专题09确定圆的条件（2个知识点8种题型1种中考考法）（解析版）

专题09确定圆的条件（2个知识点8种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：确定圆的条件知识点2：三角形的外接圆与外心【方法二】实例探索法题型1：确定圆的条件题型2：根据点判断圆的个数题型3：判断三角形外接圆的圆心题型4：根据三角形外接圆的性质求角度题型5：根据三角形外接圆的性质求线段长或半径题型6：尺规作图题型7：有关三角形外接圆的动点问题题型8：有关三角形外接圆的最值问题【方法三】仿真实战法考法：三角形的外接圆与外心【方法四】成果评定法【学习目标】1.了解三角形的外接圆与外心相关概念，2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．知识点2：三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．【方法二】实例探索法题型1：确定圆的条件1．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆心角相等 B．在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等 C．过三点可以画一个圆 D．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧【解答】解：A、等弧所对的圆心角相等，说法正确，本选项符合题意；B、在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，本选项不符合题意；C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法不正确，本选项不符合题意；D、平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法不正确，本选项不符合题意．故选：A．2．（2022秋•江宁区校级月考）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；③直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，正确，符合题意，正确的有2个，故选：B．3．（2021秋•东光县期中）经过两点可以做个圆，不在同一直线的个点可以确定一个圆．【解答】解：经过两点可以做无数个个圆，不在同一直线的三个点可以确定一个圆．故答案为：无数个，三．4．（2021秋•建邺区期中）当A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴，解得：k＝﹣，b＝，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴n＝﹣×5+＝﹣8，∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8，故答案为：n≠﹣8．5．平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．6．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为．【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上∴经过点A，B，C可以确定一个圆∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上∴设圆心坐标为M（2，m）则点M在线段BC的垂直平分线上∴MB＝MC由勾股定理得：(2∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1∴m＝0∴圆心坐标为M（2，0）故答案为：（2，0）．7．（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．题型2：根据点判断圆的个数8．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．无数【解答】解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆．故选：A．9．（2021秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(

)A．0 B．1 C．2 D．0或1【答案】D解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；10．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知AB=7cm，则过点A，B，且半径为3cm的圆有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】A【详解】∵直径R=6cm，R<AB，∴这样的圆不存在．11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(

