新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题3函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程核心考点3函数的实际应用教师用书

核心考点3函数的实际应用核心知识·精归纳1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)“对勾”函数模型f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性单调_递增__单调_递增__单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与_y轴__平行随x的增大，逐渐表现为与_x轴__平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax3.关键提醒(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．多维题组·明技法1.(2023·武威模拟)车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级x(x＝1,2,3,4,5,6)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为60元/千克，则6级果的市场销售单价最接近(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(3,2)≈1.26，eq\r(3,3)≈1.44)(C)A．130元/千克 B．160元/千克C．170元/千克 D．180元/千克【解析】由题意可知eq\f(e5a＋b,ea＋b)＝e4a＝3＋1，解得ea＝eq\r(2)，由e3a＋b＝60，可得e3a＋b·(ea)3＝60×(eq\r(2))3＝120eq\r(2)≈169.2(元/千克)，最接近170元/千克．故选C．2.(2023·琼海校级三模)将边长为1的正六边形进行如下操作：第一次操作，在每条边上，以边长的eq\f(1,3)为长度作正六边形，保留新作的六个小正六边形，删除其余部分：第二次操作，将上一次操作剩余的正六边形进行第一次操作…以此方法继续下去，如图所示，若要使保留下来的所有小正六边形面积之和小于10－3，则至少需要操作的次数为(lg2≈0.3，lg3≈0.48)(D)A．17 B．18C．19 D．20【解析】由题可知，第n(n∈N*)次操作后共保留了6n个小正六边形，其边长为eq\f(1,3n)，所以保留下来的所有小正六边形面积之和为6×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n)))2×6n＝eq\f(2n－1,3eq\s\up10(n－\f(3,2)))，由eq\f(2n－1,3eq\s\up10(n－\f(3,2)))<10－3，得n>eq\f(3＋\f(3,2)lg3－lg2,lg3－lg2)≈eq\f(3＋1.5×0.48－0.3,0.48－0.3)＝eq\f(3.42,0.18)＝19，所以至少需要操作20次，才能使保留下来的所有小正六边形面积之和不超过10－3.故选D．方法技巧·精提炼求解函数应用问题的一般程序及关键(1)一般程序：eq\f(读题,文字语言)⇒eq\f(建模,数学语言)⇒eq\f(求解,数学应用)⇒eq\f(反馈,检验作答).(2)解题关键：解答这类题的关键是准确地建立相关函数关系，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．加固训练·促提高1.(2023·广陵区校级模拟)为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化．研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度．若海鱼的新鲜度h与其死亡后时间t(小时)满足的函数关系式为h＝1－m·at.若该种海鱼死亡后2小时，海鱼的新鲜度为80%，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为60%，那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过()小时后，海鱼的新鲜度变为40%(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)(B)A．3.3 B．3.6C．4 D．4.3【解析】因为海鱼的新鲜度h与其死亡后时间t(小时)满足的函数关系式为h＝1－m·at，所以根据题意可列式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.8＝1－m·a2,0.6＝1－m·a3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,m＝0.05，))∴h＝1－0.05×2t，现在新鲜度变为40%，即h＝0.4，代入函数式可得0.4＝1－0.05×2t，解得t≈3.6.故选B．2.(2023·驻马店三模)水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q(单位：L/min)计算公式为q＝Keq\r(10P)和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为N＝eq\f(S·W,q)计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力(单位：MPa)，K为水雾喷头的流量系数(其值由喷头制造商提供)，S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度(单位：L/min·m2)，水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min·m2时，保护对象的水雾喷头的数量N约为(参考数据：eq\r(3.5)≈1.87)(C)A．4个 B．5个C．6个 D．7个【解析】由水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，得q＝Keq\r(10P)＝24.96×eq\r(3.