必修4-20届人教版高中数学 3

第三章三角恒等变换

3.2简单的三角恒等变换

是知识

i.半角公式

a,/1-costzsina1-cosa

tan——=±/----------=------------=-----------.

2V1+cosa1+cosasina

以上称之为半角公式，符号由区所在象限决定.

2.积化和差与和差化积公式（不要求记忆）

(1)积化和差公式：

cc.a+。oc—B

sin«+sinp=2sin―^-cos--^―；

sina-sinp=2cos—^-sin-;

a+。ex—B

COSQ+COS夕=2cos—^-cos—；

nc.CL-\-P.Ct~P

cosa-cosp=-2sin-sin-.

(2)和差化积公式：

sinacos夕=；［sin(a+/0+sin(a-/0］；

cosasin夕=；［sin(a+/O-sin(a-^)］；

824颐+为+期(川

sinasin［i=-：［cos(a+£)-cos(a/)］.

3.辅助角公式

6zsinJC4-/?COSx=，其中cos(p=-------^=,sin(p=------=：

其中9称为辅助角，它的终边所在象限由点(4,〃)决定.

4.三角函数式的化简与证明

(1)化简原则

①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式.

②二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.

③三看式子“结构特征"分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”

“遇到根式一般要升基”等.

(2)化简要求

①使三角函数式的项数、次数、角与函数名称的种类

②式子中的分母尽量不含三角函数；

③尽量使被开方数不含三角函数等.

(3)化简方法

①异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化;

②“1”的代换，三角公式的正用、逆用.

(4)化简技巧

①角的代换：常用拆角、拼角技巧，例如，

2a=(a+夕)+(aj?):

a=(a+4)-p=(a/)+/3；

产"》三/=(a+2£)-(a+£)；

a-(a-y)+(y-^5)；

150=450-30°；

兀兀/兀\A/v

—+a=——(——a)等.

424

②公式变换

tana±tanp=____________________

tana-tan/?

tanatan[i=_____________________

tan（a一夕）

.-2sinacosa2tana

sin2a=——----------=-------；—；

sina+cosa1+tan~a

八cos2a-sin2a1-tan2a

cos2a=——z---------2-=--------2-

cos'a+sirra1+tana

③常值代换

l=sin2cr+cos2a；1=sin90°;1=tan45°;\/§=tan600等.

二♦『嘱・二运。・♦富。•♦运・。/冠・♦.•运.产域・0。运J鬻。•♦运・。赛.5:灌•♦魂

K知识参考答案：

3.+廿sin（x+9）

4.（2）①最少最低最少（4）②tan（a邛）（〕平tanata”）tana+tan"

tan（a+/）

运Y崎・♦*运.♦富。•♦运•工＜.«强•一魂运Y飕・。运・•。•♦运・Z零.«运•♦魂

网重点

1.三角函数的化简；

K—重点

2.三角函数的求值；

K一难点三角恒等变换的常用技巧；

K一易错通过恒等变换研究函数的性质等.

1.三角函数的化简

（1）化简三角函数式的要求：

①能求出值的应求出值；

②使三角函数的种类尽量少；

③使式子中的项数尽量少：

④尽量使分母不含三角函数；

⑤尽量使被开方数不含三角函数.

（2）化简三角函数式的技巧：

①变角：通过观察不同三角函数式所包含的角的差异，借助于“拆凑角”（如用特殊角表示一般角，用

已知角表示所求角等）、“消角”（如异角化同角，复角化单角等）来减少角的个数，消除角与角之间

的差异.

②变名（即式子中不同函数之间的变换）：通过观察角的三角函数种类的差异，借助于“切化弦"''弦

切互化”等进行函数名称的变换.

③变式（即式子的结构形式的变换）：通过观察不同的三角:

函数结构形式的差异，借助于以下几种途径进行变换

(a)常值代换，如“1”的代换.

变形公式'如tan化器序一】

(b)

aa1-cos2al+cos2a.

(c)升降哥公式，如l+cosa=2cos2y；1-cosa=2sin2y；sin2a=------------；cosz9a=-------------；sinacos

22

a=-sin2a.