)．A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆【答案】C【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆．12．（2021秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作个．【答案】3【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆，故答案为3．13．（2021秋·江苏·九年级专题练习）平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为．【答案】1个或3个或4个【详解】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．题型3：判断三角形外接圆的圆心14．（2023•无锡二模）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（）A．三条高的交点 B．内心 C．外心 D．重心【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．即凳子应放在△ABC的外心上．故选：C．15．（2022秋•梁溪区校级期中）三角形的外心具有的性质是（）A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等【解答】解：根据三角形外心的定义，可知三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，故选：D．16．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（）A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：B．题型4：根据三角形外接圆的性质求角度17．（2022秋•鼓楼区期中）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，∴∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∵已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，∴∠BAE＝∠DAF＝×（90°﹣60°）＝15°，∵∠BAE是所对的圆周角，∴所对的圆心角等于2×15°＝30°，∴的度数为30°，故选：D．18．（2023•姑苏区校级二模）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，延长EF交AE于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧EG上一点，则∠EOG＝°．【解答】解：连接BG，∵将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，∴BC＝BF，∠CBE＝∠FBE，∠BCE＝∠BFE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，∴AB＝BF，∵BG＝BG，∴Rt△ABG≌Rt△FBG（HL），∴∠ABG＝∠FBG，∴∠ABG＝∠FBG，∴∠GBE＝∠ABC＝45°，∵四边形GBEO为圆内接四边形，∴∠EBG+∠EOG＝180°，∴∠EOG＝180°﹣∠EBG＝135°，故答案为：135．题型5：根据三角形外接圆的性质求线段长或半径19．（2022秋•太仓市校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD为⊙O的直径，则AD的值为（）A．6 B． C．3 D．【解答】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，∴，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴BD＝2AB＝6，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：．故选：D．20．（2023•秦淮区模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C，D之间的距离为．【解答】解：连接OC，OB，OD，CD，∵∠BOC＝2∠A＝60°，OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴，∵△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，∴∠COD＝90°，根据勾股定理．故答案为：2．21．如图，△ABC内接于⊙O；∠A＝30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D．若⊙O的半径为6，求OD的长．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠BOC＝2∠A，∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝6，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在Rt△ODB中，OD=OB2-BD22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于点D，圆心O在AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半径．【解答】解：如图，连接OB．∵AD是△ABC的高．∴BD=12BC＝在Rt△ABD中，AD=AB设圆的半径是R．则OD＝8﹣R．在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2＝36+（8﹣R）2，解得：R=25∴⊙O的半径为25423．（2022秋•海州区校级月考）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题．（1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圆的半径．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，整理得：t2＝36，解得，t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，则原方程变形为（t﹣1）（t﹣4）＝5t（t﹣4），整理得，4t2﹣15t﹣4＝0，解得：t＝4或﹣，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝4，∴c＝＝2，∴Rt△ACB外接圆的半径为1．24．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆．（1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长．【解答】解：（1）点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，理由：连接EM，DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵M是BC的中点，∴EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，∴EM＝BM＝DM＝CM，∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上；（2）连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH，∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，∴AG⊥BC，∵BH是⊙O的直径，∴∠BAH＝∠BCH＝90°，∴BA⊥AH，BC⊥CH，∴AG∥CH，∵CE⊥AB，∴AH∥CE，∴四边形AFCH是平行四边形，∴CF＝AH＝6，在Rt△BAH中，AB＝8，∴BH＝＝＝10，∴△ABC外接圆的半径长为5．25．（2022秋•溧阳市期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ABC的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，整理得：t2＝36，解得，t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，则原方程变形为t（t﹣4）＝5，整理得t2﹣4t﹣5＝0，解得：t＝5或﹣1，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝5，∴c＝＝，∴Rt△ACB外接圆的半径为．26．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，，是的高，，相交于点是的中点，是的外接圆．(1)点是否在以点M为圆心得同一个圆上？请说明理由．(2)若，，求外接圆的半径长．【详解】（1）解：点在以点M为圆心的同一个圆上．理由：连接，∵是的高，相交于点F，∴，，∴．∵M是的中点，∴，，∴，∴点在以点M为圆心的同一个圆上；（2）解：连接并延长交于点G，连接并延长交于点H，连接，∵是的高，相交于点F，∴，．∵是的直径，∴，∴，．∵，∴．∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，在中，，∴，∴外接圆的半径长为5．27．（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．(1)已知实数x、y满足，求值；(2)已知的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足，外接圆的半径．【详解】（1）解：设，则原方程变形为，整理得：，解得，，∵，∴，∴；（2）解：设，则原方程变形为，整理得，解得：或，∵，∴，∴，∴外接圆的半径．题型6：尺规作图28．（2022秋•江阴市校级月考）（1）如图1，请只用无刻度直尺找出△ABC的外心点O；并直接写出其外接圆半径；（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心P．【解答】解：（1）如图（1）所示，点O即为所求；外接圆半径＝＝；故答案为：；（2）如图（2）所示：⊙P即为所求．29．（2022秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹，标上相应字母．(1)已知，作，使圆心P到、边的距离相等，且经过A、B两点．(2)如图，四边形是直角梯形，作，使与边都相切．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，即为所求；30．（2023·江苏宿迁·统考一模）已知，点D是的边上一点．(1)如图甲，，垂足为E，平分交边于点F，交边于点O，求证：；(2)如图乙，交边于点E，平分交边于点O，，垂足为点F，求；(3)如图丙，在线段上找一点O作，使经过点D且与相切．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出作法过程，不证明）【详解】（1）证明：如图甲，，，，，平分，，，；（2）证明：如图乙，，，，平分，，在与中，，；（3）如图，过点D作交边于点E，点E作平分交边于点O，点O作，垂足为点F，以点O为圆心，为半径作圆，与相切，由（2）可知，，经过点D，即为所求．31．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，、、．(1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置；(2)坐标原点与有何位置关系？并说明理由．【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求；（2）解：点在内部，理由如下：由（1）得点M的坐标为，∴，∵，∴点在内部；32．（2023·江苏宿迁·统考三模）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．

