湖南省衡阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解）

2022年衡阳市高一年级期末质量监测数学卷注意事项：1．本试卷共四道大题，满分150分．2．测试时量：120分钟，请同学们科学、合理地安排好答题时间．3．本卷为试题卷，答案必须答在答题卡的指定位置，答在试题卷上无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.集合SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】求出集合SKIPIF1<0，结合元素与集合关系判断即可.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，故A、B、C错误；SKIPIF1<0，故D正确.故选：D.2.函数SKIPIF1<0的零点所在区间为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】结合函数的单调性与零点存在定理即可得答案.【详解】SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，根据零点存在定理，可知零点SKIPIF1<0，故选：C.3.SKIPIF1<0的值为（）A.10 B.SKIPIF1<0 C.1 D.不能确定【答案】A【解析】【分析】令SKIPIF1<0，两边取常用对数，结合对数的运算性质即可得解.【详解】令SKIPIF1<0，两边取常用对数，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：A.4.如图为函数SKIPIF1<0的大致图象，其解析式可能为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据图象的特征及选项中的解析式，利用排除法进行选择.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.由图知SKIPIF1<0，排除A；由图知SKIPIF1<0，进而排除C；对于D中解析式，显然SKIPIF1<0，与图不符，排除D，所以函数SKIPIF1<0的解析式可能为B.故选：B.5.已知θ为第三象限角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】已知条件式切化弦，结合诱导公式可得SKIPIF1<0，又θ为第三象限角，SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简所求式子即可得出答案.【详解】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，θ为第三象限角，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：C.6.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，结合函数的单调性及中间值0和1求得结果.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：B.7.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】由题可知SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求解.【详解】由题可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故选：C.8.“SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案.【详解】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函数，则需使SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函数且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件，故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若SKIPIF1<0，则下列不等式恒成立的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质判断A、B、C，利用特殊值判断D.【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故C正确；对于D：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC10.能正确表示图中阴影部分的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【分析】根据集合运算，结合图形分析可得.【详解】因为阴影部分在B中不在A中，根据集合的运算分析可知ACD正确.故选：ACD11.函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示，则下列正确的是（）A.θ的值可为SKIPIF1<0B.若SKIPIF1<0，则k为奇数C.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值要大于SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】【分析】由图象确定函数的周期求得SKIPIF1<0，再由零点求得SKIPIF1<0，从而得函数解析式，然后由结合正弦函数性质、辅助角公式，判断各选项．【详解】选项A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的零点，由图象得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（以下只要取SKIPIF1<0即可），A错；选项B，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故k为奇数，B对；选项C，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对称轴为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为其对称轴，C对；选项D，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，大于SKIPIF1<0，D对．故选：BCD．12.奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列选项正确的是（）A.SKIPIF1<0的一个周期为2 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0为偶函数 D.SKIPIF1<0为奇函数【答案】ACD【解析】【分析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的奇函数性质对选项逐一辨析即可.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，A正确；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0时称，故SKIPIF1<0，B错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0偶函数，C正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，D正确，故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为反函数，则SKIPIF1<0___________．【答案】0【解析】【分析】根据指数函数与对数函数互反函数求解即可.【详解】SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为反函数，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<014.命题p：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的否定为___________；使命题p成立的一个x的值为___________．【答案】①.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题得第一空的答案；验证SKIPIF1<0时，命题p成立，即得第二空答案.【详解】解：因为命题p：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以命题p：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，所以命题p成立的一个x的值为1.故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1.15.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若SKIPIF1<0，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为___________．【答案】5【解析】【分析】用三角函数表示直角三角形的两条直角边，得小正方形的边长为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解出SKIPIF1<0，即可求大正方形与小正方形的面积之比.【详解】如图所示，设大正方形边长为1，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，小正方形的边长为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，两边同时平方得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为SKIPIF1<0.故答案为：516.已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围为___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】令SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的图象，即可得答案.【详解】解：令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，如图，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足题意．故答案为：SKIPIF1<0四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求a；（2）用定义法证明：函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接解方程可得；（2）根据定取值、作差、定号、下结论的步骤证明即可.【小问1详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【小问2详解】证：任取SKIPIF1<0则SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减18.已知函数SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0的单调递减区间；（2）求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最值．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可；（2）先求出SKIPIF1<0的范围，再根据正弦函数的性质求解即可.【小问1详解】因SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0.【小问2详解】令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，所以要求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最值，即求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最值，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.19.如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪细图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000SKIPIF1<0的如图长方体状的走马灯(题中不考虑木料的厚薄粗细)．（1）若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（2）若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？【答案】（1）当长、宽皆为20cm时，底面矩形面积最大（2）当长为60cm、宽为40cm时，用料最少【解析】【分析】(1)设大矩形的长为x，宽为y，则有SKIPIF1<0，借助基本不等式计算面积的最大值；(2)易得底面面积SKIPIF1<0，借助基本不等式计算底面周长最小值.【小问1详解】设大矩形的长为x，宽为y依题有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时，底面矩形面积最大【小问2详解】依题有SKIPIF1<0，框架用料最少等价于底面用料为SKIPIF1<0最小即可，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取等故当长为60cm、宽为40cm时，用料最少20.已知函数SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0的定义域；（2）求SKIPIF1<0的值【答案】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由题意可得SKIPIF1<0，结合余弦函数的图象求解即可；(2)由题意可得SKIPIF1<0，将所求式子重新结合，即可得答案.【小问1详解】解：由题知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，其定义域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【小问2详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.21.m，n为函数SKIPIF1<0的两个零点，且SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求不等式SKIPIF1<0的解集；（2）比较a，b，1的大小关系．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）由韦达定理联立消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，从而求得SKIPIF1<0的值，得到SKIPIF1<0的解集；（2）解法一：根据零点的分布列出满足的不等式组求解即可；解法二：根据不等式SKIPIF1<0及韦达定理得SKIPIF1<0，求解即可.【小问1详解】由换底公式得SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0，两式相乘得SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0故不等式解集为SKIPIF1<0【小问2详解】解法一：因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.解法二：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.22.二次函数SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立．（1）求SKIPIF1<0的解析式；（2）SKIPIF1<0，记函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】（1）SKIPIF1<0；