2

2cos%-l

【例I】化简:

2tan(--cr)sin2(—+cr)

44

【答案】1

［解析］解法一：原式二一——c°sr二sm^--------------

-1-tanor/.兀兀.、2

2x----------(sin-cosa+cos—sma)

1+tana44

(cos%-sin2a)(1+tana)

(1-tana)(cosa+sin"

(cos%-sin2a)(1+)

cosa

八sina、/.、2

(1---------)(costz+sma)

cosa

=1.

cos2a

解法二：原式二

2tan(--a)cos2(--a)

44

cos2a

2sin(--cr)cos(--a)

44

cos2a

sin(］-2a)

cos2a

cos2a

=1.

▼4士/、sinl10°sin20°

［例2］求值：(1)---------------------——

cos21550-sin2155°

>/3tanl2o-3

sinl2°(4cos212°-2)

【答案】（1）（2）-4百.

2

—sin40°

sin70°sin200cos200sin20。_2uJ

【解析】（1）原式=

cos310°cos50°sin4002

Hsinl2°.

(2)原式二-------必里-----

sinl2°(4cos2120-2)

V3sinl20-3cosl20

2sinl20cosl2°(2cos2120-l)

26dsinl2。-@cosl2。)

22_______

sin24°cos24°

_2^sin（12°-60°）

-sin48°

2

=-4A/3.

2.三角函数的证明

恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种.

（1）无条件的恒等式证明，常用综合法（由因导果）和分析法（执果索因），证明的形式有化繁为简，

左右归一，变更论证等无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度

和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；

（2）有条件的恒等式证明，常常先观察条件及欲证式中左右两边三角函数式的区别和联系，灵活地使

用条件变形得证.

【例3】求证：sina+sin£=2sin“；」cos".'.

【答案】证明详见解析.

【解析】令“=%+2,b=~~,则a=a+6,（i=a-b

22

sin（a+b）=s\nacosb+cosasmb

sin(〃一b)=sinacosb-cosasinb

两式相加得：

sin(a+b)+sinCa-b)=2sintzcosfe

a+£a-p

/.sina+sin^=2sin--------cos

2--------2

【例4】已知锐角a,4满足tan(a—£)=sin2£,求证：2tan2^=tana+tan^.

【答案】证明详见解析.

tana-tan/7

【解析】*/tan(a-£)=sin2/?,tan(a-/?)=

1+tanatan/7

2sin/?cos/5_2tan6

sin2/7=2sin/?cos>0=

sin2尸+cos2y?1+tan2y?

...到32=,去分母整理得：tana=3tan夕+?江》

l+tanatan〃1+tarT/?1-tanp

3tany0+tan/+tan/7-tan3/7_2x2tany?

tana+tan4==2tan2/7.

1-tan2/71-tan2/?

/.2tan2/?=tan6(+tan^.

3.辅助角公式的应用

利用辅助角公式将含有两种三角函数的函数式化成含有一种三角函数的形式:

asina+bcosa=J。？+/?2sin(a+3)(其中sin^=ba

正I+/-,COS69=心/命-).

这是研究三角函数性质的非常重要的思想方法，也是历年高考的热点内容.

【例5】已知函数/(x)=当

cos(2r+—)+sin2x(04?<兀)，求/(x)的值域.

6

【答案】[0,1].

【解析】函数/(X)=£cos

(2x+-)+sin%

36

-l-cos2x

2(cos2xcos--sin2xsin-)+

3662

-l-losZr

2(—cos2x--sin2x)+C

2222

=lcos2x--sinlr+1

442

1

(—cos2x--sin21)+—

2222

1/c兀、1

一cos(2x+—)+一，

232

1ITI

由一iWcos(2x+—)<1,得g—cos(2x+—)+—<1,

3232

：.f(x)的值域为[0,1].

【例6】求函数产上沟土的值域.

2-cosx

4

【答案】［0,-］

3

【解析】由原函数得sior-ycosx=l-2y,

J［+Vsin(x-^)=\-2y(其中cos(p=—j=,sin^=—,

71+/

v

Asin(“)=J),由三角函数的有界性可知sin(x-(p)G［-l,1］,

而

/.|l-2y|<Jl+y?,

4

/.3y2-4)w0,/.0<y<一,

〜4

，原函数的值域为［0,y］.

4.忽视条件中隐含的角的范围导致错误

【例7】若sin2a=(^,sin邛-a)=,且。£［三，兀］,夕£［兀，］,则。+丑的值是

里

九

一

44

Ac.Ba.