(1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点P是其中一个切点；(2)点P是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件：①圆心O在上；②经过点P；③与边相切；(3)【不可及点的作图】如图3，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线．【详解】（1）解：

①过点作，垂足为点；②作的平分线交于点；

③以点为圆心，长为半径作圆；则⊙为所求的图形．（2）法1：①过点作的垂线交于点，②在上截取，③作交于点（或作的平分线交于点）；④以点为圆心，长为半径作圆；则⊙为所求的图形．

法2：①过点作，垂足为点；②作的平分线交于点；③作的垂直平分线交于点；（或过点作交于点；或作交于点）；④以点为圆心，长为半径作圆；则⊙为所求的图形．

法3：①反向延长射线，过点作，垂足为点；②作的平分线；③过点作，交于点；④作的垂直平分线交于点；（或过点作交于点）；⑤以点为圆心，长为半径作圆；则⊙为所求的图形．

法4：①在上任取一点（除外），作，垂足为点；②以点为圆心，长为半径作⊙，交于点；③过点作，交于点；④过点作，交于点；⑤以点为圆心，长为半径作圆；则⊙为所求的图形．

法5：①在上任取一点（除外），作，垂足为点；②以点为圆心，长为半径作⊙交于点；③连接，并延长交于点；④过点作交于点；⑤以点为圆心，长为半径作圆；则⊙为所求的图形．

（3）法1：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接；②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点；③同样方法，得点；④作直线；则直线为所求的图形．

法2：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接；②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点；③作的平分线，作的平分线，两平分线交于点；④作直线；则直线为所求的图形．

法3：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接；②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点；③过点作，垂足为点；④过点作，垂足为点；

⑤作的平分线；则直线为所求的图形．

法4：①在上任取一点（除外），过点作；②作的平分线，交于点；③作线段的垂直平分线；则直线为所求的图形．

法5：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外）；②过点作，垂足为点；过点作，垂足为点；与交于点；③作的平分线交于点，射线反向延长线交于点；④作线段平分线；则直线为所求的图形．

