江苏省扬州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题试卷

PAGE2021学年度第一学期期末检测试题高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一､单项选择题8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求1.题“0，x2x10”的否定是（ ）A. 0，x2x1>C. 0，x2x10【答案】B【解析】

B. x0，x2x1<0D.>0，x2x1>0【分析】.【详解】命题0x2x10”x0x2x1”，故选：Bx2x2.双曲线 y21的顶点到其渐近线的距离等于（ ）42 554 55B.1 C. D.2 554 55【答案】A首先求顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，直接求解，A2,0y21221222

1xx2y02到渐近线的距离d

5.5故选：A3.面，为a,2,4，bx,,2，并且//则x（ ）A.10【答案】C【解析】

B.10 C. 12

D.12【分析】根据两个法向量共线可得x的值.【详解】因为//ab

1

2，故x1，故选：C.

1 2 4 2第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织则该女子第（ ）11A. 尺3

105尺29

尺

7尺3【答案】B女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.n，由题设可知na

1，故公差d154，1 30

301 故a a+11)

45

105，11 1

29 29 29故选：B.

1 2的解集为（ ）x1A.

32

B.

32C.3,+ D.(,1]3,+2 2 【答案】A.根据分式不等式的解法转化为.

2xx1

0.1 1 2x3【详解】 2 20，即 0，x1 x1 x1(2x3)(x1)即x10

，解得：1x3，2所以不等式的解集为,3.2 故选：A已知正方体的棱长为则点A到平面的距离为（ ）2A 2 3 B.23【答案】B【解析】

C.2 D.2 2【分析】由垂直关系可知AD1平面A1B1CD，根据边长关系直接求点到平面的距离.M

A1B1=A1，2.点A到平面ABCD的距离为=1=2.11 2 1故选：B在数列

中，如果对任意nN*

pn1pn

pnpn1

=kk，则称数列

为比等差数列，k称为比公差.则下列说法正确的是（ ）等比数列一定是比等差数列，且比公差k1等差数列一定不是比等差数列若数列n是等差数列，n是等比数列，则数列nn若数列n满足121，n1n+n1n2【答案】D【解析】【分析】根据数列新定义，由比等差数列的性质nN*

pn+1 pn

k，判断各项描述是否正确即可.【详解】A：若{a

为等比数列,公比q0

q

pn pn1an qan+1

an 0k1，A.ann an1an

an

n1B：若bn

nbnn

nn1

0，为比等差数列，B错误.C：令a

1，则a

0an+1bn+1

anbn 无意义，C.n n n

anbn D：：a a 3，故

1

a4a31，不是比等差数列，正确.a3 4a2 1

a2 2故选：D1 2 2 b2知且2a+b0，则a + 的最大值为（ ）a b 4【答案】C【解析】

B.8 C.7 D.6【分析】

1 2

b2 b先利用条件化简 a2+

1a2+ ，巧用“1”的代换证明a+ 4，再证明a b 4

4 22a+b2

b2b2

2，即得到1a2+ 的取值范围，根据等号条件成立得到最.a2+ 44 21 2 1 2 b2【详解】依题意，a>b>0，2a+b=0可知+ =1，则a2+ =1a2+ ，a b a b 4

41a b b1 2 b 2a b 2a b1+2=a

2a+b=

2a+b

2+

=4，当且仅当 2a

b时，即a=

时等号成立.2 b2 b ba2+ 2a =ab，当且仅当a= 时，等号成立，4 2 2b2 b2

b2则左右同时加上a2+ 得，则2a2+ a2+ +ab=a+ ，4 b2

4

2即

a+2

，当且仅当a=

b时等号成立，a2+ 4

2b2故 b2 a+2 42

，当且仅当a=

b时，即a=2,b=4时等号成立，a2+ =8 24 2 21 2 b2 b2 b故a2+

=1a2+ 7当且仅当a= 时，即a=b=4时等号成立.a b 4

4 21 2 2 即aa +b

的最大值为7.4故选：C.【点睛】关键点点睛：

b2a b 2 a+ 本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明

+ 4和 b2 a2+

2 ，进而突破难点，4 2取最值时要保证取等号条件成立.二､多项选择题4520分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求5分.03分)（多选题）已知a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是（ ）A. 1<1a b

ac2>bc2

b aa>b

D.a2>>b2【答案】AD根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项.1 1 1【详解】Ay

