2023人教版新教材A版高中数学必修第二册同步练习-4. 4 数学归纳法

4.4*数学归纳法

基础过关练

题组一用数学归纳法证明等式

1.（2022河南信阳高级中学月考）用数学归纳法证明1+2+3+…+於手，〃金N*,则

当n=k+l时，左端应在n=k的基础上加上（）

A.J（+lB.（4+1）2

C.（乃+1）+（/+2）+…+（«+i）2D.（k+i）2y

2.用数学归纳法证明1-衿-9…+内7+2+…+白虎2时,第一步应验

2342n-l2nn+1n+22n

证的等式是.

3.（2021山西长治第二中学月考）请用数学归纳法证

明：13+23+33+-+（hl）斗庐小尘.

4

题组二用数学归纳法证明不等式

4.（2021北京师范大学附属中学期中）用数学归纳法证明

1+*+..•+六〃>1）时,第一步应验证的不等式是（）

A.1+-<2B.1+-+-<2C.1+-+-<3D.1+-+-+-<4

22323234

5.对于不等式V?”瓦〈加某学生用数学归纳法证明的过程如下:

①当n=l时,Vl2+1^1+1,不等式成立.

②假设当上左(A£N*)时，不等式成立，即VFTIWA+1,则当n=k+l

时,不也+I)?+(♦+1)=7k2+3k+24k2+3/c+2+(/c+2)=J(/c+2)2=(A+1

)+1,所以当上A+l时，不等式成立.上述证法中()

A.过程全部正确

B.77=1时的验证不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k(k《ND到ZFA+1的推理不正确

6.已知，力=1+：+*…+2(/?£N),用数学归纳法证明〃2")＞中时，

23n2

/•(2加)一f(2*)=.

7.(2021安徽宿州泗县第一中学月考)已知

f(n)=l+々+与+々+,,•+与，g(n)=--^7,7?GN*.

233343n3022n2

⑴当n=l,2,3时,试比较f(〃)与g(〃)的大小关系；

⑵用数学归纳法证明A〃)Wg(〃).

题组三用数学归纳法解决归纳一猜想一证明问题

8.（2021陕西宝鸡金台期中）观察下列式子：1+点号1+白吟）1+4+4+]4,

212213巳32Z3Z4/4

则可归纳出1+白+1+…+广]〈1

223Z（n+1）2

An02n-lr2n+ln2n

A.D.----C.----D.

n+1n+1n+ln+1

9.观察下列不等

式：1当1+滑1+河+…+巳号1+渭+…+》2,套＞|，...，由此猜测第

个不等式为.

10.（2021陕西西安铁一中学期末）在数列E,｝中，&=；,

2Qn+3

⑴求出愚,当,并猜想｛8,｝的通项公式；

⑵用数学归纳法证明⑴中的猜想.

11.（2022山西大同一中月考）已知数列EJ满足句日,前〃项和S,^^a.

62n

⑴求&,8,a的值；

⑵猜想区的表达式,并用数学归纳法证明.

答案全解全析

基础过关练

1.C当上〃时，等式左端为1+2+3+…+匕

当n=k+\时，等式左端为1+2+3+…+发+（/+1）+（发+2）+…+（衣1）2,

左端应在n=k的基础上加上（斤+1）+（发+2）+…+（4+1）*2,

故选C.

2.答案1-1=|

解析由于〃金N*,因此第一步应验证上1时的等式，此时左边=1方右边弓故填

3.证明①当斤1时，左边=1,右边=1,等式成立.

②假设当"欢心）时等式成立，即13+23+33+-+（^-1）3+^-k2（k+1）2,

4

贝I」当炉k+1时，13+23+33+-+〃+（A+I）3,2（E）2+（攵+1）3=^11!（*+44+4）

44

(/C+1)2(/C+2)2

-（k+1）2［（k+1）+lj2,该等式也成立.

根据①②可知,原等式成立.

4.BV/7eN»l,：.n所取的第一个正整数为2,又22-1=3,.•.第一步应验证

1+-+-<2.

5.D从上〃到麻〃+1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证

明要求.

6.答案-------+-------+,••+

2k+l2k+2---------2k+1

解析因为当n=k时，F(2*)=l+；+：+…+4,当ZFA+1时，

232"

/、(2->1+若+…+9

2k+l2k+1'

所以*2巧寸⑵)=1申+升..•+—六+…苗.

7.解析⑴当炉1时，*1)=1,g⑴=1,所以f(D=g⑴;

当77=2时，f(2)=1，g(2)=\,所以f(2)<^(2);

OO

当上3时，A3)=黑,g⑶镖，所以A3)<g⑶•

216216

⑵证明：①当n=l时，不等式显然成立.

②假设当炉〃(隹N9时不等式成立,即l+》¥W+...+2w9总

334?H22K£

则当上〃+1时，

f(A+l)=F(〃)+---^--―+---=----—+―---—+—-—,

(fc+l)322k2(fc+1)322(fc+l)22(fc+l)22k2(k+1)3

m、［111k+31—3k—1/八

因为-----——十----=-----——二-------〈0,

2(k+l)22k2(1+1)32(/c+l)32k22(/c+l)3/c2

所以/U+l)<|一岛fg(〃+l).

由①②可知,对一切都有f(n)Wg(〃)成立.

8.C由已知式子可知所猜测分式的分母为加1,分子为第(加1)个正奇数，即

2/7+1,

.".可归纳得1+：+白+…+;—.故选C.

2232(n+l)2n+1

9.答案1+UU...+一一二

232n-l2

解析由1=211,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,可猜测第n个不等式的左边为

1+衿+…+启;由”,2,可猜测第n个不等式的右边为今

乙O乙JL乙乙乙乙

因此猜测第〃个不等式为1+/+…+直4

10.解析⑴•••乃云，外尸受，

2an+3

.3al_3XL30_3a2_3xL3

••C121,•

G1+3-+37a2+3-+38

猜想：a,='7(〃£N*).

⑵证明:①当上1时,a今潦猜想成立.

②假设当炉4(届N)时,猜想成立,即为=2,

k+5

贝！J当〃=〃+1时，az3%—3；k+5-3q__L_,

(2/^+3.+《+3k+6(k+l)+5

即当77=4+1时，猜想也成立.

由①②可知，对任意〃ENhq'

11.解析(1)令)=2,得国+4=3a2,二•比《且二石

]

77=3,4导^1-*"^2^~^3=6^3,••二茄.

]

之/?-4,《寻向+32+a+&二10&,••

⑵猜想a=〃£N*,下面用数学归纳法给出证明.

，(n+lS)(n+2〜)

①当n=l时，显然结论成立；

1

②假设当Fk(kRN*,kA)时，结论成立，即a二

(k+l)(k+2)'

Zc(/c+l)kc_("D(k+2)

贝U当77=A+1时,S出国二