甘肃省宁县2024届高三2月测试数学试题

甘肃省宁县2024届高三2月测试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，则（）A． B．C． D．2．设全集U=R，集合，则（）A．{x|-1<x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1}3．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则A．1 B．2 C．3 D．44．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④5．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（）.A． B．9 C．5 D．6．如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．设实数、满足约束条件，则的最小值为（）A．2 B．24 C．16 D．149．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．设函数满足，则的图像可能是A． B．C． D．11．设，随机变量的分布列是01则当在内增大时，（）A．减小，减小 B．减小，增大C．增大，减小 D．增大，增大12．执行下面的程序框图，则输出的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，i为虚数单位，则正实数的值为______.14．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则_______.15．正四面体的各个点在平面同侧，各点到平面的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________．16．我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数、物价分别为、，满足，则_____，_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若的面积为，，求的周长.18．（12分）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.（1）根据上述样本数据，将列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为，求随机变量的期望和方差；（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为AB，BC的中点.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.20．（12分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，，侧面是菱形.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上上一点，且点的横坐标为，.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与抛物线交于、两点，过点且与直线垂直的直线与准线交于点，设的中点为，若、、四点共圆，求直线的方程.22．（10分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.（1）请用角表示清洁棒的长；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

先确定集合中的元素，然后由交集定义求解．【题目详解】，.故选：A．【题目点拨】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．2、C【解题分析】

解一元二次不等式求得集合，由此求得【题目详解】由，解得或.因为或，所以.故选：C【题目点拨】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.3、D【解题分析】

先用公差表示出，结合等比数列求出.【题目详解】,因为成等比数列，所以，解得.【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.4、D【解题分析】

根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④.【题目详解】对于①，若，，，，两平面相交，但不一定垂直，故①错误；对于②，若，，则，故②正确；对于③，若，，，当，则与不平行，故③错误；对于④，若，，，则，故④正确；故选：D【题目点拨】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.5、A【解题分析】

根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.【题目详解】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选：A【题目点拨】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.6、D【解题分析】

取中点，过作面，可得为等腰直角三角形，由，可得，当时，最小，由，故，即可求解.【题目详解】取中点，过作面，如图：则，故，而对固定的点，当时，最小．此时由面，可知为等腰直角三角形，，故.故选：D【题目点拨】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.7、A【解题分析】

建立平面直角坐标系，求出直线，设出点，通过，找出与的关系．通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围．【题目详解】以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系，设，则直线，设点，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A．【题目点拨】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．8、D【解题分析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【题目详解】做出满足的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数过点时，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值为.故选：D.【题目点拨】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.9、B【解题分析】

利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【题目详解】解：，则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：，位于第二象限.故选：B.【题目点拨】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.10、B【解题分析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．11、C【解题分析】

，，判断其在内的单调性即可．【题目详解】解：根据题意在内递增，，是以为对称轴，开口向下的抛物线，所以在上单调递减，故选：C．【题目点拨】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题．12、D【解题分析】

根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.【题目详解】运行程序，，

，，，，，结束循环，故输出，故选：D.【题目点拨】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用复数模的运算性质，即可得答案．【题目详解】由已知可得：，，解得．故答案为：．【题目点拨】本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．14、9【解题分析】

已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得结果.【题目详解】由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.故答案为:.【题目点拨】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.15、【解题分析】

不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，根据题意F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），设棱长为a，求得，再用余弦定理求得：，从而求得，再根据顶点A到面EDF的距离为，得到，然后利用等体积法求解，【题目详解】不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，如图所示：由题意得：F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），设棱长为a，，顶点D到面ABC的距离为所以，由余弦定理得：，所以，所以，又顶点A到面EDF的距离为，所以，因为，所以，解得，故答案为：【题目点拨】本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于难题，16、【解题分析】

利用已知条件，通过求解方程组即可得到结果．【题目详解】设人数、物价分别为、，满足，解得，.故答案为：；.【题目点拨】本题考查函数与方程的应用，方程组的求解，考查计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；（2）由面积公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，结合即可求得周长.【题目详解】（1）由题设得.由正弦定理得∵∴，所以或.当，（舍）故，解得.（2），从而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周长为.【题目点拨】本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.18、（1）列联表见解析，99%；（2），；（3）第二种优惠方案更划算.【解题分析】

（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论；（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为，知服从二项分布，即，可求得其期望和方差；（3）若选方案一，则需付款元，若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案.【题目详解】（1）由已知得出联列表：，所以，有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为，，；（3）若选方案一，则需付款元若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，，，，选择第二种优惠方案更划算【题目点拨】本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题.19、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）通过证明面，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）根据面，将问题转化为求到面的距离，利用等体积法求点面距离即可.【题目详解】（1）因为棱柱是直三棱柱，所以又，所以面又，分别为AB，BC的中点所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即点到平面的距离等于点到平面的距离设点到面的距离为由（1）可知，面且在中，，易知由等体积公式可知即由得所以到平面的距离等于【题目点拨】本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.20、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）取中点，连接，，通过证明，得，结合可证线面垂直，继而可证面面垂直.（2）设，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，继而可求二面角的余弦值.【题目详解】解析：（1）取中点，连接，，由已知可得，，，∵侧面是菱形，∴，，，即，∵，∴平面，∴平面平面.（2）设，则，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令得.同理可求得平面的法向量，∴.【题目点拨】本题考查了面面垂直的判