6.1 幂函数8种常见考法归类（原卷版）

6.1幂函数8种常见考法归类1.幂函数的概念我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.2.幂函数的图象和性质（1）幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))，y＝x－1的图象如图所示：（2）幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)注：(1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质：①函数的图象过点(0，0)，(1，1).②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，即函数在区间[0，＋∞)上是增函数.(2)当α<0时，幂函数y＝xα具有的性质为：①函数的图象都过点(1，1).②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数.3.对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数（1）当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；（2）当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；（3）当m为偶数时，（或），是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xαy＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.注：求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α．5.作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；若在(∞，0)或(∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.6.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝xeq\f(1,2)或y＝x3)来判断.7.比较幂值大小的两种基本方法8.幂函数性质的综合应用幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.考点一幂函数的概念考点二幂函数定义域和值域问题考点三幂函数的图象及应用考点四幂函数过定点问题考点五由幂函数单调性比较大小考点六利用幂函数单调性解不等式考点七利用幂函数单调性求参数考点八幂函数性质的综合应用考点一幂函数的概念1．【多选】（2023上·四川广安·高一校考期中）下列选项中哪些是幂函数（

）．A． B．C． D．2．【多选】（2023上·陕西咸阳·高一统考期中）下列函数为幂函数的是（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数是不是幂函数？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).4．（2023上·四川成都·高一四川省成都列五中学校考期中）已知幂函数的图象过点，则的值为（

）A．9 B．3 C． D．5．（2023上·河南·高一校联考期中）若幂函数的图象过点，则实数（

）A．2 B．3 C． D．6．（2023上·新疆克孜勒苏·高三统考期中）已知幂函数的图象经过点，则的值等于.7．（2023上·重庆·高一重庆市实验中学校联考期中）已知幂函数，且，则实数（

）A． B． C． D．8．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）若幂函数的图象过点，则.9．（2023上·河南南阳·高一统考期中）幂函数的图象经过点，则．10．（2023上·广东湛江·高一统考期中）已知幂函数的图象经过第三象限，则．考点二幂函数定义域和值域问题11．（2023上·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．212．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．13．（2023上·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）幂函数图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．14．（2023上·黑龙江绥化·高一校联考期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．15．（2023上·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数的定义域为.16．（2023上·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数的定义域是．17．（2023下·山东日照·高二校考期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为．18．（2023上·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）若幂函数的定义域为，求实数的值.19．（2023·全国·高一课堂例题）（1）函数的定义域是，值域是；（2）函数的定义域是，值域是；（3）函数的定义域是，值域是；（4）函数的定义域是，值域是．20．（2023·上海·高一专题练习）研究下列函数的定义域、值域、对称性，并作出其大致图象.(1)；(2)；(3)；(4).21．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．22．（2023·高一课时练习）函数，其中，则其值域为.23．（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为．24．（2023·高一课时练习）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．（2）求函数的值域．考点三幂函数的图象及应用25．（2023上·上海嘉定·高一校考期中）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（

）A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、326．（2023上·广东广州·高一广州空港实验中学校考期中）下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（

）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，④，④27．（2023上·四川成都·高一校考期中）若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（

）A．

B．

C．

D．

28．（2023上·浙江·高一校联考期中）幂函数（）的大致图像是（

）A．

B．

C．

D．

29．（2023上·上海青浦·高一统考期末）幂函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

30．（2023上·浙江·高一校联考期中）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

31．【多选】（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）在同一坐标系下，函数与在其定义域内的图像可能是（

）A． B．C． D．32．（2023上·山东青岛·高一校考阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（

）A． B．C． D．33．（2023上·江西南昌·高一南昌大学附属中学校考期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（

）A． B． C． D．34．（2023上·上海黄浦·高一格致中学校考期中）已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为．35．（2023上·上海·高一上海市第二中学校考期中）幂函数的图象关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值.考点四幂函数过定点问题36．（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（

）A． B． C． D．37．（2023上·广东东莞·高一校考期中）函数的图象过定点．38．（2023上·上海静安·高一上海市市西中学校考期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是．39．（2023上·福建莆田·高一校考期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为.考点五由幂函数单调性比较大小40．（2023上·北京·高一北京十四中校考期中）设，且，则（

）A． B． C． D．41．（2023·全国·高一课堂例题）比较下列各组中两个数的大小：(1)，；(2)，；(3)，．42．（2023上·重庆·高一西南大学附中校考期中）已知，则（

）A． B． C． D．43．（2023上·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（

）A． B． C． D．44．（2023上·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．考点六利用幂函数单调性解不等式45．（2023上·新疆·高一新疆实验校考期中）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为（

）A． B． C．D．46．（2023上·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中）已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．47．（2023·上海·高一专题练习）已知幂函数，若，则的取值范围是．48．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是．49．（2023上·湖北荆州·高一荆州中学校考期中）已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为.50．（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是．51．（2023上·浙江杭州·高一校联考期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围．考点七利用幂函数单调性求参数52．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知幂函数是上的增函数，则的值为.53．（2023上·四川成都·高一校联考期中）已知幂函数在区间上单调递减，则．54．（2023上·河北沧州·高一统考期中）若幂函数在上单调递增，则实数.55．（2023上·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校考期中）若函数是幂函数，且在是单调递减，则（

）A． B． C． D．56．（2023上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点八幂函数性质的综合应用57．（2023上·江苏苏州·高一统考期中）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（只要写一个即可）58．【多选】（2023上·江苏镇江·高一统考期中）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（

）A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数C．函数的值域为 D．函数在是单调减函数59．（2023上·浙江温州·高一浙江省平阳中学校联考期中）若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（

）A．在上为增函数 B．方程的实根