2024届新教材二轮复习 　超几何分布 学案

2024届新教材二轮复习超几何分布学案素养导引1.理解超几何分布的概念.(数学抽象)2.会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值以及方差.(数学运算)3.能利用超几何分布概率模型解决简单的实际问题.(数学建模)1.超几何分布的定义一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kC其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列满足上述形式,那么称随机变量X服从超几何分布.2.服从超几何分布的随机变量的均值设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=MN,则p是N件产品的次品率,而Xn是抽取的n件产品的次品率,则E(X[诊断]1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)超几何分布就是一种概率分布模型. (√)(2)一个袋子里装有4个白球,5个黑球和6个黄球,从中任取4个球,则取出的黑球个数X服从超几何分布. (√)2.(教材改编题)一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:①X表示取出的最大号码;②X表示取出的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分;④X表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是 ()A.①② B.③④C.①②④ D.①②③④【解析】选B.对于①,当X表示取出的最大号码,如X=6表示从黑球编号为1,2,3,4,5中取3个黑球,而X=8表示从6个黑球和编号为7的白球共7个球中取3个球,故该随机变量不服从超几何分布,同理②中的随机变量不服从超几何分布.对于③,X的可能取值为4,5,6,7,8,X=4表示取出4个白球;X=5表示取出3个白球1个黑球;X=6表示取出2个白球2个黑球;X=7表示取出1个白球3个黑球;X=8表示取出4个黑球;因此X服从超几何分布.由超几何分布的概念知④符合.3.在15个村庄中,有7个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布,其参数为 ()A.N=15,M=7,n=10B.N=15,M=10,n=7C.N=22,M=10,n=7D.N=22,M=7,n=10【解析】选A.根据超几何分布概率模型得N=15,M=7,n=10.4.一工厂生产的100个产品中有90个一等品,10个二等品,现从这批产品中抽取4个,则其中恰好有一个二等品的概率为 ()A.1-C904C1004C.C101C1004 【解析】选D.由超几何分布概率公式可知,所求概率为C905.袋中有3个红球,7个白球,这些球除颜色不同外其余完全相同,从中无放回地任取5个,取出几个红球就得几分,则平均得____________分.

【解析】用X表示所得分数,则X也表示取得的红球数,X服从超几何分布,于是E(X)=n·MN=5×310=1.答案:1.5学习任务一超几何分布定义的认识(数学抽象)【典例1】下列随机变量中,服从超几何分布的有____________.(填序号)

