2023一轮复习理科数学习题：直接证明与间接证明Word版含解析建筑文档

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第4节直接证明与间接证明

基础巩固(时间:30分钟)

1.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小挨次是(A)

(A)abc(B)bca

(C)cab(D)acb

解析:由于a=-=,

b=-=,

c=-=,且+++0,所以abc.故选A.

2.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60”时,应假设(B)

(A)三个内角都不大于60

(B)三个内角都大于60

(C)三个内角至多有一个大于60

(D)三个内角至多有两个大于60

3.已知ab0,证明-可选择的方法,以下最合理的是(B)

(A)综合法(B)分析法(C)类比法(D)归纳法

解析:首先,排解C,D.然后,比较综合法、分析法.

我们选择分析法,欲证-,只需证+,即证ab+(a-b)+2,只需证02.选B.

4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且a+b+c=0,求

证a”索的因应是(C)

(A)a-b0(B)a-c0

(C)(a-b)(a-c)0(D)(a-b)(a-c)0

解析:由题意知a?b2-ac3a2

?(a+c)2-ac3a2

?a2+2ac+c2-ac-3a20

?-2a2+ac+c20

?2a2-ac-c20

?(a-c)(2a+c)0?(a-c)(a-b)0.

5.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|1,求证方程x2+ax+b=0的两根的肯定值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的肯定值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下正确的是(D)

(A)①与②的假设都错误

(B)①与②的假设都正确

(C)①的假设正确;②的假设错误

(D)①的假设错误;②的假设正确

解析:反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q2,所以

①不正确;对于②,其假设正确.

6.(2023山东青岛模拟)设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+(D)

(A)都大于2(B)都小于2

(C)至少有一个不大于2(D)至少有一个不小于2

解析:由于a0,b0,c0,

所以(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)≥6,当且仅当a=b=c=1时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.选D.

7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是.

答案:a,b都不能被5整除

8.+与2+的大小关系为.

解析:要比较+与2+的大小,

只需比较(+)2与(2+)2的大小,

只需比较6+7+2与8+5+4的大小,

只需比较与2的大小,

只需比较42与40的大小,

由于4240,所以+2+.

答案:+2+

力量提升(时间:15分钟)

9.设a,b是两个实数,给出下列条件:

①a+b1;②a+b=2;③a+b2;④a2+b22;⑤ab1.

其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是(C)

(A)②③(B)①②③

(C)③(D)③④⑤

解析:若a=,b=,则a+b1,

但a1,b1,故①推不出;

若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;

若a=-2,b=-3,则a2+b22,故④推不出;

若a=-2,b=-3,则ab1,故⑤推不出;

对于③,即a+b2,

则a,b中至少有一个大于1,

反证法:假设a≤1且b≤1,

则a+b≤2与a+b2冲突,

因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.选C.

10.已知函数f(x)=x,a,b是正实数,A=f,B=f,C=f,则A,B,C的大小关系为(A)

(A)A≤B≤C(B)A≤C≤B

(C)B≤C≤A(D)C≤B≤A

解析:由于≥≥,

又f(x)=x在R上是减函数,

所以f≤f≤f.

所以A≤B≤C.

11.假如a+ba+b,则a,b应满意的条件是.

解析:由于a+b-(a+b)

=(a-b)+(b-a)

=(-)(a-b)

=(-)2(+).

所以当a≥0,b≥0且a≠b时,

(-)2(+)0.

所以a+ba+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b.

答案:a≥0,b≥0且a≠b

12.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.

求证:+=.

证明:要证+=,

即证+=3也就是+=1,

只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),

需证c2+a2=ac+b2,

又△ABC三个内角A,B,C成等差数列,

故B=60,

由余弦定理,得

b2=c2+a2-2accos60,

即b2=c2+a2-ac,

故c2+a2=ac+b2成立.

于是原等式成立.

13.设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.

(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;

(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?

(1)证明:假设数列{Sn}是等比数列,则=S1S3,

即(1+q)2=a1a1(1+q+q2),

由于a1≠0,

所以(1+q)2=1+q+q2,

即q=0,这与公比q≠0冲突,

所以数列{Sn}不是等比数列.

(2)解:当q=1时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;