江苏省徐州市沛县四校联考2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

江苏省徐州市沛县四校联考2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．3．扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为（

）A．5 B．6 C．8 D．94．已知为R上的奇函数，当时，，则的值是（

）A．19 B．7 C． D．5．如图所示，函数的图像大致为（）．A． B． C． D．6．已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（

）A．4 B．1 C．2 D．57．小强在研究幂函数的图像和性质时得到如下结论，则其中正确的是（

）A．幂函数的图像必过定点和B．幂函数的图像不可能过第四象限C．幂函数为偶函数D．幂函数在其定义域上为减函数8．已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：．自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（

）A．10 B．11 C．12 D．13二、多选题9．下列各式中，最小值为4的是（

）A． B．C． D．10．下列说法中正确的是（

）A．任取，均有B．图象经过的幂函数是偶函数C．在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称D．方程有两根11．下列表达式正确的是（

）A．若，则B．在锐角中，恒成立C．D．，，12．已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数 B．C．的图象关于对称 D．三、填空题13．已知，则的最小值为.14．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是.15．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则关于x的不等式的解集为.16．已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为.四、计算题17．（1）设全集为，，，求；（2）．五、问答题18．已知函数（且）的图象经过点．(1)求的值；(2)求函数的值域．19．已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角的终边与单位圆的交点为；条件②：角满足；条件③：角满足．(1)求的值；(2)求的值．六、应用题20．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）(1)求出的值，并将表示为的函数；(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？七、证明题21．已知函数为奇函数.（1）求实数的值，并用定义证明是上的增函数；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.八、问答题22．已知，函数(1)若关于x的方程的解集中恰有一个元素，求a的值;(2)设，若对任意，函数在区间的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围.参考答案：1．B【分析】求出两个集合，再利用交集含义即可得到答案.【详解】，，则，故选：B.2．D【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解.【详解】命题“”的否定是“”.故选：D.3．D【分析】根据扇形面积公式计算即可.【详解】设半径为，则周长，则，扇形面积，故选D．4．C【分析】利用奇函数的性质即可得解.【详解】因为当时，，所以，又为定义在上的奇函数，所以.故选：C.5．A【分析】先由函数解析式得到函数的奇偶性，再结合时的图像，即可得出结果.【详解】的定义域为,，图像关于轴对称，可排除选项A,B；又因为当时，，所以选C.【点睛】本题主要考查函数的图像与性质，熟记函数图像与性质即可，属于常考题型.6．B【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.【详解】函数中，由可得，，即函数的图象恒过定点.若点在直线上，即有，于是得，当且仅当,即时取等号成立.所以时，的最小值为1.故选：B.7．B【分析】不过，A错误，根据定义域排除C，举反例得到D错误，B正确，得到答案.【详解】对选项A：不过，错误；对选项B：时，，幂函数的图像不可能过第四象限，正确；对选项C：幂函数的定义域为，是非奇非偶函数，错误；对选项D：时，；时，，不是定义域上减函数，错误；故选：B.8．D【分析】确定2023年初的种群数量为时的函数值，根据题意可列不等式，结合对数运算即可求得答案.【详解】由题意可知2023年初的种群数量为时的函数值，故令，即，则，由于，故n的最小值为13，故选：D9．CD【分析】对于A，当时，无最小值；对于B，由于的最大值为1，所以取不到最小值4；对于C，D，利用基本不等式可求解.【详解】对于A，当时，，所以无最小值，A不符合题意对于B，由已知，所以，当即时，取等号，而的最大值为1，所以等号取不到，所以的最小值不是4，即B不符合题意对于C，，当即时，取等号，所以最小值为4，C符合题意对于D，，当，即时，取等号，所以的最小值为4，所以符合题意．故选：CD．【点睛】此题考查基本不等式求最值的方法，注意基本不等式应用的条件，时，才有，并注意等号成立的条件，属于基础题.10．ACD【分析】对选项A，根据指数函数的图象可判断；对选项B，求出幂函数就可以判断；对于选项C，根据图象可以判断；对于选项D，运用数形结合即可知结果.【详解】对选项A，令，，当时，的图象恒在的上，则A正确；对选项B，设，则，解得，则，所以函数不是偶函数，故B错误；对选项C，函数与的图象关于y轴对称，往上平移1个单位就得到函数与的图象，所以还关于y轴对称，故C正确；对选项D，方程的根即为函数图象交点的横坐标，在同一坐标系中作出两函数的图象，则两函数图象共有两交点，则方程有两根，故D正确；故选：ACD．11．BCD【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断A、C；由且结合诱导公式判断B；作差法比较大小判断D.【详解】A：由题设，又，故，错；B：由题意且，则，所以，对；C：，对；D：由，又，，故，故，所以，对.故选：BCD12．ABC【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．【详解】为奇函数，为偶函数，所以的图象关于点对称且关于直线对称，故C正确；所以，，，，所以是周期函数，4是它的一个周期．，，故B正确；，是偶函数，A正确；对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，，，，，∴，故D错．故选：ABC．【点睛】关键点睛：本题的关键是得到函数的对称性、单调性和周期性，再利用这些性质逐项分析即可.13．【分析】由对数的运算性质得，然后利用基本不等式即可求得最小值.【详解】由题得，，且，所以，，当且仅当时等号成立，又，解得，故答案为：.14．【分析】根据幂函数的定义和性质求解.【详解】解：是幂函数，，解得或，若，则，在上不单调递减，不满足条件；若，则，在上单调递增，满足条件；即.故答案为：15．【分析】由题设可得偶函数在上递减，在上递增，且，应用奇偶性、单调性求解集即可.【详解】由题设，易知偶函数在上递减，在上递增，且，所以，故，可得或，所以或，故解集为.故答案为：16．【分析】由，平方后可求得，根据可求得线段中点的纵坐标.【详解】由题意知：，，；设中点的纵坐标为，当时，，，，，.故答案为：.17．（1）或（2）【分析】（1）根据补集和交集的知识求得正确答案；（2）根据对数的运算法则计算即可.【详解】（1）或，所以或.（2）18．(1)(2)【分析】（1）直接代入即可求出值；（2）求出，再根据指数函数值域即可得到答案.【详解】（1）因为的图象经过点，则，又且，所以．（2）当时，，则，因为，所以在上单调递增，则，即，所以的值域为．19．(1)(2)时，原式；时，原式；【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得；（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有的式子代入计算即可求得结果.【详解】（1）条件①：因为角的终边与单位圆的交点为，可得，，由三角函数的定义可得条件②：因为角满足，又因为，即可得所以，可得条件③：因为角满足，又因为，即，可得又，∴，即（2）易知由（1）可知：，当时，原式；当时，原式.20．(1)，(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.【详解】（1）由题知，时，，于是，，解得.所以，.根据题意，即所以（2）当且仅当，即时，等号成立.所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.21．（1），证明见解析；（2）.【分析】（1）由函数奇偶性的性质，求得，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可是上的增函数；（2）由函数为奇函数，且在上单调递增，把不等式转化为在上有解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，令，可得，解得，所以，此时满足，所以函数是奇函数，所以.任取，且，则，因为，即，所以是上的增函数.（2）因为为奇函数，且的解集非空，可得的解集非空，又因为在上单调递增，所以的解集非空，即在上有解，则满足，解得，所以实数的取值范围..22．(1)或；(2)【分析】（1）代入解析式表示出方程并化简，对二次项系数分类讨论与，即可确定只有一个元素时的值