上海市2023-2024学年高二上学期四校联考数学试卷(无答案)

高二数学（考试时间120分钟满分150分）考生注意：1．本试卷共4页，21道试题．2．本试卷分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．准线方程为的抛物线的标准方程为______．2．正方体的棱长为是棱的中点，则异面直线与的距离为______．3．若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为______．4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线夹角的正切值为______．5．若一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为，则这个圆锥的侧面积为______．6．已知椭圆左、右焦点分别为和，点为椭圆上一点，，若成等比数列，则该椭圆的离心率为______．7．如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则线段的长为______．8．设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（点与点不重合），则的面积的最大值为______．9．已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为______．10．某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）。若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为______．11．已知曲线．①曲线的图像不经过第二象限；②曲线恒在直线的下方；③对于曲线上任意两点，都有；④使得恒成立的实数的取值范围是．其中所有正确结论的序号是______．12．棱长为1的正方体，点沿正方形按的方向做匀速运动，点沿正方形按的方向以同样的速度做匀速运动，且点分别从点与点同时出发，则的中点的轨迹所围成图形的面积大小是______．二、单选题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）13．若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”。已知长方体，下列四组量中，不能作为该长方体的“基本量”的是（）A．的长度 B．的长度C．的长度 D．的长度14．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（）A．4 B．6 C．8 D．1015．如图所示，一个灯笼由一根提竿和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线与直线垂直的次数为（）A．2 B．4 C．6 D．816．用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．如图1所示，其中，现有一定线段，其与平面所成角（如图2），为斜足，上一动点满足，设点在的运动轨迹是，则（）A．当时，是抛物线 B．当时，是双曲线C．当时，是圆 D．当时，是椭圆三、解答题（本大题共有5題，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）已知直线过点．（1）若直线过点，求真线的方程；（2）若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）将一个边长为2的正六边形（图1）沿对折，形成如图2所示的五面体，其中，底面是正方形．（1）求二面角的大小．（2）如图3，点分别为棱上的动点．求周长的最大值．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）如图，某野生保护区监测中心设置在点处，正西、正东、正北处有3个监测点，，且，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）（1）求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若点信号失灵，现立即以为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径至少是多少千米？20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）．（1）求证：当为的中点时，平面（2）若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的取值范围．（3）求三棱锥的体积的最大值．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设直线不经过点且与相交于