新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第1讲直线与圆核心考点3直线与圆圆与圆的位置关系教师用书

核心考点3直线与圆、圆与圆的位置关系核心知识·精归纳1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．3.与圆的切线有关的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上的一点P(x0，y0)的切线方程为：x0x＋y0y＝r2；(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上的一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)过圆x2＋y2＝r2外的一点P(x0，y0)做圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为：x0x＋y0y＝r2.多维题组·明技法角度1：直线与圆相切、相交问题1.(2023·抚松县校级模拟)与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是(C)A．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0【解析】∵所求直线与直线x＋2y＋1＝0垂直，∴所求直线斜率k＝eq\f(－1,－\f(1,2))＝2，可设所求直线方程为y＝2x＋b，∵直线y＝2x＋b与圆x2＋y2＝1相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(|2×0－0＋b|,\r(22＋－11))＝1，解得b＝±eq\r(5)，故所求直线方程为2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0.故选C.2.(2023·丰台区校级三模)直线x＋eq\r(3)y－2＝0被圆(x－1)2＋y2＝1所截得的线段的长为(C)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2【解析】圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线x＋eq\r(3)y－2＝0的距离为eq\f(1,\r(1＋3))＝eq\f(1,2)，∴直线x＋eq\r(3)y－2＝0被圆(x－1)2＋y2＝1所截得的弦长为2eq\r(1－\f(1,4))＝eq\r(3).故选C.角度2：圆与圆的位置关系3.(2023·沈阳模拟)已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－a)2＋y2＝16，其中a＞0，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是(C)A．3＜a＜5 B．3＜a＜6C．4＜a＜5 D．2＜a＜5【解析】圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－a)2＋y2＝16，其中a＞0，则使得两圆相交的充要条件满足：4－1<eq\r(a－02＋0－02)<1＋4，(a＞0)，解得：3＜a＜5，根据选项：(4,5)⊂(3,5)，故充分不必要条件为：(4,5)．故选C.4.(2023·北海一模)已知圆C1：(x－3)2＋(y＋4)2＝1与C2：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝9恰好有4条公切线，则实数a的取值范围是(D)A．(－∞，0)∪(4，＋∞)B．(－∞，1－eq\r(6))∪(1＋eq\r(6)，＋∞)C．(0,4)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】因为圆C1：(x－3)2＋(y＋4)2＝1与C2：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝9恰好有4条公切线，所以圆C1与C2外离，所以eq\r(a－32＋a－3＋42)>4，解得a＞3或a＜－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D.方法技巧·精提炼直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)数形结合：讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)巧用垂直：直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式．(3)弦长公式：弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示：l＝2eq\r(r2－d2)(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．加固训练·促提高1.(2023·海淀区校级模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，P为直线l：x－2y＋5＝0上的一点，过点P作圆C的切线，切点分别为A、B，当|PC|·|AB|最小时，|PA|＝(A)A．4 B．5C．6 D．7【解析】由圆的知识可知，P，A，B，C四点共圆，且PC⊥AB，圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，圆心C(1，－2)，半径r＝2，所以|PC|·|AB|＝4S△PAC＝4×eq\f(1,2)|PA|·r＝4|PA|，所以当|PC|·|AB|最小时，即当|PA|最小时，又|PA|＝eq\r(|PC|2－4)，当PC⊥l时，此时|PC|取得最小值，此时|PC|＝d＝eq\f(|1－2×－2＋5|,\r(12＋－22))＝2eq\r(5)，则|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)＝eq\r(20－4)＝4.故选A.2.(2023·辽宁二模)已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋y2＝r2外切，直线l：x－y－5＝0与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝(D)A．4 B．2C．2eq\r(3) D．2eq\r(2)【解析】圆O：x2＋y2＝1的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，圆C：(x－3)2＋y2＝r2的圆心C的坐标为(3,0)，半径为|r|，因为圆O与圆C外切，所以|OC|＝1＋|r|，所以r2＝4，设圆心C(3,0)到直线l的距离为d，则d＝eq\f(|3－5|,\r(2))＝eq\r(2)，所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).故选D.3.(2023·河南模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为(D)A．2ax＋by－1＝0 B．2ax＋by－3＝0C．2ax＋2by－1＝0 D．2ax＋2by－3＝0【解析】将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by－a2－b2＝0，因为圆C1的圆心为(0,0)，