四川省泸县四中2024届高三年级统考数学试题

四川省泸县四中2024届高三年级统考数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A． B． C． D．2．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在，内的学生人数为（）A．800 B．1000 C．1200 D．16004．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．5．已知复数满足，且，则（）A．3 B． C． D．6．函数的图象大致是()A． B．C． D．7．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．8．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（）A． B． C． D．9．中，点在边上，平分，若，，，，则（）A． B． C． D．10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第三象限C．的共轭复数 D．11．偶函数关于点对称，当时，，求（）A． B． C． D．12．设集合，，则（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则________.(填“>”或“=”或“<”).14．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_________．15．设函数，当时，记最大值为，则的最小值为______.16．已知函数在点处的切线经过原点，函数的最小值为，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）等比数列中，．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)记为的前项和．若，求．18．（12分）已知函数.（1）若是函数的极值点，求的单调区间；（2）当时，证明：19．（12分）已知直线与抛物线交于两点.（1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率；（2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程.20．（12分）分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.21．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求与的回归直线方程；②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值参考数据和公式：，22．（10分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（ⅠⅠ）求直线与平面所成的角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【题目详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.综上所述，共有种不同的排法.故选：C．【题目点拨】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．2、C【解题分析】

根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【题目详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.【题目点拨】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.3、B【解题分析】

由图可列方程算得a，然后求出成绩在内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.【题目详解】由频率和为1，得，解得，所以成绩在内的频率，所以成绩在内的学生人数.故选：B【题目点拨】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.4、D【解题分析】

利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【题目详解】因为，，故.又，故.因为当时，函数是单调递减函数，所以.因为为偶函数，故，所以.故选：D.【题目点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.5、C【解题分析】

设,则,利用和求得,即可.【题目详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C【题目点拨】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.6、B【解题分析】

根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【题目详解】设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.【题目点拨】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.7、D【解题分析】

根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解.【题目详解】如图，因为为等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：D【题目点拨】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.8、A【解题分析】

先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.【题目详解】据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.【题目点拨】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.9、B【解题分析】

由平分，根据三角形内角平分线定理可得，再根据平面向量的加减法运算即得答案.【题目详解】平分，根据三角形内角平分线定理可得，又，，，，..故选：.【题目点拨】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.10、D【解题分析】

利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.【题目详解】因为，，，所以的周期为4，故，故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共轭复数为，C错误；，D正确.故选：D.【题目点拨】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.11、D【解题分析】

推导出函数是以为周期的周期函数，由此可得出，代值计算即可.【题目详解】由于偶函数的图象关于点对称，则，，，则，所以，函数是以为周期的周期函数，由于当时，，则.故选：D.【题目点拨】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12、A【解题分析】

解出集合，利用交集的定义可求得集合.【题目详解】因为，又，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

注意到，故只需比较与1的大小即可.【题目详解】由已知，，故有.又由，故有.故答案为：.【题目点拨】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.14、【解题分析】

由题意可得，又由于为的中点，且点在轴上，所以可得点的横坐标，代入抛物线方程中可求点的纵坐标，从而可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.【题目详解】解：因为是抛物线的焦点，所以，设点的坐标为，因为为的中点，而点的横坐标为0，所以，所以，解得，所以点的坐标为所以，故答案为：【题目点拨】此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题.15、【解题分析】

易知，设，，利用绝对值不等式的性质即可得解．【题目详解】，设，，令，当时，，所以单调递减令，当时，，所以单调递增所以当时，，，则则，即故答案为：.【题目点拨】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．16、0【解题分析】

求出，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出的值，求，求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解.【题目详解】，，，切线的方程：，又过原点，所以，，，.当时，；当时，.故函数的最小值，所以.故答案为:0.【题目点拨】本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题..三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解题分析】

（1）先设数列的公比为，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.【题目详解】（1）设数列的公比为，，，或.（2）时，，解得；时，，无正整数解；综上所述.【题目点拨】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.18、（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析【解题分析】

（1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.（2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证.【题目详解】（1）函数可求得，则解得所以，定义域为，在单调递增，而，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，此时是函数的极小值点，的递减区间为，递增区间为（2）证明：当时，，因此要证当时，，只需证明，即令，则，在是单调递增，而，∴存在唯一的，使得，当，单调递减，当，单调递增，因此当时，函数取得最小值，，，故，从而，即，结论成立.【题目点拨】本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应用，属于难题.19、（1）（2）【解题分析】

（1）设，根据直线的斜率公式即可求解；（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，，结合直线的斜率公式得到，换元后讨论的符号，求最值可求解.【题目详解】（1）设，因为，即直线的斜率为1.（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为.联立方程组，可得则，令，则则当时，；当且仅当，即时，解得时，取“=”号，当时，；当时，综上所述，当时，取得最大值，此时直线的方程是.【题目点拨】本题主要考查了直线的斜率公式，直线与抛物线的位置关系，换元法，均值不等式，考查了运算能力，属于难题.20、（1）（2）【解题分析】

（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长．【题目详解】（1）由，得，即.因为，所以.由，得.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立.因为的面积.所以当时，的面积取得最大值，此时，则，所以的周长为.【题目点拨】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．21、（1）见解析，12.5（2）①②20【解题分析】

(1)运用分层抽样，结合总场次为100，可求得的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;(2)①由公式可计算的值，进而可求与的回归直线方程；②求出，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时的值.【题目详解】解：（1）抽样比为，所以分别是，6，7，8，5所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15，，，所以分布列为期望为（2）因为所以，，；②，设，所以当递增，当递减所以约惠值最大值时的值为20【题目点拨】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.22、(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．【解题分析】试题分析：（Ⅰ）连接交于，得，所以面，又，得面，即可利用面面平行的判