在上单调递减，所以当ab0时，，故A正确；x a b当

0ac2bc2B不正确；当ab0a2b2ab，故C不正确；b a当ab0时，两边同时乘以aa2，或两边同时乘以babb2a2b2D正确.故选：ADaauvbc则abc共面已知uv若e2 2,2 若向量a//e2 2,2 A1,0,0B0,1,0AB共线的单位向最为

,0在三棱锥O两两垂直，则底面是锐角三角形【答案】ABCD根据空间向量的共面定理可判断A；由构成空间向量的基底不能共面可判断B；根据单位向量的计算公式AB可判断C；利用空间向量的数量积可判断D.ABabc共面cmaabc共面cmanb，即c3nu2nv，则可得m13n1，存在一对实数mn，使得cmanbA正确；5 5对于Ba//bab与任何向量都共面，ABAB222C0，所以

, ,0，故C正确；2 对于D， 两两垂直，BC=BACA=

>0，所以AB与AC的夹角为锐角，即BAC为锐角，1同理为锐角，D1

已知数列

n

n项和为

Sn

=1

= an1n=2a 2a n=2k+1

N*则下列选项正确的（ ）A.a6=142k列+N*)是以2k2对于任意的kN*，a =2k+12Snn15【答案】ABD【解析】【分析】2k根据题设的递推关系可得a2ka2ka2k2a2k1，从而可得a2k22a2k=2，由此可得2k

}的通项和项和2k1

}的通项，从而可逐项判断正误.=【详解】由题设可得a2ka2ka2k2a2k1，=1因为a1

=1，

a1，故

a+1=2，11所以a2k+2a2ka2k2a2k1，所以a2k22a2k2，11所以a所以2k+2

+2=

2)a2240，故a2k20，2ka+a2k+22=22ka+

+

等比数列，2k2k2k 所以a +2=42k即a =2k2，故a =162=14故2k 2k2k又a =2k+121=2k+13，故a +32k2k=2 a2k+=2 所以 ，

+3}(kN*)是以2为公比的等比数列，故B正确.a2k+3

2k1+4=+4=1+1+)++7+7+)=2

+

+

+

+

+

+

)+7=23+233

+7=，=+=981+509=>，Snn15D【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D是否成立时注意先考虑S14的值.xOyP(xy)为曲线Cx24y2

=2+2x+4y上一点，则（ ） A.线C关于原点对称 B.x1 3,1+ 3 C.C

D.P到点0,1的最近距离为 32 232【答案】ACD【解析】【分析】

(x2 12x0，y0C

y 1(xy)，(xy)都在曲线C上，4 2可得曲线C图象关于x轴，y轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案.x2 12x0y0时，曲线Cx24y2

22x4y

+y =1，2x 2 12

4 22将 +24

=1中心平移到

位于第一象限的部分；因为点(xy)(xy)y)都在曲线C上，所以曲线Cxy轴和原点对称，作出象如图所示：对于选项A：由图知曲线C关于原点对称，故选项A正确；x2x对于选项B：令 4

1y0x2，向右平移一个单位可得横坐标为3，根据对称性可知3≤x≤3，故选项B不正确；x2 1 3对于选项C：令4

1中x0可得y1，向上平移 个可得纵坐标最大值为，2 2曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39418，故选项C正确；2

3 9，所以曲线C围成的区域面积小于2 2(x2

1 1对于选项D：令33433

y21x0y2

，所以到点2的最近距离为2， 故选项D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是去绝对值得出曲线C在第一象限的图象，根据对称性可得曲线C的图象，数形结合、由图象研究曲线C的性质.三､填空题(本大题共4小题.每小题5分，共20分)若存在实数x，式x2a0成立，则实数a为 .【答案】结合一元二次不等式对应的二次函数图象性质直接判断0，计算即得结果.【详解】二次函数f(x)x2axa是开口向上的抛物线，故要使f(xx2axa0有解，则需a24a0，即4)a0，解得a0a4.a的取值范围为

(4,).

