2022-2023学年北京市海淀区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

第1页（共6页）2022-2023学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共24分，每小题3分）1．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，1），则点A关于y轴的对称点的坐标是（）A．（1，3） B．（﹣3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）2．（3分）数学中有许多精美的曲线，以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”．其中一定不是轴对称图形的是（）A． B．C． D．3．（3分）地球是人与自然共同生存的家园，在这个家园中，还住着许多常常被人们忽略的微小生命．在冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上，科学家发现了基因片段，并提取出了最小的生命体，它的直径仅为0.0000002米．将数字0.0000002用科学记数法表示为（）A．2×10﹣7 B．2×10﹣8 C．2×10﹣9 D．20×10﹣84．（3分）在下列运算中，正确的是（）A．a2•a3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．（a2）3＝a5 D．a3﹣a2＝a5．（3分）下列式子从左到右变形正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若DE∥AC，则图中的∠1度数是（）A．60° B．75° C．90° D．105°7．（3分）如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（）A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．2ab D．4ab8．（3分）对于分式（m，n为常数），若当x≥0时，该分式总有意义；当x＝0时，该分式的值为负数．则m，n与0的大小关系正确的是（）A．m＜0＜n B．0＜m＜n C．n＜0＜m D．0＜n＜m二、填空题（本大题共18分，每小题3分）9．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝．10．（3分）如果等腰三角形的两边长分别是2cm和6cm，则该等腰三角形周长是cm．11．（3分）当x＝时，分式的值为0．12．（3分）如图，点P在正五边形的边BC上运动（不与点B，C重合），若∠BAP＝x°，则x的取值范围是．13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝BC，点D，E分别在边AB、AC上，若沿直线DE折叠，点A恰好与点B重合，且CE＝6，则∠EBC＝°，AC＝．14．（3分）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′对应的边或角添加等量条件（点A′，B'，C′分别是点A，B，C的对应点）．某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．轮次行动者添加条件1甲AB＝A′B′＝2cm2乙BC＝B′C′＝4cm3甲..．上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（填写所有正确结论的序号）．①若第3轮甲添加AC＝A′C′＝5cm，则乙获胜；②若甲想获胜，第3轮可以添加条件∠C＝∠C′＝30°；③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°．三、解答题（本大题共58分，第15〜18题，每题4分，19〜22题，每题5分，23题4分，24题5分，25题6分，26题7分）15．（4分）计算：（﹣1）2+2﹣2﹣（2023﹣π）0．16．（4分）计算：x（x+4y）﹣2x•3y．17．（4分）化简：．18．（4分）如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地．C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？19．（5分）已知a2﹣2a﹣1＝0，求代数式（2a+1）（2a﹣1）+（a﹣5）2的值．20．（5分）如图，已知线段AB与直线平行．（1）作∠CAB的角平分线AE交直线CD于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AE的中点为F，连接BF并延长交直线CD于点G，请用等式表示线段AB，AC，CG之间的数量关系：．21．（5分）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．22．（5分）我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于x的代数式，并解决问题．（1）若计算x（x+a）的结果为x2+7x，则a＝；（2）若多项式x2+bx﹣3分解因式的结果为（x+3）（x﹣c），则c＝，b＝；（3）若计算（dx+1）（x﹣d）的结果为dx2+mx﹣2，求m的值．23．（4分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A，B，C的坐标分别为（2，5），（1，2），（5，4），AB＝AC．（1）∠BAC＝°；（2）若点D为整点，且满足△ABD≌△ACD，直接写出点D的坐标（写出两个即可）．24．（5分）已知A＝x+y，B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2．（1）若，求C的值；（2）在（1）的条件下，且为整数，求整数x的值．25．（6分）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α．作△ACD，使得AC＝CD．（1）如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DCB＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，求证：CH＝BC；（3）若△ABC与△ACD的面积相等，则∠ACD与∠BAC满足什么关系？请直接写出你的结论．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q分别在线段OA，OB上．如果存在点M使得MP＝MQ，∠MPQ＝∠AOB（点M，P，Q逆时针排列），则称点M是线段PQ的“关联点”．如图1，点M是线段PQ的“关联点”．（1）如图2，已知点A（4，4），B（8，0），点P与点A重合．①当点Q是线段OB中点时，在M1（4，2），M2（6，2）中，其中是线段PQ的“关联点”的是；②已知点M（8，4）是线段PQ的“关联点”，则点Q的坐标是．（2）如图3，已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°．①当点P与点A重合，点Q在线段OB上运动时（点Q不与点O重合），若点M是线段PQ的“关联点”，求证：BM∥OA；②当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，直接写出线段PQ的“关联点”M形成的区域的周长．