

当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率

再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，其结果如表1-2：发芽率发芽粒数种子粒数2510701303107001500200030002496011628263913391806271510.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905

从表1-2可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着n的增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上.

概率的统计定义频率稳定于概率性质（1）（2）

离散型随机变量及其分布

2.2.1、离散型随机变量与分布列2.2.1、离散型随机变量与分布列

满足的两个条件：

分布函数的另一种表达式则有几种常见的离散型分布0-1分布(二点分布)单点分布（退化分布）均匀分布二项分布(BinomialDistribution)泊松分布(PoissonDistribution)几何分布超几何分布帕斯卡分布、负二项分布01x

几种常见的离散型随机变量的例子

1、退化分布

若随机变量的分布列为则称服从退化分布。

2、两点分布

若随机变量的分布列为则称服从两点分布（其中）。当时的情形：01x两点分布概率质量分布图0.80.2两点分布概率函数图(3)几何分布记为定理2.2.1(2)与(3)均称为几何分布的无记忆性.

从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。解记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…

则Ai

(

i=1,2,3,…)相互独立,且X的所有可能取值为1，2，3，…,k,…{X=k}对应着事件

例

二项分布的性质：1、对于固定的和，取的概率随着的增大开始增大，直至达到最大值，然后再下降；2、对于固定的，随着的增大，的图形趋于对称。

记二项分布的通项（第项）为：则前一项（即第项）为：则有：（1）当时，（2）当时，两项同时达最大。随增加。（3）当时，随减少。

称为最可能出现的次数，称为的中心项。

（4）当非整数时，则满足的正整数，使为最大值。定理2.2.2

例5（能量供应问题）设有9个工人间歇地使用电力，在任何时刻每一个人以同样的概率0.2需要一个单位的电力（即在1个小时中平均有12分钟需要电力），若各工人相互独立地工作，问在同一时刻有七个或七个以上的工人需要得到一个单位电力供应的概率是多少？求最大可能有多少个工人同时需要电力供应？1，2解:例2.2.19个人同时向一目标各打一枪,如果每个人射击是相互独立的且每人射击一次击中的概率均为0.3,求有两人以上击中目标的概率以及最可能击中目标的人数.又由中心项定理知最可能击中目标人数为3或2.

泊松分布（）

若随机变量的分布列为：则称服从参数为的泊松分布，记做。

显然，泊松分布满足：

（1）（2）01234560.03020.10570.18500.21580.18880.13220.0771例1泊松分布举例（）0123456泊松分布的质量图x0123456泊松分布的概率函数图

0.0302

0.10570.18500.21580.18880.13220.0771x体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数

可以由观测值的平均值求出。描绘大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目背景1、它们都取正整数为值，并且与时间间隔有关；

2、在任给一段时间间隔内，

（1）由某块放射性物质放射出的质点，到达某个计数器的质点数；

（2）从一个真空管的阴极发射出的电子，到达阳极的电子数；

（3）来到某公共设施要求给予服务的顾客数；

（4）事故、故障、火灾、地震及其他灾害性事件数。

特点：2、它们取值的概率，只与时间间隔的长度有关，而与从哪个时刻开始没有关系；3、在不相重叠的时间间隔内，彼此没有什么影响。

说明：在历史上，泊松分布是作为二项分布的近似分布提出的，但是在许多问题中，某些随机变量确实就服从泊松分布。泊松定理

在实际应用中：当n≥100，np≤10时，可用泊松公式近似替换二项概率公式，且有较好的近似效果。二项分布的泊松近似ThePoissonApproximationtotheBinomialDistribution

某人骑摩托车上街,出事故率为0.02，独立重复上街400次，求出事故至少两次的概率.400次上街400重Bernoulii实验记X为出事故的次数，则≈1-e-8-8e-8≈0.9972

P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)

结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！=1-0.98

400-400（0.02)(0.98

399)≈0.9970

泊松定理例

解若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则至少成功一次的概率为成功次数服从二项概率人生启发:有百分之一的希望，就要做百分之百的努力

连续型随机变量及其分布

连续型随机变量的定义

密度函数的性质

（1）（2）

特别说明：对于连续型随机变量1.有。2.。3.概率为0的事件不一定是不可能事件。同样，概率为1的事件也不一定是必然事件。4.连续型分布函数一定是连续的函数,但是连续的分布函数不一定是连续型分布函数.1.（均匀分布）若随机变量的密度函数为则称服从在上的均匀分布。

