2026年第43届全国中学生物理竞赛复赛理论试题及详细解答

2026年第43届全国中学生物理竞赛复赛理论试题及详细解答考生须知1.本试卷共7道大题，满分320分，考试时长180分钟。2.所有解答内容需书写规范、步骤完整，物理量符号统一采用国家标准规范符号，计算题需保留核心推导步骤，仅写最终答案不得分。3.解题过程中，重力加速度取\(g=9.8\mathrm{m/s^2}\)，普朗克常量\(h=6.63\times10^{-34}\mathrm{J\cdots}\)，元电荷\(e=1.60\times10^{-19}\mathrm{C}\)，真空光速\(c=3.0\times10^8\mathrm{m/s}\)，真空介电常量\(\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}\mathrm{F/m}\)。试题部分一、（45分）热学与统计物理理想气体分子在三维空间中做无规则热运动，已知某平衡态下理想气体分子的速度分布仅与速率大小有关，各方向运动独立，分子数密度为\(n\)，分子质量为\(m\)，热力学温度为\(T\)。（1）写出该气体分子的麦克斯韦速率分布函数，并推导归一化条件；（15分）（2）推导气体分子的最概然速率、平均速率和方均根速率的表达式；（15分）（3）若将该气体置于竖直重力场中，忽略分子间相互作用，推导高度\(h\)处的分子数密度分布公式。（15分）二、（40分）力学综合：刚体与质点系统如图所示，质量为\(M\)、长度为\(L\)的均匀细杆可绕其一端\(O\)在竖直平面内无摩擦转动，细杆初始静止于水平位置。质量为\(m\)的小物块静止于细杆中点，物块与细杆间的静摩擦因数为\(\mu\)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现释放细杆，细杆开始向下转动。（1）求细杆转动的角加速度随转角\(\theta\)（杆与水平方向夹角）的变化关系；（15分）（2）求物块即将相对于细杆滑动时的临界转角\(\theta_0\)；（15分）（3）若\(\mu\)足够大，物块始终与细杆相对静止，求细杆转到竖直位置时的角速度大小。（10分）三、（45分）电磁学：静电场与导体静电平衡有一厚度可忽略的无限大均匀带电平面，面电荷密度为\(+\sigma\)，在其右侧平行放置一个不带电的无限大导体平板，导体平板厚度为\(d\)，导体内部无净电荷、无电场。达到静电平衡后，忽略边缘效应。（1）求空间各区域的电场强度分布；（15分）（2）求导体平板两个表面的感应电荷面密度；（15分）（3）若将导体平板接地，重新求空间电场分布与导体表面感应电荷面密度。（15分）四、（40分）波动与光学一束单色平行自然光垂直入射到由两个偏振片组成的光学系统中，两个偏振片的透振方向夹角为\(\alpha\)。已知入射自然光的光强为\(I_0\)。（1）求透过两个偏振片的出射光强与光的偏振状态；（15分）（2）若在两个偏振片之间插入一块1/4波片，波片光轴与第一个偏振片透振方向平行，求此时出射光强与偏振状态；（15分）（3）简述偏振光在日常生活与精密测量中的两种典型应用。（10分）五、（45分）近代物理：量子与相对论基础（1）已知某金属的逸出功为\(W_0\)，用频率为\(\nu\)的单色光照射该金属发生光电效应，推导光电子的最大初动能表达式，并说明光电效应的两条核心实验规律；（20分）（2）静止质量为\(m_0\)的粒子以速度\(v\)做匀速直线运动，推导该粒子的相对论动能、总能量和动量表达式，并说明相对论动能与经典动能的区别；（25分）六、（40分）电路与电磁感应综合如图，光滑水平导轨间距为\(L\)，导轨电阻不计，左端接有定值电阻\(R\)。质量为\(m\)、电阻为\(r\)的金属杆垂直放置在导轨上，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为\(B\)。现给金属杆一个水平向右的初速度\(v_0\)，金属杆在安培力作用下减速运动。（1）分析金属杆的运动性质，推导任意时刻\(t\)金属杆的速度表达式；（15分）（2）求金属杆从初始状态到静止过程中，通过电阻\(R\)的电荷量；（10分）（3）求全过程中电路产生的总焦耳热。（15分）七、（25分）物理建模与创新应用火箭通过喷射燃气获得推力，设燃烧室中理想燃气温度为\(T_1\)、压强为\(p_1\)，通过窄喷口排入压强为\(p_2\)的外界环境。燃气摩尔质量为\(\mu\)，定容摩尔热容\(C_V\)为常量，燃气流动过程可视为绝热定常流动，忽略重力与粘性损耗。（1）推导燃气从喷口喷出的速度表达式；（15分）（2）说明火箭推进过程中绝热流动模型的适用条件与物理局限。（10分）详细解答部分一、（45分）热学与统计物理解答（1）麦克斯韦速率分布函数及归一化条件根据麦克斯韦统计规律，平衡态下理想气体分子速率分布函数为：f(v)=4π式中\(k\)为玻尔兹曼常量，满足\(k=\frac{R}{N_A}\)。归一化物理意义：所有速率区间的分子数占总分子数比例之和为1，数学表达式为：0该式表明，分子速率出现在\(0\sim+\infty\)区间的概率为1，是分布函数必须满足的核心条件。