(4,).14.列n，a2=4，8=16，则a5= 【答案】8利用等比数列的性质：若mn=pq，则amanapaq.n【详解】由数列a24=16，na2aa41664，所以

=8.5 2 8 5设椭圆C:

x2y2

=1(a>b>0)

左焦点为F､右准线为l，若l上存在点P，使得线段PF的中点恰a2 b2的好在椭圆C上，则椭圆C的离心率的最小值.的【答案】2【答案】21【解析】【解析】【分析】【分析】利用根据椭圆的准线方程，设点利用根据椭圆的准线方程，设点P( ,2y)，得中点坐标，代入椭圆方程，整理得y又y 0c式即可得离心率的最小值.a baa ba2 a2c2设点P( ,2y)，故中点为( ,y)c 2cc(a(a2c2)2 y2又中点在椭圆上，故代入椭圆方程得 =1整理得y整理得y2=b21]0，故1 04a2c2 4a2c2(ac2(ac24a2c2(a

c，整理得(e283222b2222b2c2

e232 ，22x aa2 2 222x aa2 2 22 2【详解】由C: 2 2=1(a>b>0)，得F(c,0)，x=

3

=( ，e

1，故答案为：21.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：c①求出a，c，代入公式e= ；a②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)aa2e的方程不等式(不等式e(e的取值范围)．数f(x)=a4)x2+4a+2)x+a+2aR)数f(x) 若满足式)aa2e的方程不等式(不等式e(e的取值范围)．【答案】

1,0

(2).

10,8 7 52 2 将函数f(x)的解析式变形为f(x)=2a)x+a+22x+)，即可求得函数f(x)的图象所过定点f(f(x)=

4a4)x+4a+2)x+a+2=2a)x+a+22x+，1当a1=0时，令f(x)=0，得x= ；2()a+()当a10时，令f x=0，得x=

或x= .12a) 21f(x)的图象必过点1,0. 2 分以下三种情况讨论：①当a10时，即当a1f(x)3(2x+1)0x1，不合乎题意；2②当a10时，即a1

a+2 1

3 0

a+2 1，2 2(1a)2

2(1

2a) 2f(x)0

a+

x1，2a) 2f(x)0所有的整数解的和为6f(x)0的所有整数解有、、1，2所以，4 a2 3，解得10a82a 7 5③当a10时，即a1

a2 1

3 0

a2 1.2 2(1a)2

2a

2a) 2解不等式f(x)0，可得x1或x a2 ，2 2a)f(x)0.a108.1,0108

7 52 7 52 【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系；确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．四､解答题(本大题共6小题.计70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)2 2 x2 y2题数m满足不等式m2a 0(a0)；题数m满足方程 1表m1 m5示双曲线.qmРqa的取值范围.）1m5（2）1≤a≤52（1）由题意可得5)0.p是q|am是|1ma的取值范围即可.x2 y2【详解若实数m满足方程 1表示双曲线，m1 m5则5)0解得1m5，（2）m满足不等式m2

00)，解得am2a，p是q的充分不必要条件，则|am是|1m的真子集，a1所以2a5，解得1≤a≤5，a0 2p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围是1a5.2【点睛】易错点睛：p是q的充分不必要条件则|am是|2m的真子集，一般情况下需要考虑|am2aa0|am.如图，在三棱锥M中，M为BC的中点，3，BC2 6.PA的大小；所成角的余弦值.3）（2）33 6PM，则可证得PA的平面角，根据勾股定理和余弦定理求解；PCN，则所成的角，根据余弦定理求解即可.M，MBC===3，,，所以PMA就是二面角PBCA的平面角.在直角PC=MC

6，则PM= 3,同理可得AM= 3，在中，由余弦定理得PMA

3+392 3

=1，2所以3

2，即二面角PBCA的大小为333PCN所成的角，333因为等边PC中点为NAN3

PC= 2 2

1PB=

3,AM=32 2333+9273所以在中= 4 4 = ，2 33 62因为异面直线所成角的范围为(0, ]，323所以直线与所成的角的余弦值为 .6线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0, ]，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面2直线所成的角.n 设等差数列nSn，数列n