易知，均匀分布的密度函数满足性质。1.。2.。记作常见的连续型随机变量

均匀分布的密度函数图形如图所示。均匀分布的分布函数0abxF(x)1102电车每5分钟发一班，在任一时刻

某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。设候车时间为X，则X服从（0，5）上的均匀分布解例几何概型（一维）即所以思考设ξ在[-1，5]上服从均匀分布，求方程有实根的概率。解方程有实数根即而的密度函数为所求概率为正态分布的背景测量的误差，炮弹的落点，人的身高体重，产品的长度宽度高度等都服从或近似服从正态分布。特点：如果影响某一数量指标的因素很多，且每个因素相互独立以及所起的作用都很小，则这个数量指标就服从或近似服从正态分布若随机变量的密度函数为则称服从参数为正态分布，简称服从正态分布,记作。

性质2.正态分布的密度函数与分布函数随机变量的分布函数为

若，其密度曲线具有如下性质：xyo1.曲线关于对称。2.是函数唯一的极值点，在此处函数取得最大值。函数在有拐点3.对于固定的值，值越小，曲线越陡峭；值越大，曲线越平坦。

（标准正态分布）若随机变量的密度函数为则称服从标准正态分布，简称服从正态，记作。

显然有：

标准正态分布的密度函数的图形如下:99.7%68.3%95.4%标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数的性质标准正态分布的分布函数一般正态分布的分布函数的性质(1)(2)(3)(1)

X的取值几乎都落入以

为中心，以3为半径的区间内。这是因为：0.9974F(x)3

准则是小概率事件标准正态分布的概率计算分布函数X-x分布函数的性质

标准正态分布的计算

若，则

例2设，试计算:

例3设，试计算:

显然，

对于任给的实数，都有

例4设，计算

例5如果公共汽车车门的高度按男子碰头率在1％以下设计，而成年男子的身高服从正态分布

（cm），那么公共汽车车门的高度应是多少？分布函数的性质正态分布的实际应用已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录取？

某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者的考试成绩分析首先求出和然后根据录取率或者分数线确定能否被录取解因为成绩X服从录取率为可得得查表得解

查表得………..解得故设录取的最低分为则应有某人78分，可被录取。

事件的独立性

解一、二个事件的独立性引例一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。例A={第一次摸到黑球}，B={第二次摸到黑球}则Ｐ(ＡＢ）＝P(A)Ｐ(Ｂ)称Ａ与Ｂ相互独立．二个事件的独立性

independence定义性质1必然事件，不可能事件都与任何事件独立性质2事件的独立性判别

如甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中”可以认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立实际问题中，事件的独立性可根据问题的实际意义来判断性质3下列四组事件，有相同的独立性：

证明若A、B独立，则所以，独立。性质4注意二个事件概率乘积大于0时(1)如果二个事件相互独立,则一定不互斥(2)如果二个事件互斥,则一定不相互独立例如一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。解情形（1）的样本空间为Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}此种情形下，事件A、B是不独立的。例如一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。解情形（2）的样本空间为Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男）（男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}此种情形下，事件A、B是独立的。直觉未必可信必须深入研究概念辨析事件Ａ与事件Ｂ独立事件Ａ与事件Ｂ互不相容事件Ａ与事件Ｂ为对立事件例甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。试计算1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击中目标的概率；3）目标被击中的概率。解设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”则如果事件A，B，C满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A，B，C相互独立。注意事件A，B，C相互独立与事件A，B，C两两独立不同，两两独立是指上述式子中前三个式子成立。因此，相互独立一定两两独立，但反之不一定。 有限多个事件的独立性

例设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每一个四面体标有号码1，2，3，4。令A={第一个四面体的触地面为偶数}B={第二个四面体的触地面为奇数}C={两个四面体的触地面同时为奇数，或者同时为偶数}试讨论A、B、C的相互独立性。A={第一个…为偶数}；B={第二个…为奇数}C={两个…同时为奇数，或者同时为偶数}解试验的样本空间为所以，A、B、C两两独立，但总起来讲不独立。定义共有（2n-n-1）个等式定理1.6.1定理1.6.2定义1.6.3对满足相互独立的多个事件，有1.6.3独立事件的应用

例

加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2%，1%，5%，假设各道工序是互不影响的．求加工出来的零件的次品率．解

设Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，则依题意：Ａ1,Ａ2,Ａ3

相互独立，且

Ｐ（Ａ1）＝2%,Ｐ（Ａ2）＝1%,Ｐ（Ａ3）＝5%

又设Ａ表示加工出来的零件是次品,则

A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3

另解（用对立事件的概率关系）

＝1－(1－0.02)(1－0.01)(1－0.05)

＝0.0783好！……例1.6.6系统MN如图所示：如果每个元件通达的概率均为p，且每个元件是否通达是相互独立的，求系统MN通达的概率。MN12345解例1.6.8（Borel-CantelliLemma）

将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.