（2）三种特征速率推导①最概然速率\(v_p\)：速率分布函数取极大值对应的速率，对\(f(v)\)求导并令导数为0：d化简可得：v②平均速率\(\bar{v}\)：分子速率的统计平均值，定义为：v代入分布函数积分计算得：v③方均根速率\(\sqrt{\overline{v^2}}\)：由速率平方平均值开方得到：v因此：v（3）重力场中分子数密度分布重力场中分子具有重力势能\(E_p=mgh\)，根据玻尔兹曼分布律，保守场中粒子数密度随势能的分布为：n(h)=式中\(n_0\)为\(h=0\)处的分子数密度，代入势能表达式得：n(h)=该式即为大气分子数密度随高度的分布公式，也称为气压公式的微观形式。二、（40分）刚体与质点系统解答（1）角加速度与转角的关系均匀细杆绕一端的转动惯量I=1细杆重心在中点，重力力矩：M物块重力力矩：M总力矩：M根据刚体转动定律\(M_{总}=I_{总}\beta\)，系统总转动惯量I联立得角加速度：β=（2）物块临界滑动转角物块随杆做圆周运动，切向加速度\(a_t=\frac{L}{2}\beta\)，法向加速度\(a_n=\frac{L}{2}\omega^2\)。对物块受力分析：径向摩擦力与重力径向分力提供向心力，切向合力提供切向加速度。临界滑动时，静摩擦力达到最大值\(f=\muN\)。将重力分解为径向、切向分量，结合转动的角速度与角加速度的积分关系，联立受力方程：切向：mg径向：N−mg结合\(\beta=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=\omega\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}\theta}\)积分求得\(\omega^2\)，代入临界条件\(f=\muN\)，最终解得临界转角：tan（3）竖直位置的角速度系统无摩擦，机械能守恒。以杆竖直位置重心处为重力势能零点，初始水平位置的重力势能全部转化为系统转动动能。势能减少量：Δ动能增加量：Δ联立机械能守恒定律\(\DeltaE_p=\DeltaE_k\)，代入总转动惯量解得：ω=三、（45分）静电场与导体静电平衡解答（1）无接地时空间电场分布无限大均匀带电平面的电场强度大小为E0静电平衡时导体内部电场强度处处为0，空间分为三个区域：带电平面左侧、带电平面与导体之间、导体右侧。①带电平面左侧区域：E1②带电平面与导体之间区域：E2③导体内部：E内④导体右侧区域：E3（2）导体表面感应电荷面密度设导体左表面感应电荷面密度为\(\sigma_1\)，右表面为\(\sigma_2\)，导体不带电，故\(\sigma_1+\sigma_2=0\)。由导体内部电场叠加为0的条件：带电平面、左右表面感应电荷在导体内部的合场强为0，代入场强公式联立得：σ（3）导体接地后的电场与感应电荷导体接地后，右侧电势为0，右侧无电场，\(E_3'=0\)，导体右表面感应电荷被大地电荷中和，\(\sigma_2'=0\)。再次由导体内部场强为0，得左表面感应电荷面密度：σ空间电场分布：左侧区域E1′=0四、（40分）波动与光学解答（1）双偏振片出射光强与偏振状态自然光通过第一个偏振片后，变为线偏振光，光强减半：I1根据马吕斯定律，通过第二个偏振片的光强：I出射光为线偏振光，透振方向与第二个偏振片一致。（2）插入1/4波片后的出射光特性线偏振光垂直入射光轴平行于偏振方向的1/4波片，振动方向平行光轴，通过波片后o光、e光产生\(\frac{\pi}{2}\)的相位差。入射波片的光强\(I_1=\frac{I_0}{2}\)，分解为平行、垂直波片光轴的分量，经过波片后两分量相位差为\(\frac{\pi}{2}\)，再通过夹角为\(\alpha\)的偏振片后，两振动分量叠加。叠加计算得总光强：I=出射光为椭圆偏振光；若\(\alpha=45^\circ\)，出射为圆偏振光。（3）偏振光典型应用①液晶显示技术：利用偏振光的透光特性，通过电场调控液晶分子取向，改变偏振光透过率，实现画面显示；②应力检测：透明介质受力产生双折射，通过偏振光干涉现象，观测介质应力分布，用于机械构件无损检测。五、（45分）近代物理基础解答（1）光电效应最大初动能与实验规律根据爱因斯坦光电效应方程，光子能量一部分用于克服金属逸出功，剩余部分转化为光电子最大初动能：E核心实验规律：1.存在截止频率：只有入射光频率大于金属极限频率\(\nu_0=\frac{W_0}{h}\)时，才会产生光电效应，与光强无关；2.光电子最大初动能仅随入射光频率增大而增大，与入射光光强无关；3.光电效应具有瞬时性，响应时间小于\(10^{-9}\mathrm{s}\)。（2）相对论能量与动量相对论质量：m=相对论总能量：E=m静止能量：E相对论动能为总能量减去静止能量：E相对论动量：p=mv=相对论与经典动能区别：经典动能\(E_k=\frac{1}{2}m_0v^2\)仅适用于\(v\llc\)的低速场景；相对论动能适用于所有速度场景，低速下泰勒展开可退化为经典动能，高速下经典动能公式失效，相对论动能增长远快于经典动能。六、（40分）电磁感应综合解答（1）金属杆速度随时间变化规律金属杆切割磁感线产生感应电动势：E=BLv回路感应电流：I=金属杆受安培力：F=−BIL=−B由牛顿第二定律：m分离变量积分，结合初始条件\(t=0,v=v_0\)，解得：v=金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终速度趋近于0。（2）全过程通过电阻的电荷量电荷量定义q=∫Idq=结合动量定理：−∫BILdt=0−m解得电荷量：q=（3）电路总焦耳热全过程无外力做功，金属杆的初动能全部转化为电路焦耳热，由能量守恒：Q=七、（25分）物理建模与创新应用解答（1）燃气喷口喷出速度推导燃气绝热定常流动，满足绝热过程方程与能量守恒。理想气体绝热过程