51，3b2，S4a b51，33 a b83 求数列n和n若 列n的前n和n.①c

1

②c a

③c

an22在 n aan n1

n，

nn，

n aa bn n1

这三个条件中任一个补充在第（

）问中；并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）

n1，

2n（..根据所选数列分别选分组求和、错位相减法、裂项相消法可求.42+43d=2+4d+2q2【详解设等差数列的公差为d，公比为q，则 2 ，q=2 q=

2+2d+2q=8解得d=1

或 ，d=6故an

=2+1)1=n+1，

=2

=2n.n（2）n

1=+1)(n+2)

+2n

1 1 +2n，n+1 n+2故T=

1 1 1 1 +

1 1 212n 1 1( + + = +2n+12，( n 2 3 3

n+1 n+2 12 2 n+2若选②，则cn

=(n+1)2n，故Tn

=22+322+423+ ++1)2n，所以2Tn

=222+323+424

++1)2n+1，所以

42223+ 1)2n+1n2n+1即

=n2n+1.nn+3 1 1n若选③，则cn=

+1)(n+2)2n+1=+1)2n+

n+1，+1 1 1 1 1 1 1 1+故Tn=

2322+322423+ +1)2n +2)2n+1=4 +2)2n+1.ABC==2，MBCPA1B上.P所成角的大小；N是

面PMN与平面CMN所成锐二面角的余弦值为5 37，求线段BP的长度.37【解析】

4 2（） .4 3【分析】MPH//AAPH=1AAPMABBA所1 2 1 11成角为=MPH，即可求其大小.NP，MNCP(a,0,2NP，MNNCMCPMNCMNaBP的长度.【详解】（1）过M作MHAB于H，连接PH，又ABAC，∴MH//AC，M是棱BC的中点，所以H是AB的中点，而P是线段A1B的中点，∴PH//AA且PH=1AA，1 2 1ACPMABB

，设tan

= 2 =1， ， 11

22∴=，4（2）构建以A为原点，AB,AC,AA1分别为x、y、z轴正方向，则M(1,1,0),N(0,2,1),C(0,2,0)，由等腰Rt P(a,0,2a，∴NP=(a,2,1a)，MN=，NC=(0,0,，MC=(1,1,0)，m=(3ax2y+(1a)zm=(3若m=(x,y,z)面PMN的一个法向量，则x+y+z=0 ，令y=1，

2a)，=( )z1=( )若n 面CMN的一个法向量，则{ ，令1，有n=，x1+y=0mn∴由题意，知：

4

=5

，整理得68a0，|m||n| 22a210a+14 a

2 2 2 4= 或a 而P在线段上，有a 则P( ,0, )，= ∴BP

74 23

3 3 3 3【点睛】关键点点睛：所成角的平面角，进而求角.P(a,0,2aa，进而求线段长.

2(p0)FyM到焦点F的距离为5.求抛物线的方程；MPQMPMQ.若范围.

4 73PQ，求实数的取值3 ）x24y（2）1,13 【解析】【分析】根据抛物线定义：抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，得4

p5化简即可；2:y1P(x1Q(x2y2，由4 73MPMQ及韦达定理将k用表示出来，此时用表示，结合PQ解不等式.3 因为抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F的距离为5，又抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，所以4p5p2x24y.2（2）PQ:y1，由y1x24kx4016k2160k21，x2

4

x14kP(x1Q(x2,y2，则1k1k216k2164k244k24

，①41k1k2

x2

2MPMQ，所以(x1(x2y2x2代入①化简得4k22令t4k2 ，t4t4t2t4t4t2164 7

2 因为PQ3 ，所以09 ， 即0t2626t264t6，9 9 3所以4

+

22+1>

11(1,3 即1(1,3 3

3 3210+3

3

3所以实数1,13 【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.x x 线l:y=+m与椭圆C: 2+2=1(a>b>0)交于两个不同的点，点M为AB中点，a b2点O为坐标原点.且椭圆C的离心率为22

，长轴长为4.C的斜率分别为

，

，k

222

为