概率论的基本概念

概率论与数理统计Probability

andStatistics

引言——概率统计的研究对象现象确定性现象(必然现象)随机现象：

随机现象是带有随机性(不确定性)、偶然性的现象.

在一定的条件下对它进行试验或观察时，结果是多个可能结果中的某一个；每一结果的出现带有随机性，事先无法确定会出现哪一个结果.如扔硬币、掷骰子、玩扑克等过程中出现的现象.问题：A.太阳从东方升起；B.明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；D.掷一颗骰子，观察其向上点数.下面的现象哪些是随机现象？随机现象大量性随机现象:在完全相同的条件下可重复出现的随机现象个别随机现象问题：随机现象有规律可言吗?有规律！

在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如：一定的命中率，一定的分布规律等等.又如:测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的.但多次测量结果的平均值随测量次数的增加逐渐稳定于一常数，而且各测量值大多落在此常数的附近，越远则越少，因而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右基本对称”.再如:"天有不测风云"和"天气可以预报"有矛盾吗?没有矛盾!“天有不测风云”体现了随机现象的偶然性.“天气可以预报”体现了随机现象的规律性.从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，就能发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律.这种必然性表现在:在一定条件下，对随机现象进行大量重复观察，可发现大量性随机现象中各种结果的出现有其规律性，我们称其为统计规律性.概率论与数理统计的研究内容

随机现象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观测时，观测结果具有偶然性(不可预知)”；必然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观测时，观测结果有一定的规律性，即统计规律性”。

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的数学分支。第一章概率论的基本概念

§1随机试验(randomexperiment)对随机现象进行的观察、试验或实验叫做随机试验,

可用E表示.§2样本空间、随机事件(randomevent)试验E的所有可能结果构成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω.样本空间中的元素,即试验E的每个基本结果,叫样本点(或基本事件),记作e或ω.注：样本空间是描述随机现象的数学模型；样本空间的构造应根据需要来定.但很多随机现象的可能结果的总数很大,将样本空间完全写出较困难，关键应明确以何为样本点.例：E——掷一均匀硬币，观察正反面出现的情况.则样本点{正面朝上}，{反面朝上}；样本空间若量化处理，则可：{正面朝上}记作{1}，{反面朝上}记作{0}，则样本空间可表为S={1，0}.例：E——在一批灯泡中任取一只灯泡,测试其寿命.可认为任一大于0的数都是一个可能结果，故样本空间为Ω

={t|t≥0}.即样本点为[0,+∞)上的任一值t,**随机事件：粗略地讲,在一定条件下，试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.一般以大写字母A,B,C等表示事件.例：E——掷一均匀骰子，观察几点朝上.则样本点{i点朝上}记作{i}，样本空间为Ω

={1,2,3,4,5,6}.都为随机事件,更多的随机事件是由多个样本点构成的,如:{出现偶数点}={2,4,6},{出现1及5点}={1,5},等等;从集合角度看:它们都是样本空间的子集,若该子集包含的某个样本点在试验中出现,则相应的随机事件就发生.这种事件是由单个样本点构成的,叫基本事件**;定义:试验E的样本空间Ω的子集叫做E的随机事件,试验中当且仅当这一子集中的某个样本点出现时,这一事件就发生.两个特殊事件必然事件Ω不可能事件例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;而“掷出点数8”则是不可能事件.例：

某两人约定某一天8点至9点在某地会面,观察两人到达时间.若以x、y分别表示甲、乙到达时间,

则样本空间为Ω={(x,y)|8≤x≤9,8≤y≤9}.

事件A={两人到达时间相差半小时}={(x,y)||x−y|=1/2,8≤x,y≤9}.**事件间的关系及事件的运算1°事A包含于事B事A发生必事B发生.具体含义数学符号2°A与B的并(和)事A与事B至少有一发生.A1,A2,…,An的并或A1,A2,…,An中至少有一发生.A1,A2,…的并或A1,A2,…中至少有一发生.3°A与B的交(积)或事A与事B同时发生.A1,A2,…,An的交或A1,A2,…,An同时发生.A1,A2,…的交或A1,A2,…同时发生.4°A与B的差事A发生但事B不发生.5°A的逆事件事A不发生.对此有6°如果则称A与B互不相容(或互斥).即A与B不同时发生,要熟知一些常见的关系与运算,比如:且与互不相容,且等等.事件运算的规律:设A,B,C为事件,则(1)交换律:(2)结合律:(3)分配律:(4)对偶律:

例:从一批产品中任取两件，观察合格品的情况.

记A={两件产品都是合格品}，则{两件产品不都是合格品}，通常叙述为：{两件产品中至少有一件是不合格品};若记Bi

={取出的第i件是合格品}，i=1,2,则

例：A,B,C为三事件,试表示以下事件:(1)“三事恰好有一发生”(2)“A、B至少有一发生,但C不发生”或或(3)“三事中不多于两事发生”或或(4)表示何事?表示“A、B、C中至少有两个发生”；也可表示成

§3频率(frequency)与概率(probability)概率是度量事件发生的可能性大小的一种数量指标.粗略地讲,表示事件A发生的可能性大小的数值,叫做事件A的概率**,记为P(A).

