2024届重庆万州沙河中学高三第二次（2月）联考数学试题试卷

2024届重庆万州沙河中学高三第二次（2月）联考数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球的半径分别为，则（）A． B． C． D．2．已知集合，，则（）A． B．C． D．3．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（）A．5 B．3 C． D．24．设集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．6．已知为实数集，，，则（）A． B． C． D．7．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．8．在等差数列中，若为前项和，，则的值是（）A．156 B．124 C．136 D．1809．若命题p：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题q：在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB>90°的概率为π8A．p∧qB．(¬p)∧qC．p∧(¬q)D．¬q10．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（）A．2 B．3 C．-2 D．-311．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（）A．CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%D．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%12．设函数，则使得成立的的取值范围是（）．A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.14．已知i为虚数单位，复数，则＝_______．15．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为__________．16．函数的定义域为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设实数满足.（1）若，求的取值范围；（2）若，，求证：.18．（12分）已知中，内角所对边分别是其中.（1）若角为锐角，且，求的值；（2）设，求的取值范围.19．（12分）设函数，，其中，为正实数.（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；（2）设，证明：对任意，都有.20．（12分）设的内角、、的对边长分别为、、.设为的面积，满足.(1)求；(2)若，求的最大值.21．（12分）已知函数，其中．（1）讨论函数的零点个数；（2）求证：．22．（10分）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，丄底面.（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由题先画出立体图，再画出平面处的截面图，由抛物线第一定义可知，点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体，设，两球球心和公切点都在体对角线上，通过几何关系可转化出，进而求解【题目详解】根据抛物线的定义，点到点的距离与到直线的距离相等，其中点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离，因此球内切于正方体，不妨设，两个球心和两球的切点均在体对角线上，两个球在平面处的截面如图所示，则，所以.又因为，因此，得，所以.故选：D【题目点拨】本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养2、C【解题分析】

求出集合，计算出和，即可得出结论.【题目详解】，，，.故选：C.【题目点拨】本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.3、D【解题分析】

由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.【题目详解】解：由抛物线方程可知，，即，.设则，即，所以.所以线段的中点到轴的距离为.故选:D.【题目点拨】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.4、C【解题分析】

由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【题目详解】，且，，.因此，实数的取值范围是.故选：C.【题目点拨】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.5、B【解题分析】

根据题意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.【题目详解】易知，且故有，则故选：B【题目点拨】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题6、C【解题分析】

求出集合，，，由此能求出．【题目详解】为实数集，，，或，．故选：．【题目点拨】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7、D【解题分析】

由变形可得,可知函数在为增函数,由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【题目详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立..令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【题目点拨】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.8、A【解题分析】

因为，可得，根据等差数列前项和，即可求得答案.【题目详解】，，.故选：A.【题目点拨】本题主要考查了求等差数列前项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.9、B【解题分析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为P1=1C42=16，即命题p是错误，则¬p是正确的；在边长为4的正方形ABCD内任取一点M点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题解决问题的能力。10、B【解题分析】

根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解.【题目详解】因为，所以所以，又也在直线上，所以，解得所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、D【解题分析】

A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI一篮子商品中，还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.【题目详解】A.CPI一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误.故选：D【题目点拨】本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.12、B【解题分析】

由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.【题目详解】由题意知：定义域为，，为偶函数，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，由得：，解得：或，的取值范围为.故选：.【题目点拨】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得.【题目详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在中，，，，如下图所示，底面圆的半径为，则所形成的几何体的表面积为.故答案为：.【题目点拨】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.14、【解题分析】

先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.【题目详解】．故答案为：.【题目点拨】本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15、【解题分析】

由组合数结合古典概型求解即可【题目详解】从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共三种，所以，所求概率为.故答案为【题目点拨】本题考查古典概型与数学文化，考查组合问题，数据处理能力和应用意识.16、【解题分析】

根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域.【题目详解】解:要使函数有意义,则,即.则定义域为:.故答案为:【题目点拨】本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解题分析】

（1）依题意可得，考虑到，则有再分类讨论可得；（2）要证明，即证，即证.利用基本不等式即可得证；【题目详解】解：（1）由及，得，考虑到，则有，它可化为或即或前者无解，后者的解集为，综上，的取值范围是.（2）要证明，即证，由，得，即证.因为（当且仅当，时取等号）.所以成立，故成立.【题目点拨】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由正弦定理直接可求，然后运用两角和的正弦公式算出；（2）化简，由余弦定理得，利用基本不等式求出，确定角范围，进而求出的取值范围.【题目详解】（1）由正弦定理，得：，且为锐角（2）【题目点拨】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.19、（1）（2）证明见解析【解题分析】

(1)据题意可得在区间上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的的取值范围；(2)不等式整理为，由(1)可知当时，，利用导数判断函数的单调性从而证明在区间上成立，从而证明对任意，都有.【题目详解】（1）解：因为函数的图象恒在的图象的下方，所以在区间上恒成立.设，其中，所以，其中，.①当，即时，，所以函数在上单调递增，，故成立，满足题意.②当，即时，设，则图象的对称轴，，，所以在上存在唯一实根，设为，则，，，所以在上单调递减，此时，不合题意.综上可得，实数的取值范围是.（2）证明：由题意得，因为当时，，，所以.令，则，所以在上单调递增，，即，所以，从而.由（1）知当时，在上恒成立，整理得.令，则要证，只需证.因为，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立.综上可得，对任意，都有成立.【题目点拨】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.20、(1)；(2).【解题分析】

(1)根据条件形式选择，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出；(2)由(1)求出角，利用正弦定理和消元思想，可分别用角的三角函数值表示出，即可得到，再利用三角恒等变换，化简为，即可求出最大值．【题目详解】(1)∵，即，∴变形得：，整理得：，又，∴；(2)∵，∴，由正弦定理知，，∴，当且仅当时取最大值．故的最大值为.【题目点拨】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题21、（1）时，有一个零点；当且时，有两个零点；（2）见解析【解题分析】

（1）利用的导函数，求得的最大值的表