设随机试验E只有两种可能的结果:A及,且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoullitrials).贝努利试验(重复独立试验）Bernoullitrials

相互独立的试验

贝努利试验例一批产品的次品率为5%，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个，连取4次．求4次中恰有2次取到次品的概率．设Ｂ＝｛恰好有2次取到次品｝,Ａi={第i次抽样抽到次品}解因为Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4

相互独立，所以

四次抽样中恰好有两次取到次品的情况有如下6种情形：

贝努利定理

设在一次试验中事件Ａ发生的概率为p(0<p<1)，则Ａ在n次贝努里试验中恰好发生k次的概率为(k＝0，1，2，...，n)其中

定理二项概率例有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子,(1)求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)；

(2)求至少有两粒出苗的概率．

(1)该试验为4重贝努利试验解(2)设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则例一批种子的发芽率为80%，试问每穴至少播种几粒种子，才能保证99%以上的穴不空苗。分析：“穴不空苗”即“至少有一颗种子发芽”解假设播n颗种子，则依题意可得可解得即所以，每个穴中宜种3颗种子。例设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。解设A表示“元件使用1000小时不坏”，则设B表示“三个元件中至多一个损坏”，则

事件的概率及其计算

有限性（基本事件总数有限）

每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即其中,.古典概率模型

每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间Ω是个有限集

等可能性（每个基本事件等可能出现）定义1.3.1

设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn

，而且这些事件的发生具有相同的可能性古典概型的概率计算

确定试验的样本点数事件Ａ由其中的r个基本事件组成

确定事件A包含的样本点数

抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数,求“出现的点数是不小于3的偶数”的概率．Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”古典概率的计算：抛掷骰子事件A试验抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数样本空间={4，6}Ω

={1，2，3，4，5，6}n=6m=2事件A的概率

设在100件产品中，有4件次品，其余均为正品．古典概率的计算：正品率和次品率n＝100这批产品的次品率任取3件，全是正品的概率任取3件，刚好两件正品的概率mA＝4

古典概率的计算：有放回抽样和无放回抽样

设在10件产品中，有2件次品，8件正品．A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”

第一次抽取后，产品放回去

第一次抽取后，产品不放回去

古典概率的计算：摸球问题例1.3.2设一袋中有85个白球，8个黑球，接连无放回的从袋中摸取3个球，求下列事件的概率：（1)A=“摸得的3个球依次为黑白黑”(2)B=“摸得的3个球都是黑球”(3)C=“摸得的3个球有2个黑球”思路：排列组合知识和古典概型知识解法一解法二解法一解法二例1.3.3一袋中有M个黑球与N个白球，现有放回从袋中摸球，求下列事件的概率;（1)A=“在n次摸球中有k次摸得黑球”(2)B=“第k次摸球首先摸得黑球”(3)C=“第r次摸球得黑球是在第k次摸球时实现”解古典概率的计算：投球入盒

把3个小球随机地投入5个盒内。设球与盒都是可识别的。A=“指定的三个盒内各有一球B=“存在三个盒，其中各有一球abcde

古典概率的计算：生日问题某班有50个学生，求他们的生日各不相同的概率（设一年365天）分析此问题可以用投球入盒模型来模拟50个学生365天50个小球365个盒子相似地有分房问题房子盒子人小球生日问题模型某班有n个学生，设一年N天,则他们的生日各不相同的概率为至少有两人生日相同的概率为N1020233040500.120.410.510.710.890.97

可能吗？

没问题！

古典概率的计算：抽签10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求A={第五个抽签的学生抽到入场券}的概率。基本事件总数有利事件总数第五个学生抽到入场券另外9个学生抽取剩下9张

＝0.192

古典概率的计算：数字排列用1，2，3，4，5这五个数字构成三位数

没有相同数字的三位数的概率

没有相同数字的三位偶数的概率个位百位十位匹配问题

某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中，求全部装对的概率。解设“全部装对”为事件A总的基本事件数为4！A所包含的基本事件数为1所以