第1页（共14页）2022-2023学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共24分，每小题3分）1．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．【解答】解：点A（3，1）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，1），故选：B．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．2．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.0000002＝2×10﹣7．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A符合题意；B、（3a）2＝9a2，故B不符合题意；C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；D、a3与﹣a2不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：A、≠，故A不符合题意．B、＝，故B符合题意．C、＝+，故C不符合题意．D、≠5，故D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．6．【分析】先根据DE∥AC求出∠2的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝∠2+∠E＝30°+45°＝75°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．7．【分析】用代数式表示整体正方形的面积与四个等腰直角三角形的面积，进而用代数式表示阴影部分的面积即可．【解答】解：整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，四个等腰直角三角形的面积和为a2+b2，所以阴影部分的面积为（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab，故选：C．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．8．【分析】利用分式成立的条件判断﹣m有可能为正，则m＜0，再根据x＝0时，分式值为负，可判断m、n异号．【解答】解：∵当x≥0时，该分式总有意义，∴说明当x＜0时，分母x﹣m有可能为0，∴﹣m为正数，即m＜0，又∵x＝0时，该分式的值为负数，∴＜0，即＜0，∴n、m异号，∴m＜0＜n，只有A选项正确，故选：A．【点评】本题考查了分式的值，分式成立的条件，解题的关键是掌握分式的值，分式成立的条件．二、填空题（本大题共18分，每小题3分）9．【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．【解答】解：原式＝a（b2﹣9）＝a（b+3）（b﹣3），故答案为：a（b+3）（b﹣3）．【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．10．【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：当腰长为2cm时，则三边分别为2cm，2cm，6cm，因为2+2＜6，所以不能构成直角三角形；当腰长为6cm时，三边长分别为2cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系，此时其周长＝2+6+6＝14cm．故答案为：14．【点评】本题考查等腰三角形的概念，要注意三角形“两边之和大于第三边”这一定理．掌握分类思想是解题的关键．11．【分析】根据分式为零的条件列出关于x的不等式，求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴2x﹣4＝0且x﹣3≠0，∴x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．12．【分析】根据正多边形与圆的性质进行计算即可．【解答】解：当点P与点B重合时，此时x＝0°，当点P与C重合时，此时x＝＝90°﹣∠B＝90°﹣×＝36°，∴点P在正五边形的边BC上运动（不与点B，C重合），∠BAP＝x°，则x的取值范围为0≤x≤36，故答案为：0≤x≤36．【点评】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的有关计算是正确解答的前提．13．【分析】根据等腰三角形性质得到∠C＝30°，再根据三角形内角和是180°得到∠ABC＝120°，然后由折叠可知∠EBA＝∠A＝30°，AE＝BE，最后利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半解答即可．【解答】解：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C＝30°．∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．由折叠可知，∠EBA＝∠A＝30°，AE＝BE，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝120°﹣30°＝90°，∴CE＝2BE，∴BE＝＝3，∴AE＝3．AC＝AE+CE＝3+6＝9．故答案为：90，9．【点评】本题考查了翻折问题，熟练运用等腰三角形与含30度角直角三角形的性质是解题的关键．14．【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．【解答】解：①若第3轮甲添加AC＝A′C′＝5cm，根据SSS即可判定△ABC≌△A′B′C′，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意；②若第3轮甲添加条件∠C＝∠C′＝30°，满足SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′，则乙失败，甲获胜，故说法正确，符合题意；③若乙第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°，则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定△ABC≌△A′B′C′，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意；故答案为：①②③．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．三、解答题（本大题共58分，第15〜18题，每题4分，19〜22题，每题5分，23题4分，24题5分，25题6分，26题7分）15．【分析】直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝1+﹣1＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．16．【分析】利用单项式乘多项式的法则及单项式乘单项式的法则进行运算，再合并同类项即可．【解答】解：x（x+4y）﹣2x•3y＝x2+4xy﹣6xy＝x2﹣2xy．