①在10件产品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X;②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数;③一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯数为随机变量X.【解析】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布.②中随机变量X服从超几何分布.而③中显然不能看作一个不放回抽样问题,故随机变量X不服从超几何分布.答案:①②【思维提升】超几何分布定义的认识超几何分布的定义实质上是描述了从有限N个物件(其中包含M个指定种类的物件)中抽出n个物件,成功抽出该指定种类的物件的个数(不放回).【即学即练】(多选题)下列随机变量中,服从超几何分布的有 ()A.抛掷三枚骰子,向上面的点数是6的骰子的个数XB.有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,试验中发芽的种子的个数XC.盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球,任取3个球,不是红球的个数XD.某班级有男生25人,女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动,其中女生的人数X【解析】选CD.A,B是重复试验问题,服从二项分布,不服从超几何分布,故A,B不符合题意;C,D符合超几何分布的特征,样本都分为两类,随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数,服从超几何分布.学习任务二超几何分布模型的概率(数学运算)【典例2】(1)(2023·南京高二检测)设袋子中有10个同样大小的球,其中有4个红球,6个白球,今从中任取5个球,令X=“任取的5个球中红球的个数”,则P(X=2)= ()A.821 B.C.1021 D.【解析】选C.P(X=2)=C42C(2)为发展业务,某调研组对A,B两个公司的扫码支付情况进行调查,准备从国内n(n∈N*)个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市,全是小城市的概率为415①求n的值;②若一次抽取4个城市,(ⅰ)假设抽取出的小城市的个数为X,求X的可能值及相应的概率;(ⅱ)若抽取的4个城市是同一类城市,求全为超大城市的概率.【解析】①从(n+8)个城市中一次抽取2个城市,有Cn+82种情况,其中全是小城市的有C82种情况,则全是小城市的概率为C82Cn+82②(ⅰ)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C80C74C154=139P(X=2)=C82C72C154=2865P(X=4)=C84C(ⅱ)若抽取的4个城市全是超大城市,共有C74=35若抽取的4个城市全是小城市,共有C84=70所以若抽取的4个城市是同一类城市,则全为超大城市的概率为3535+70=1【思维提升】超几何分布模型的概率(1)首先明确随机变量是否服从超几何分布,把握等可能、不放回两个特点;其次是明确公式中的参数,即N,M,n的值各是什么;最后代入公式计算概率.(2)含有“至少”的事件可以考虑求其对立事件的概率;含有“或”的事件应该考虑其中的两个事件是否互斥,若互斥则可利用互斥事件和的概率求值.【即学即练】1.(2023·天津高二检测)一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是25;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79,则白球的个数为【解析】设有白球x个,因为从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79所以C10-x2C102=(10-x)(9答案:52.已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球,乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(1)求取出的4个球均为红球的概率;(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率.【解析】(1)记“从甲盒内任取2个球中有i(i=0,1,2)个红球”为事件Ai(i=0,1,2),“从乙盒内任取2个球中有i(i=0,1,2)个红球”为事件Bi(i=0,1,2),则P(Ai)=C3iCP(Bi)=C5iC故取出的4个球均为红球的概率P=P(A2)P(B2)=C32C40C72×(2)取出的4个球中恰有1个红球的概率P=P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)=C31C41C72×C50C学习任务三离散型随机变量服从超几何分布的分布列与均值(数据分析、数学运算)【典例3】(1)(2023·太原高二检测)在含4件次品的6件产品中随机抽取3件产品,其中含有的次品数为X,则E(X)= ()A.23 B.1 C.43 D【解析】选D.由题知,X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)=C41·P(X=2)=C42·P(X=3)=C43C所以E(X)=1×15+2×35+3×1(2)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班,假设每名候选人都有相同的机会被选到.①求恰有1名甲班的候选人被选中的概率;②用X表示选中的候选人中来自甲班的人数,求P(X≥3);③求②中X的分布列及数学期望.【解析】①记事件A为恰有1名甲班的候选人被选中,则P(A)=C41C②P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C43C81③由题可知X的可能取值为0,1,2,3,4,X服从超几何分布,P(X=0)=C84C124=1499,P(P(X=2)=C42C82C124=56165P(X=4)=C44C124=1X01234P1422456321E(X)=0×1499+1×224495+2×56165+3×32495+4×【思维提升】离散型随机变量服从超几何分布的分布列(1)判断一个随机变量是否服从超几何分布的关键①超几何分布描述的是不放回抽样问题;②超几何分布中的概率计算实质是古典概型问题.(2)求超几何分布分布列的步骤①确定随机变量的取值;②利用公式计算相应的概率;③以表格形式列出随机变量的分布列.【即学即练】1.某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个,三种口味各自销量如表所示,把频率视作概率,从卖出的冰淇淋中随机抽取10个,记其中草莓味的个数为X,则E(X)= ()冰淇淋口味草莓味巧克力味原味销量(个)4060100A.5 B.3 C.2 D.1【解析】选C.由题意可得卖出草莓味冰淇淋的频率为4040+60+100=1由于把频率视作概率,故卖出草莓味冰淇淋的概率为15,已知X表示抽取的卖出的冰淇淋中草莓味的个数,则X服从超几何分布,且N=200,M=40,n=10,由超几何分布的定义知,p=MN,E(X)=np.所以E(X)=10×12.为了提高我市的教育教学水平,市教育局打算从本市某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动,这6名教师中,语文、数学、英语教师各2人.(1)求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率;(2)设X表示选出的3人中语文教师的人数,求X的均值和方差.【解析】(1)某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动,基本事件总数n=C6这6名教师中,语文教师2人,数学教师2人,英语教师2人,设事件A表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”,A1表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”,A2表示“恰好选出2名语文教师”,则A1,A2彼此