概率的古典定义性质（1）（2）推论1.3.1

一楼房共14层，假设电梯在一楼启动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件的概率：A1={10个人在同一层下}；A2={10人在不同的楼层下}；A3={10人都在第14层下}；A4={10人恰有4人在第8层下}。练一练总的基本事件数：各事件含有的基本事件数分别为：A1A2A3A41解所以，各事件的概率为：………..思考题1、从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四只，问能凑成两双的概率是多少？总的基本事件数：有利事件数：解设“能凑成两双鞋”为事件A所以，所求概率为3，掷两颗骰子，求事件“至少有一颗出现6点”，“点数之和为8”的概率。解总的基本事件数为事件A“至少出现一个6点”所包含的基本事件数为事件B“点数之和为8”所包含的样本点为所以4，包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行，求甲与乙相邻的概率。若这10个人随机地排成一圈，又如何呢？解总的基本事件数为排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为排成圈时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为所求概率为

事件之间的关系与运算（续）

1.2.2事件序列的极限证明思路：二个集合相等等价于二个集合互相包含推论1.2.1推论1.2.2推论1.2.3德摩根对偶定律证明（1）由德摩根对偶定律得同理可证（2）证明

随机变量的条件分布1.离散型随机变量的条件分布2.连续型随机变量的条件分布问题一、离散型随机变量的条件分布

定义2.6.4例1解由上述分布律的表格可得定义2.6.5(条件密度函数和条件分布函数)三、连续型随机变量的条件分布答请同学们思考说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布条件分布函数与条件密度函数的关系边缘分布条件分布联合分布解:先求边缘密度函数,再求条件密度函数所以解例3又知边缘概率密度为

1.博雷尔(Borel)代数的定义2.随机变量的定义3.分布函数的定义

随机变量及其分布函数

§2.1随机变量及其分布函数2.1.1.博雷尔(Borel)代数引理2.1.1一维博雷尔点集n维博雷尔点集2.1.2随机变量基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果

有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示

例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的可规定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”RandomVariable

有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化

引例1抛掷一枚均匀的硬币，观察其出现正反面的情况，试写出其样本空间。

解：，其中表示出现正面，表示出现反面。

定义：（1）特点：1、定义域，值域。2、。2.1.2随机变量的定义

例2从编号为的十个球中任意选取一个，观察取到哪一个球，试写出样本空间。解：{取到第号球；}定义:意味着事件“取到第

号球发生”。（1）定义域为，值域为。

（2）。例

设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。取球结果为:两个白球;两个红球;一红一白

特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。此时，“两只红球”=“X取值2”,可记为{X=2}

“一红一白”记为

{X=1},“两只白球”记为{X=0}试验结果的数量化

由定义可知随机变量是一个函数，但是与普通函数的区别在于：

1.随机变量是一个定义在抽象空间（事件域）上的函数。(2.1.1)注意4因为与因为推论概率测度与概率分布2.1.3分布函数的定义分布函数的性质利用分布函数表达概率(1)(2)(3)(4)(5)(6)解利用分布函数的定义求分布函数为分布函数图形为011/5xF(x)231/21解:分布函数图形011xF(x)随机变量的类型

离散型

非离散型随机变量的所有取值是有限个或可列个随即变量的取值有无穷多个，且不可列其中连续型随机变量是一种重要类型

随机事件

1654年,一个名叫梅累的法国狂热赌徒兼骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢

c局便算赢家,若在一赌徒胜

a局

(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”

为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望.一、概率论的诞生及应用1.概率论的诞生而在三年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯［1629-1695］亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论着，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望［mathematicalexpectation］这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。

使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布-伯努利［1654-1705］。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理”，即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”。这一定理更在他死后，即1713年，发表在他的遗著《猜度术》中。

到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论。另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。

概率论发展到1901年，中心极限定理终于被严格的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代，人们开始研究随机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。2.概率论的应用

概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律.概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域,例如天气预报,地震预报,产品的抽样调查;在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等.概率论第一章随机事件及其概率18学时第二章随机变量及其分布18学时第三章随机变量的数字特征8学时第四章特征函数与概率母函数12学时第五章极限定理12学时复习课4学时随机事件及其概率第一章

随机事件事件之间的关系与运算事件的概率及其计算概率空间条件概率事件的独立性概率计算杂例确定性现象Certaintyphenomena

在101325Ｐa的大气压下，将纯净水加热到

100℃时必然沸腾

垂直上抛一重物，该重物会垂直下落

随机现象Randomphenomena掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上两种不同的结果什么是概率论概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科随机试验

randomExperiments

可重复性：试验在相同的条件下可重复进行

可观察性：每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以确定试验的所有可能结果

不确定性：每次试验前不能准确预言试验后会出现哪一种结果．上抛一枚匀质硬币在一条生产线上，检测产品的合格情况向一目标射击实例

在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(randomEvents)，简称为事件（Events)．随机事件通常用大写英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示．例如：