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．【分析】原式先算括号中的减法运算，再利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝÷＝•＝x．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】根据题意可得∠AEC＝∠BFD＝90°，AC＝BD，再根据平行线的性质可得∠A＝∠B，然后再利用AAS判定△AEC≌△BFD，进而可得CE＝DF．【解答】解：C，D两地到路段AB的距离相等，理由：由题意可知AC＝BD，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC＝∠BFD＝90°，∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（AAS），∴CE＝DF，∴C，D两地到路段AB的距离相等．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确理解题意，找出证明三角形全等的条件．19．【分析】根据平方差公式以及完全平方公式进行化简，然后将a2﹣2a＝1代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝4a2﹣1+a2﹣10a+25＝5a2﹣10a+24，当a2﹣2a﹣1＝0时，a2﹣2a＝1，原式＝5（a2﹣2a）+24＝5×1+24＝5+24＝29．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．20．【分析】（1）利用尺规作图作出角的平分线；（2）利用等腰三角形的判定和性质先说明AC＝CE，再利用“ASA”说明△GFE≌△BFA，最后利用线段的和差及全等三角形的性质得结论．【解答】解：（1）AE就是∠CAB的角平分线；（2）∵AE是∠CAB的角平分线，∴∠CAE＝∠EAB．∵AB∥CD，∴∠CEA＝∠EAB．∴∠CAE＝∠CEA．∴AC＝CE．∵AE的中点为F，∴AF＝FE．在△GFE和△BFA中，，∴△GFE≌△BFA（ASA）．∴GE＝AB．∴CG+CE＝CG+AC＝AB．【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定是解决本题的关键．21．【分析】设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为（x﹣20）吨，由题意：每台新型机器人搬运960吨货物的时间和每台旧型机器人搬运720吨货物的时间相同，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为（x﹣20）吨，由题意得：＝，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．【分析】（1）根据单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可求解；（2）根据多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解；（3）根据多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解．【解答】解：（1）x（x+a）＝x2+ax，∵x（x+a）的结果为x2+7x，∴x2+ax＝x2+7x，∴a＝7，故答案为：7；（2）（x+3）（x﹣c）＝x2﹣cx+3x﹣3c＝x2+（3﹣c）x﹣3c，∵多项式x2+bx﹣3分解因式的结果为（x+3）（x﹣c），∴x2+bx﹣3＝x2+（3﹣c）x﹣3c，∴3﹣c＝b，3c＝3，解得c＝1，b＝2，故答案为：1，2；（3）（dx+1）（x﹣d）＝dx2﹣d2x+x﹣d＝dx2+（1﹣d）x﹣d，∵（dx+1）（x﹣d）的结果为dx2+mx﹣2，∴dx2+（1﹣d）x﹣d＝dx2+mx﹣2，∴1﹣d＝m，d＝2，∴m＝﹣1．【点评】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式以及因式分解，掌握单项式乘多项式的法则，多项式乘多项式法则以及因式分解的方法是解题的关键．23．【分析】（1）连接BC，证明△ABC是等腰直角三角形，得出∠BAC＝45°；（2）根据条件得出点D在BC的垂直平分线上，再根据点D为整点，即可确定点D的坐标．【解答】解：（1）如图，连接BC．∵点A，B，C的坐标分别为（2，5），（1，2），（5，4），AB＝AC，∴AB2＝AC2＝12+32＝10，BC2＝22+42＝20，∴AB2+AC2＝BC2，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．故答案为：45；（2）∵△ABD≌△ACD，△ABC是等腰直角三角形，∴点D可以在BC的垂直平分线上，∵点D为整点，∴点D的坐标可以是（3，3），（4，1）（答案不唯一）．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．24．【分析】（1）把代数式A＝x+y，B＝x2﹣y2代入＝，求出x﹣y的值，再整理化简C代数式，整体代入即可求解；（2）把代数式B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2代入，再根据为整数即可求解．【解答】解：（1）∵将A＝x+y，B＝x2﹣y2代入＝得：＝，∴＝，∴＝，∴x﹣y＝5，∴C＝x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝52＝25；（2）将B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2代入中得：＝＝＝＝＝1+，∵x﹣y＝5，∴y＝x﹣5，∴原式＝1+＝1+＝1+1+，∵为整数，∴也是整数，∴①2x﹣5＝﹣5，则x＝0，②2x﹣5＝﹣1，则x＝2，③2x﹣5＝1，则x＝3，④2x﹣5＝5，则x＝5，∴整数x的值为：0或2或3或5．【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式化简求值的方法是解题的关键，应用了整体代入得数学思想．25．【分析】（1）由等腰三角形的性质，两角互余的概念，即可求解；（2）作AE⊥BC于E，由两角互补的概念，可以证明△ACH≌△ACH（AAS），即可解决问题；（3）分两种情况，作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC延长线于G，应用三角形全等，可以解决问题．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∵∠ACD与∠BAC互余，∴∠ACD＝90°﹣α，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α，故答案为α；（2）证明：作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，AC＝AD，∴∠EAC＝∠BAC，∠ACH＝∠ACD，CE＝BC，∴∠EAC+∠ACH＝（∠BAC+∠ACD），∵∠ACD与∠BAC互补，∴∠EAC+∠ACH＝×180＝90°，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ACH，∵∠AHC＝∠AEC＝90°，AC＝AC，∴△ACH≌△ACE（AAS），∴CH＝