法6:①在上任取一点（除外），过点作，垂足为点；②过点作，垂足为点；③作的平分线交于点；④作线段的垂直平分线；则直线为所求的图形．

法7:①在上任取两点、（除外），以点为圆心，长为半径作⊙；②过点作，交⊙于点；③连接并延长交于点；④作线段的垂直平分线；

则直线为所求的图形．题型7：有关三角形外接圆的动点问题33.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．（1）2秒时，△MCN的面积是；（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8，根据题意得，AN＝4，CM＝2，∴CN＝4，∴S△CMN＝×4×2＝4（cm2）；故答案为4cm2；（2）设经过x秒，根据题意得，（8﹣2x）•x＝3，解得x1＝1，x2＝3；即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2；（3）∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°，∴MN为△MCN外接圆的直径，假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，设M点运动的时间为t秒，则NC＝8﹣2t，CM＝t，根据题意得，（8﹣2t）2+t2＝（2）2，整理得5t2﹣32t+52＝0，∵△＝（﹣32）2﹣4×5×52＝﹣16＜0，∴原方程没有实数解，∴△MCN外接圆的半径不能是cm．题型8：有关三角形外接圆的最值问题34．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是．【解答】解：当MP⊥AB时，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．35．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为．【解答】解：∵＝，∴∠ACB＝∠CDP．∵∠ACB＝30°，∴∠CDP＝30°，∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°，∴点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝30°，∴∠BMC＝60°，∵BM＝CM，∴△BMC为等边三角形，∴∠MCB＝60°，MC＝BC＝6，∵∠ACB＝30°，∴∠ACM＝90°，∴AM＝＝＝2，∴当A、D、M三点共线时，AD最小，此时，AD＝AM﹣MD＝2﹣6．故答案为：2﹣6．【方法三】仿真实战法考法：三角形的外接圆与外心36．（2018•扬州）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝．【解答】解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如图所示，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，∴∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝2，∴AB＝2，故答案为：2．37．（2017•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为【解答】解：如图，∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．∴PA＝PB＝＝，∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，∴PC＝PA＝PB＝＝，则点C的坐标为（7，4）或（6，5）或（1，4）；故答案为：（7，4）或（6，5）或（1，4）．38．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确；∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠D＝∠MEC＝90°，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴DM＝AD＝x，∴CM＝＝x，∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，∴CM2＝CN•CP，∴CP＝＝x，∴PN＝CP﹣CN＝x，∴PM＝＝x，∴＝＝，∴PC＝MP，故③错误；∵PC＝x，∴PB＝2x﹣x＝x，∴＝，∴PB＝AB，故④正确，∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，∴CE＝EG，∵∠CEM＝∠G＝90°，∴FE∥PG，∴CF＝PF，∵∠PMC＝90°，∴CF＝PF＝MF，∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；故选：B．【方法四】成果评定法一．选择题1．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．无数【解答】解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆．故选：A．2．（2022秋•鼓楼区校级月考）下列说法正确的个数有（）①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，故不符合题意；②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，故符合题意；③等弧所对的圆心角相等，故符合题意；④过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，故不符合题意；⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴，故符合题意；⑥三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，故不符合题意．故选：C．3．（2022•沈河区校级模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（）A．2 B．22 C．32 D．42【解答】解：如图，连接OA，OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，∴2OA2＝36，∴OA＝32，即⊙O的半径是32，故选：C．4．（2022秋•工业园区校级月考）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D是弧ACB上的一个动点（不与点A、B重合）．连接BD．过点A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若⊙O的半径为2cm，则CE长的最小值为（）cm．A． B． C．2 D．【解答】解：连接CO并延长，交AB于F，连接OA，∵△ABC为等边三角形，∴CF⊥AB，BF＝FA，∠AOF＝60°，∴OF＝OA＝1，AF＝＝，∴CF＝OC+OF＝3，∵AE⊥BD，∴点E在以AB为直径的圆上，∴当点E在CF上时，CF最小，∴CE长的最小值为（3﹣）cm，故选：B．5．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【解答】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，则点P为△ABC外接圆的圆心，由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），故选：B．6．（2022秋•泰州月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OAC＝20°，则∠B＝（）A．40° B．60° C．70° D．80°【解答】解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝20°，∴∠AOC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠B＝AOC＝70°，故选：C．7．（2022秋•姑苏区校级期中）过三点A（2，2），B（6，2），C（2，4）的圆的圆心坐标为（）A．（4，5） B．（4，3） C．（5，4） D．（5，3）【解答】解：如图，∵A（2，2），B（6，2），C（2，4），∴△ABC是直角三角形，∴BC的中点O的坐标为（4，3），∴过三点A（2，2），B（6，2），C（2，4）的圆的圆心坐标为（4，3），故选：B．8．