在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是一个随机事件，可用Ａ＝｛正面向上｝表示．掷骰子，“出现偶数点”是一个随机事件，试验结果为2，4或6点，都导致“出现偶数点”发生。随机事件

randomEvents

基本事件与样本空间仅含一个样本点的随机事件称为基本事件．样本点SamplePoint

样本空间SampleSpace

基本事件

随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点，记作．

全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作Ω．即含有多个样本点的随机事件称为复合事件．Ω={ｔ|0≤ｔ≤T}

E4:在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命E2:射手向一目标射击，直到击中目标为止E3:从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张。E1:掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数Ω={1,2,…}Ω={(J,Q),…(Q,A)}Ω={1，2，3，4，5，6}写出下列试验的样本空间点数：一维离散型随机变量射击次数：一维离散型随机变量寿命：一维连续型随机变量二维离散型随机变量样本空间的二个特性1.无重复性2.无遗漏性

在随机试验中，随机事件一般是由若干个基本事件组成的．

A=｛出现奇数点｝是由三个基本事件“出现1点”、“出现3点”、“出现5点”组合而成的随机事件．样本空间Ω的任一子集A称为随机事件

随机事件（RandomEvents)

例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现1点”、“出现2点”、...、“出现6点”为该试验的基本事件．属于事件A的样本点出现，则称事件A发生。特例—必然事件CertaintyEvents必然事件样本空间Ω也是其自身的一个子集Ω也是一个“随机”事件每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现必然发生

“抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为必然事件。例——记作Ω特例—不可能事件ImpossibleEvent空集Φ也是样本空间的一个子集不包含任何样本点不可能事件Φ也是一个特殊的“随机”事件不可能发生

“抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”是不可能事件例——记作Φ随机试验：抛掷硬币Tossingacoin

掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况试验的样本点和基本事件随机试验样本空间

H：“正面向上”

T：“反面向上”Ω={H，T}．

试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况

随机事件Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}A=“正面出现两次”={HHT,HTH,THH}B=“反面出现三次”={TTT}C=“正反次数相等”=ΦD=“正反次数不等”=Ω随机试验：抛掷两颗匀质骰子Rollingtwodie抛掷两颗骰子，观察出现的点数

随机试验

试验的样本点和基本事件

样本空间

Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），...，（6，1），（6，2），...，（6，6）｝．共36个样本点

随机事件试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数A=“点数之和等于3”B=“点数之和大于11”C=“点数之和不小于2”D=“点数之和大于12”

1.2事件之间的关系与运算重点1.事件之间的关系与简单运算事件的关系与运算

给定一个随机试验，设Ω为其样本空间，事件Ａ，Ｂ，Ak(k=1,2,3,...)都是Ω的子集．事件事件之间的关系与事件的运算集合集合之间的关系与集合的运算

事件Ａ发生必然导致事件Ｂ发生

子事件(事件的包含Contain）BA

事件Ａ的样本点都是事件Ｂ的样本点例如抛掷一颗骰子，观察出现的点数A={出现1点}B={出现奇数点}

事件Ａ是事件Ｂ的子事件

记作相等事件（Equal）A=BBA事件A与事件B含有相同的样本点例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”与事件“出现2，4或6点”是相等事件。

事件A与事件B至少有一个发生和（并）事件Union

由事件A与事件B所有样本点组成

多个事件的和和事件A∪B发生A发生或B发生积（交）事件Intersection

多个事件的积

由事件Ａ和事件Ｂ的公共样本点组成

积事件AB发生事件Ａ和事件Ｂ同时发生互斥事件(互不相容事件)Exclusive

事件A与事件B不能同时发生

事件A与事件B没有公共的样本点事件A与事件B互斥AB=Φ

当时，简记作对立事件Contrary

事件A不发生

是由所有不属于A的样本点组成

性质记作差事件Difference

由属于事件A但不属于事件B的样本点组成差事件A-B发生事件A发生且事件B不发生性质对称差事件Difference

由属于事件A但不属于事件B的样本点或者由属于事件B但不属于事件A的样本点组成对称差事件A-B发生事件A与事件B只能发生一个性质完备事件组完备事件组

二、小结

概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间,必然事件不可能事件基本事件随机事件A的对立事件A出现必然导致B出现事件A与事件B相等空间(全集)空集元素子集A的补集A是B的子集A集合与B集合相等事件A与事件B的差A与B两集合的差集事件A与B互不相容A与B两集合中没有相同的元素事件A与事件B的和A集合与B集合的并集

