2024届新教材二轮复习 　排列数公式 学案

2024届新教材二轮复习排列数公式学案素养导引1.理解排列数的概念及排列数公式的推导过程.(数学抽象)2.掌握排列数公式及其应用.(数学运算)3.能用排列知识解决简单的实际问题.(逻辑推理)一、排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Anm【批注】“排列”与“排列数”的区别“排列”和“排列数”是两个不同的概念:(1)一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一个排列(也就是具体的一件事);(2)排列数是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.二、全排列1.定义:把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.2.阶乘:将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.三、排列数公式1.乘积形式:Anm=n(n-1)…(n-m+1)(n,m∈N*且m≤n).当m=n时,得全排列数公式Ann=n(n-1)(n2.阶乘形式:Anm=n!(n-m)!.(n,m∈3.规定:0!=1.【批注】排列数公式的注意点(1)乘积是m个连续正整数的乘积;(2)第一个数最大,是A的下标n;(3)第m个数最小,是n-m+1.[诊断]1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)因为排列数的阶乘式是一个分式,所以其化简的结果不一定是整数. (×)提示:根据n!(n-m)!=n(n-1)…((2)在两个排列数公式中,n,m满足的条件都是n,m∈N*,且m≤n. (√)提示:由排列数公式可知.(3)10!=10×9!. (√)提示:10!=10×9×…×1=10×9!2.(教材改编题)从5面不同颜色的小旗中取出三面,按从上到下的顺序排在一起表示信号,不同的顺序表示不同的信号,则一共可表示______种不同的信号.(用排列数符号表示)

【解析】一共可表示A53答案:A3.(教材改编题)2023×2022×2021×…×2001= ()A.A202321 B.A202322 C.【解析】选C.因为2023-2001+1=23,所以2023×2022×2021×…×2001=A20234.(教材改编题)方程An-12-n【解析】由An-12-n=7,得(n-1)(n-2)-n=7,整理,得n解得n=5或n=-1(舍去).答案:{5}学习任务一排列数的计算问题(数学运算)【典例1】(1)(2023·宿迁高二检测)(n-1998)(n-1999)…(n-2021)(n-2022)(n∈N,n>2022)可表示为 ()A.An-199824 C.An-202224 【解析】选B.因为(n-1998)-(n-2022)+1=25,所以(n-1998)(n-1999)…(n-2021)(n-2022)(n∈N,n>2022)可表示为An(2)A95+AA.415 B.715 C.310【解析】选D.方法一:A95+A94A方法二:A95+A94A方法三:A95+A94A106【思维提升】排列数的计算方法(1)常用公式:排列数的乘积公式;(2)乘积公式的逆用:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数;(3)应用排列数公式的阶乘形式,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.【即学即练】计算:A84A【解析】方法一:A84A12412方法二:A84A12答案:5学习任务二与排列数有关的求解与证明问题(数学运算、逻辑推理)角度1解方程或不等式问题【典例2】(1)若3Ax3=2Ax+12+6Ax2,求x.((2)解不等式A9x>6A9x-2,其中x【解析】(1)由3Ax3=2Ax+12+6Ax2,得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1).因为x≥3且x∈N*,所以3x2-17x+10=0.解得x=5或x=23(2)由原不等式得9!(9即(11-x)·(10-x)>6,整理得x2-21x+104>0,解得x<8或x>13.又因为3≤x≤9,x∈N*,所以x=3,4,5,6,7.故原不等式的解集为{3,4,5,6,7}.【思维提升】解有关排列数的方程或不等式的步骤提醒:检验的依据是Anm中m∈N*,n∈N*且m≤n角度2证明问题【典例3】求证:(2n)!2【证明】(2n)!2=n=1·3·5·…·(2n-1),故原等式成立.【思维提升】排列数的化简与证明技巧(1)基本原则:化简的过程中要对排列数进行变形,并要熟悉排列数之间的内在联系.(2)常见的变式:①n!=n(n-1)!;②Anm=n③n·n!=(n+1)!-n!;④n-1n!=【即学即练】1.不等式An2>7An【解析】因为An2>7An-42,所以n(化为3n又因为n≥5,解得5≤n<7.所以原不等式的解集为{5,6}.答案:{5,6}2.求证:An+1m-An【证明】因为An+1m-Anm=(n+1=n!(n-m)!·m(n+1-m)=m·n【加固训练】1.求证:Ann=An【证明】Anm·An-mn-m=n!(n2.求满足条件A56x+6A54【解析】由排列数公式知,A56x+6A54x=56×55(51-x),所以原方程即为56×55(51-x)=30800,解得x=41.学习任务三排列数公式的简单应用(数学运算、逻辑推理)【典例4】(1)(2023·全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为 ()A.120 B.60 C.40 D.30(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?【解析】(1)选B.不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连续参加两天社区服务,再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务,共有A42=12种选择,同理,b,c,d,e连续参加两天社区服务,也各有12种选择,所以恰有1人连续参加两天社区服务的选择种数为(2)分3类:第1类,用1面旗表示的信号有A31第2类,用2面旗表示的信号有A32第3类,用3面旗表示的信号有A33由分类加法计数原理,所求的信号种数是A31+A32+A3【思维提升】解简单排列应用题的思路(1)认真分析题意,看能否把问题归结为排列问题,即是否有顺序.(2)分析这n个不同的元素指的是什么,以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件.(3)利用排列数公式求解.【即学即练】北京大兴国际机场拥有世界上最大的单体航站楼,并拥有机器人自动泊车系统,解决了停车满、找车难的问题.现有4辆车可以停放在8个并排的泊车位上,要求停放的车辆相邻,箭头表示车头朝向,则不同的泊车方案有________种.(用数字作答)

【解析】从8个车位里选择4个相邻的