了解事件发生的可能性即概率的大小，有非常重要的意义:例如，了解发生意外事故的可能性大小,以便确定保险金额;又如，了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，可以合理配置服务人员;再如,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，可以合理确定堤坝高度.

事件发生的可能性大小是否客观存在?对此频率的稳定性给出了肯定回答;同时给出了在一般的随机试验中如何去估计事件概率的方法.

一.频率事件A在n次重复试验中发生的次数nA叫A发生的频数.

A在这n次试验中发生的频率：事件发生的频率有一重要特性——稳定性.为此考虑在相同条件下进行的多轮试验：第二轮试验试验次数n2事件A出现m2次第k轮试验试验次数nk事件A出现mk次事件A在各轮试验中的频率分别为:…………,试验次数n1事件A出现m1次第一轮试验试验表明：当试验次数较少时，同一事件在不同轮次的试验中的频率有明显差异;

当各轮试验次数充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率都稳定在某一常数P(A)附近，且此数不依赖于试验的次数及轮次.事件频率随试验次数无限增大而趋于稳定的性质叫频率稳定性.显然可用常数P(A)来度量事件A发生的可能性大小，此数为事件A发生的概率(统计概率).基于频率稳定性，在实际中:当概率不易求出时，人们常取试验次数很大时事件的频率作为概率的估计值.

例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.再如：A记图示正方形区域为Ω，红域为A.现向区域Ω内随机地投点n次，有m次落在A中.以A表示事件“随机点落在A中”，由几何方法算得：利用频率和概率的关系，当n充分大时，于是：

二.概率的公理化定义及性质定义:设Ω

为试验E的样本空间,若对E中每一事件A,有一实数P(A)与之对应,且满足:1º非负性：对任一事件A有2º规范性：3º可列可加性：对两两互不相容事件A1

,A2,…,有则称P(A)为事件A的概率.注：理解概率是一满足某些公理(基本性质)的集合函数;并着重掌握概率的性质.性质一：*性质二(有限可加性)：对两两互不相容事件A1

,A2,…,An,有性质三：若

,则性质四：对任一事件A

,

*性质五(逆的概率)：*性质六(加法公式)：例：设A发生的概率为1/5,A与B至少有一发生的概率为1/3,A发生但B不发生的概率为1/9;求(1)B发生的概率;(2)A与B同时发生的概率;(3)A与B都不发生的概率;(4)A与B至少有一不发生的概率.解：已知(1)(2)(3)(4)

§4.古典概型(等可能概型)一.古典概型与古典概率古典概型是一种计算概率的数学模型,是概率论最早的研究对象.古典概型随机试验

1º有限性：试验中基本事件的总数有限;2º等可能性：试验中每一基本事件发生的可能性相同.注：等可能性是种假设,应根据实际情况来判断,一般可由对称性或某种均衡性来判断.23479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.由于抽取时这些球是完全平等的,因而可认为10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.若将抽球过程看作试验,则抽到某一球就是试验的一个可能结果(或基本事件),故试验中每个基本事件出现的可能性相同.

再如:掷均匀硬币,掷均匀骰子及产品的抽样检测等.

研究古典型随机试验的概率模型叫古典概型.古典概型中的概率叫古典概率.在古典概型中,

事件A的概率

A包含的基本事件数基本事件的总数这样就把求概率问题转化为计数问题.排列组合是计算古典概率的重要工具.二.古典概率计算举例在古典概型中,事件A的概率:

A包含的基本事件数基本事件的总数计算古典概率的一般步骤:(1)确定以什么为基本事件:明确其内涵,注意保证等可能性.(2)算出基本事件的总数及A包含的基本事件数;在计算时应避免重复计数或遗漏;在选用计数方法时应保持一致.(3)算出P(A).

例:向桌面掷2枚均匀硬币,求落下后向上的面为一正一反的概率.解:注意到2硬币是可识别的,因而共有4个等可能的基本事件:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反);记A={两硬币落下后向上的面为一正一反},则A包含2个基本事件,

例:某人有一串式样相同的钥匙8把,只有一把能将门打开,现从中任取3把去试开,求能将门打开的概率.解:8把钥匙中任取3把的每一种取法为一基本事件,

若不计次序,则基本事件的总数为记

A={8

把钥匙中任取3把,能将门打开},则

A包含的基本事件数为若考虑次序,则=————或.