事件A与B的积事件

A集合与B集合的交集Venn图演示集合的关系与运算事件之间的运算律

交换律

结合律

分配律

摩根律

自身律

某射手向目标射击三次，用表示第次击中目标试用及其运算符表示下列事件：（1）三次都击中目标：（2）至少有一次击中目标：

（3）恰好有两次击中目标：（4）最多击中一次：（5）至少有一次没有击中目标：（6）三次都没有击中目标：例：复合事件的表示下列各式哪个成立，哪个不成立？为什么？（1）若，则（2）（3）（4）解（1）成立反证法：如果B不发生，不导致A不发生，则B不发生，导致A发生，即而所以产生矛盾下列各式哪个成立，哪个不成立？为什么？（1）若，则（2）（3）（4）解（2）不成立当

时，（2）成立。下列各式哪个成立，哪个不成立？为什么？（1）若，则（2）（3）（4）解（3）成立下列各式哪个成立，哪个不成立？为什么？（1）若，则（2）（3）（4）解（4）不成立当

时，（4）成立。化简解

随机向量及分布例如

E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。

前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。

不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。背景定义2.5.1联合分布函数的定义定理2.5.1二维随机向量分布函数的性质(4)可以通过下图说明x1x2y1y2联合分布函数表示矩形域概率

设X、Y

为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量（X，Y）为Ω上的一个二维随机变量。定义二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A例2.5.1可见,2.5.2二维离散型随机向量定义2.5..2二维离散型随机变量

若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。如何反映（X，Y）的取值规律呢？定义2.5.2研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式

。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常见形式）性质分布函数（X，Y）的联合概率分布（分布律）的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).

1/31/3２1/3０１２１

ＹＸ

一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求的联合分布列.

例解所以（X,Y）的联合分布列为：

若存在非负函数，使对任意实数，二元随机向量的分布函数可表示成如下形式2.5.3二维连续型随机向量定义2.5.4

则称是二元连续型随机变量。称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.联合概率密度函数的性质非负性几何解释..随机事件的概率=曲顶柱体的体积.定理2.5.2设二维随机变量的概率密度为(1)确定常数k；

(2)求的分布函数；；

.

(4)求例(1)所以解

(2)当时，当时，所以，(3)41或解(4)二维均匀分布设二维随机变量的概率密度为

上服从均匀分布.在，则称是平面上的有界区域，其面积为其中二维正态分布设二维随机变量的概率密度为其中均为参数则称服从参数为的二维正态分布

条件概率

解一、全概率公式

因为Ｂ＝ＡＢ∪

，且ＡＢ与互不相容，所以＝0.6一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球的概率引例A={第一次取到白球}，B={第二次取到白球}全概率公式定理1.5.2全概率公式特例全概率公式的推论1.5.1全概率公式的推论1.5.2全概率公式的推论1.5.3条件全概率公式全概率公式的推论1.5.4例

设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率．解

设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825

甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？解设A=“从甲箱中取出白球”，

B=“从乙箱中取出白球”，则例1.5.5（抓阄）设一袋中有n个白球与m个黑球，现从中无放回接连抽取k个球，求第k次取得黑球的概率解法一：现用数学归纳法证明往证因为同理所以得所以证得。解法二：解法三：贝叶斯公式Bayes’Theorem验后概率(k=1,2,…,n)证明定理1.5.3贝叶斯公式Bayes’Theorem

例设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%．现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率．解

设Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，Ｂ表示产品为次品．显然，Ａ1，Ａ2

，Ａ3

构成完备事件组．依题意，有Ｐ(Ａ1)＝25%,Ｐ(Ａ2)=35%,Ｐ(Ａ3)＝40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝5%,Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4%,Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝2%

例1.5.7（福利彩票中奖概率）解：2002年B题彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。

表一中奖等级10选6+1（6+1/10）

基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef

选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。表二中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○

★选7中（6+1）●●●●●●

选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）注：●为选中的基本号码；★

为选中的特别号码；○

为未选中的号码。

以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额

×总奖金比例)

-低项奖总额

]×单项奖比例

（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。表三序号

奖项方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序3