山东省新泰市重点学校2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题（含答案）

新泰重点学校2021级高三上学期第二次质量检测数学试题2023．12注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．非选择题，将答案写在答题卡上．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B．Ø C．R D．2．已知复数满足，则复数在复平面内对应点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数的定义域为R，则“是偶函数”是“是偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于135°，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．5．柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分所中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（）A． B． C．12 D．206．已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（）A． B．C． D．7．已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积取最大时，其外接球的体积为（）A． B． C． D．8．已知函数，则的值域为（）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线和圆，下列结论成立的是（）A．直线过定点B．当直线l与圆C相交时，直线被圆所截的弦长最大值为4C当直线l与圆C相切时，则实数D．当实数m的值为3时，直线l与圆C相交，且所得弦长为10．如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的值可能为（）A． B． C．3 D．11．已知数列满足，则的值可能为（）A．1 B．-1 C． D．12．如图所示，在三棱锥D-ABC中，已知DA，DB，DC两两互相垂直，，，M，N分别是边AB，BC的中点，点E是线段DN上的动点，点F是平面DMC中的任意一点，则（）A．三棱锥是正三棱锥B．直线AD与平面ABC所成角的余弦值为C．三棱锥外接球的表面积为D．当点是线段DN的中点时，EF的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，且，直线与椭圆交于另一点，与轴交于点，，则椭圆的离心率为________．14．若，且，则________．15．已知，，均为正实数，，则的最小值是________．16．设函数（其中e为自然对数的底数），若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在中，，，，点在边BC的延长线上．（1）求的面积；（2）若，为线段AD上靠近的三等分点，求CE的长．18已知函数（1）当时，求函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．19．如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为矩形，，，，点在棱PC上且（1）证明：平面；（2）求平面PAD与平面MDB的夹角的余弦值．20．已知数列的前项和为，且（1）求的通项公式：（2）若，的前项和为，证明：21．已知函数，其中（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于恒成立，求的最大值22．已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点在上．（1）是上一动点，求的取值范围；（2）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求的内切圆面积的最大值.参考答案2023．121、D2、A3、A4、B5、A6、B7、C8、D7、【答案】C解：由题可知，平面CAB⊥平面SAB，且时，三棱锥S-ABC体积达到最大，如图所示，则点D，点E分别为△ASB，△ACB的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O．∴点O是此三棱锥外接球的球心，AO即为球的半径．在△ACB中，，，由正弦定理可知，，，延长CE交AB于点F，延长SD交AB于点F，∴四边形EFDO是矩形，且OE⊥平面ACB，则有OE⊥AE，又∵，，．故选：C9、AD10、BC11、AD12、AC13、【详解】如图，O为坐标原点，且O为的中点，，所以，即M为的中点，连接，由，得，设，则，，，，则，在中，由余弦定理得，，即，整理得，则，则，即，所以14、15、4【详解】因为，即，设，，则，，且原式，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为4．故答案为：416．【答案】【详解】函数的定义域为，由，得，所以，令，，由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由，得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，没有最小值，田，得，当时，在上，单调递增，在上，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，当时，在上，单调递减，在上，单调递增，所以，所以即，所以，即m的取值范围为．东校高三质检二数学答案第2页，共8页17、【小问1详解】东校高三质检二数学答案第2页，共8页△ABC中，由正弦定理得：因为，，所以因为，所以【小问2详解】方法1：因为E为线段AD上靠近D的三等分点，所以，所以，所以，则方法2：在中，由余弦定理得，因为E为线段AD上靠近D的三等分点，所以，分因为，所以因为D为锐角，所以，在中，由余弦定理得，，所以．18、【小问1详解】当时，，，所以，所以切线方程为，即令得，令得，所以所求三角形的面积【小问2详解】由题意知，方程在上有两个不同实根，即方程在上有两个不同实根，即方程在上有两个不同实根令，，则转化为与的图象有两个不同的交点，求导得，则当时，，当时，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以又因为，当时，，当时，，当时，，作图如下：所以a的取值范围为19．【小问1详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面平面，根据条件可知AB⊥AD，所以AB⊥平面所以．所以，同理可得又，所以△PBC是等边三角形，因为，所以M是PC的中点．如图，连接AC，与BD交于点O，连接MO，则O是AC的中点，所以，因为平面，平面MDB，所以平面MDB．【小问2详解】以D为坐标原点，以DA，DC所在直线为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，由（1）知是平面的一个法向量设为平面MDB的法向量．因为，，所以令，可得设平面PAD与平面MDB的夹角为θ，则所以平面PAD与平面MDB的夹角的余弦值为．20．【详解】（1）因为当时，东校高三质检二数学答案第5页，共8页当时，，所以，东校高三质检二数学答案第5页，共8页所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，故：又因为当时也适合上式，所以分（2）证明：因为，所以当n为奇数时，，因为，所以，所以当n为偶数时，，因为，所以，所以综上，21．【小问1详解】当时，，则令，则显然在上恒成立，即在R上单调递增；又易知所以当时，，当时，；即函数在上单调递减，在上单调递增；综上可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为【小问2详解】由对于恒成立，可得在恒成立；令，则，又由可解得易知当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极小值，也是最小值为；易知，所以可得，即令，则，由可得；因