例（球在盒中的分布问题）：有n个编了号的球，每个球都以相同的概率1/N(N≥n)被放入

N个盒子的每一盒中,求以下事件的概率：A={指定的n个盒中各有一球}，B={每个盒中至多有一球}，C={某指定的盒中恰有m个球}解:n个球放入

N个盒中的每一种放法为一基本事件,基本事件的总数为

A包含的基本事件数为

B包含的基本事件数为

C包含的基本事件数为许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型,如以下问题都可归结为分球入盒问题:

1.有n个人，每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.2.有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n(n≤365)个人的生日互不相同的概率.3.某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.4.某城市的电话号码由8个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由八个不同数字组成的概率.例:甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,请针对以下各情况,求甲或乙拿到4张A

的概率.1)甲抽后不放回，乙再抽;2)甲抽后将牌放回，乙再抽.

解:设

A={甲拿到4张A

},

B={乙拿到4张A

},欲求概率(1)

A、B

互不相容:(2)

A、B

相容:例:设元件盒中装有50个电阻，20个电感，30个电容，从盒中任取30个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率.解:设

A={所取元件中至少有一电阻},

B={所取元件中至少有一电感},欲求概率P(AB),容易求出:

§5.条件概率、全概率公式及贝叶斯公式一.条件概率（1）在事件A发生的条件下事件B发生的概率为条件概率，记作P(B|A).一般P(B|A)≠P(B),（2）计算公式:（3）概率具有的性质也适用于条件概率,但要注意条件不能变、不能丢弃.

（4）乘法公式：或进一步：若则………利用乘法公式可计算多个事件同时发生的概率.例:掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?

解:设

A={掷出点数之和不小于10

},

B={第一颗掷出6点},欲求概率解法1(缩减样本空间法):B发生后的缩减样本空间所含基本事件的总数在缩减样本空间中A所含基本事件数解法2(公式法):例:n个人排成一列,已知甲总排在乙前,求乙紧跟甲后的概率?

解:设

A={甲在乙前

},

B={乙紧跟甲后},欲求概率解法1(缩减样本空间法):解法2(公式法):例:设某种透镜,第一次落下时打破的概率为1/2;若第一次落下未打破,则第二次落下时打破的概率为7/10;若前两次落下未打破,则第三次落下时打破的概率为9/10;求透镜落下三次而未打破的概率.解:设

B={透镜落下三次而未打破},

Ai

={透镜第i次落下时打破},i=1,2,3,已知

欲求概率P(B);而

二.全概率公式及贝叶斯公式全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率,是加法公式和乘法公式的综合运用.例(抓阄问题):一组n人抓n个阄(其中m个标“有”),求第二人抓到“有”的概率.解:设

A={第二人抓到“有”},

B={第一人抓到“有”},则

且

设S为试验的样本空间，事件B1,B2,…,Bn两两互不相容，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),全概率公式:将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.(B1,B2,…,Bn叫S的一划分或完备事件组),则对任一事件A，有全概率公式的来由:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分概率之和.说明:(2)由于因此A总是伴随着

B1,B2,…,Bn中的某个Bi的出现而出现,可以说:每一Bi都可能导致A发生;B1,B2,…,Bn

是导致A发生的所有原因，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和.由此可形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”.(3)应用时,先分析在哪些情况(事件)下A会发生,列出A与这些事件的关系,再作计算.例:有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解:设

A={取得红球},

Bi

={取到第i号箱},i=1,2,3,则

且

B1A,B2A,B3A

两两互不相容，

设事件B1,B2,…,Bn是样本空间S的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),贝叶斯公式:则对任一事件A(P(A)>0)，有(i=1,2,…,n).该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.

例:

某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?解:设

A={试验反映是阳性},

C={抽查的人患有癌症},则

且

已知

求P(C|A).现在来分析一下结果的意义:如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率P(C)=0.005;患者阳性反应的概率是0.95,若试验后得阳性反应,则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(C|A)=0.0872;

说明试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从0.005增加到0.0872,增加了17倍多.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？2.检出阳性是否一定患有癌症?

试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为

P(C｜A)=0.0872,

即使你检出阳性，也不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有8.72%(平均来说，1000个人中大约只有87人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.

例:

一袋装有5只白球7只黑球,不小心丢了一球,不知何种颜色;为猜测失球颜色:从袋中随取2只球,结果为白球,问此时失去的是白球的概率有多大?解:设

A={取出的2只都为白球},

B={失去的是白球},则

且

欲求P(B|A).

=

§6.事件的独立性对条件概率，一般P(B|A)≠P(B),表明事件A的发生会影响事件B发生的概率;但有时P(B|A)=P(B),此时意味着事件A的发生不会影响事件B发生的概率,也叫B对A是独立的.若B对A独立,则意味着A对B也是独立的.表明独立是相互的.

定义:对事件A与B,若P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立.注：事件的独立是概率意义下的独立,与互不相容有区别;独立性是事件的概率属性,

而互不相容是事件本身间的关系.例:

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K

},B={抽到的牌是黑色的},由于P(A)=4/52=1/13,问事件A、B是否独立？解：P