（2022•邯山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（）A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）【解答】解：∵M为Rt△ABC的外心，∴M点为AC的中点，设C（m，n），∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），∴﹣1=m+32，1解得m＝﹣5，n＝﹣2，∴点C的坐标为（﹣5，﹣2），∵∠ABC＝90°，AB⊥x轴，∴BC∥x轴，∴B点坐标为（3，﹣2）．故选：B．9．（2022•江岸区模拟）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8） B．（4，5） C．（4，318） D．（4，33【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，由题意得，42解得，y=31故选：C．10．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（）A．O是△AEB的外心 B．O是△BEC的外心 C．O是△AEC的外心 D．O是△ADB的外心【解答】解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，∴OA＝OE＝OC，即O是△BCE的外心，OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，OA＝OC＝OE，即O是△ACE的外心，OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故选：D．二．填空题11．（2022秋•洪泽区期中）如图，⊙O为△ABP的外接圆，AB＝2，∠APB＝30°，则⊙O半径长为．【解答】解：连接OA、OB，如图所示：则∠AOB＝2∠APB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴⊙O半径长为2，故答案为：2．12．（2022秋•鼓楼区校级月考）O为△ABC外接圆的圆心，∠BOC＝120°，则∠A＝．【解答】解：当△ABC为锐角三角形，即点A在优弧BC上时，∠A＝∠BOC＝×120°＝60°；当△ABC为钝角三角形，即点A在劣弧BC上时，则∠A′＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，综上所述：∠A的度数为60°或120°．故答案为：60°或120°．13．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为．【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上∴经过点A，B，C可以确定一个圆∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上∴设圆心坐标为M（2，m）则点M在线段BC的垂直平分线上∴MB＝MC由勾股定理得：(2∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1∴m＝0∴圆心坐标为M（2，0）故答案为：（2，0）．14．（2022秋•灌云县月考）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，B，C，D均在小正方形的顶点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过B，C，D三点的圆的半径为【解答】解：分别作CD，BC的垂直平分线交于A，BC的垂直平分线交BC于E，连接AC，则AC为过B，C，D三点的圆的半径在Rt△ACE中，AC＝＝＝，故答案为：．15．（2022秋•南京期末）平面内有一点P和线段AB，连接PA，PB，若AB＝2，∠APB＝30°，则点P到AB的最大距离为．【解答】解：作等边△AOB，以O为圆心OA为半径作圆，则点P在优弧AB上运动，当PO⊥AB时，此时点P到AB的距离最大，如图，∵AB＝2，PO⊥AB，∴AC＝1，∠AOC＝30°，∴OC＝，∴点P到AB的距离最大值为2+，故答案为：2+．16．（2022秋•邗江区期中）我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，则AP的长为．【解答】解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝4，当P点在AB上，PA＝PB，则AP＝AB＝；当P点在AC上，PA＝PC，则AP＝AC＝2，当P点在AC上，PB＝PC，如图2，设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，在Rt△ABP中，32+t2＝（4﹣t）2，解得t＝，即此时AP＝，综上所述，AP的长为或2或．故答案为：或2或．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是．【解答】解：如图，连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝．故答案为：．18．（2023•高邮市模拟）如图，已知D、E分别在等边△ABC的边AC、BC上，连结DE，∠ADE的平分线恰好经过△ABC的外心O，交AB于点F，连结EF．若△CDE的周长为18，则△ABC的周长为．【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥DE于点H，OM⊥BC于点M，连接OE，GM，OC，如图，∵DF是∠ADE的平分线，OG⊥AC，OH⊥DE，∴OG＝OH．在Rt△DGO和Rt△DHO中，，∴Rt△DGO≌Rt△DHO（HL），∴DG＝DH，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，∵OG⊥AC，OM⊥BC，∴OG＝OM，∴OH＝OM．在Rt△CGO和Rt△CMO中，，∴Rt△CGO≌Rt△CMO（HL），∴CG＝CM．∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴△CGM为等边三角形，∴CG＝CM＝MG．∵O为正△ABC的内心，∴CG＝AG＝AC，在Rt△EHO和Rt△EMO中，，∴Rt△EHO≌Rt△EMO（HL），∴EH＝EM，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝CD+DH+EH+CE＝CD+DG+EM+CE＝CG+CM＝2CG＝AC．∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3AC＝3△CDE的周长，∵△CDE的周长为18，∴△ABC的周长为18×3＝54，故答案为：54．三．解答题19．（2021春•射阳县校级期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC＝4，∠A＝30°，求⊙O的直径．【解答】解：连接OB，OC，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC＝4，∴⊙O的直径＝8．20．（2021秋•海州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；（2）这个圆的半径为；（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M（填内、外、上）．【解答】解：（1）如图，圆心M的坐标为（2，0）；（2）∵A（0，4），M（2，0），∴MA＝＝2，即⊙M的半径为2；（3）∵D（5，﹣2），M（2，0），∴DM＝＝，∵＜2，∴点D在⊙M内．故答案为（2，0）；2；内．21．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，∴AB=∴AB＝AC；（2）解：连接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC=12BC=12在Rt△ODB中，OD=OB∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC=12×8×822．（2022秋•大丰区校级月考）已知等腰三角形ABC，如图．（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆；（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．【解答】解：（1）（4分）（2）在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，∵∠BOC＝128°