型

五

一

或77-t

444

【答案】A

>rr-jr、/、TTTTTT

【解析】因为c(e[—,兀],所以—,2n].又sin2a=---,故2a£[—,兀],所以—,—],所以

425242

cos2a=-.?£.又夕£［兀，］,所以夕弓I，且0+在£［曰，2兀］,于是cosQp-a)—

所以cos(a+4)=cos[2a+(£-a)]=cos2acos邛-a)-sin2asin(£-a)二—2f乂(一2^^)-^^-x=~~^~'

7兀

故a+夕=彳.故选A.

网好题

出

1.己知Gsinx+cosx=2iz-3,则a的取值范围是

A.—<a<—B.a<—

2-22

C.a>-D.--<a<--

22~2

2.函数y=cos2x-sin2x的一条对称轴为

AA•x——兀B.x=-

48

C.x=--Dn.x=——71

84

3.sin4150-cos415°=

1B.-1

A.-

22

C3D.—在

22

兀13兀

4.己知sin(---a)-,贝Ucos(2a+——)-

545

77

A.---B.-

88

1

c.-D.一

88

5.己知函数f(x)=sin(ox+夕)+cos(cox+p),其中CD>0,网<］，/(')是奇函数，直线丫=近与函

7T

数/(X)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为则

A./(x)在0,：上单调递减B./(%)在［巴，里］上单调递减

188)

C./(X)在0,：上单调递增D./(x)在获)上单调递增

7[

6.已知tanQ=3,贝Ucos(2a+—)=

2

3

B.

5

3

D.

5

7.己知sin2a='，则2cos2(a—巴)

44

“17c

8.若sina+cosa=—,aS(—,兀)贝!|sina-cosa=

52

9.已知锐角a,夕满足(tana-l)(tan^-1)=2,则a+夕的值为

10.已知sina+sin/?=；,cosa+cos〃=；,则tan(a邛)的值为

怩力

11.已知sin］巴-a=---,那么cos2a+gsin2a=

(6)3

10_10

A.B.

~9~~9

_55

C.D.

~99

TT

12.已知。为锐角，且tan(a+—)=2,则sin2a=

8

030

A.B.

1010

c7夜八30

C.D.

104

13.若tana------=—,aG|—j,则sin［2a+巴］的值为

tancr3(42j(4)

V26V13

A.--B.---

2626

V26V13

C.---D.--

2626

」,sinar-esina

14.已知--------二=V2,则--------=

1-COS6Z1+cosa

,V2口五

A.---D.---------------

22

c.OD.

15.函数/(x)=g•/兀、，兀、

sin(x+—)+cos(x—)的最大值是

63

4

A.-B.一

3

C.1D.

71兀

16.若cosc=2cos(a+—)，则tan(a+—)=

48

2cos2——sin^-1

17.已知tana=一2,则2

忘in,+：)

18.已知若0<a<工，--<^<0,cos(—+a)=-,cos(—)=—.

2243423

(1)求cosa的值；

(2)求cos(a+“］的值.

19.已知/（x）=sin2（x+；）-sin?（x+合）.

（1）求/（二）的值；

6

（2）求/（工）在区间［0,二］上的取值范围.

2

3xx2sinx

20.求证:tan----tan——

22cosx+cos2x

21.已知tan2a=2tan2)fi+1,求证：sin2/?=2sin2a-l.

22.已知函数"x)=sin[x-：J.

(1)若=求sinaYOsa的值；

(2)设函数g(x)=2[/(x)l2+cos|2x+-求函数g(x)的值域.

23.已知函数/(x)=5A/3siarcosjv+5cos2x+1.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)当T已T变1TT时，求函数/(X)的值域..

24.［2018全国II卷文］若/（x）=cosx-sinx在［0,4］是减函数，则a的最大值是

兀兀

A.-B.

42

-371

C.—D.兀

4

11

25.［天津卷理］已知函数f（x）=siM号+—sincox---(co>0),xWR.若f（X）在区间（7T2兀）内没有

22

零点，则。的取值范围是

5、

A.(0,—JB.(0,—]U[-,1)

88

15

C.(0,-]D.(0,-]u一,-J

848

7T兀7C

26.[2017山东卷理]设函数/(x)=sin(cox——)+sin（cox一一）,其中0＜口＜3.已知/（一）=0.

626

(1)求3

（2）将函数何（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向左

平移上TT个单位，得到函数尸g（X）的图象，求g（x）在［-TT二，33冗］上的最小值.

444

27.12018北京卷文］已知函数/(x)=sin2x+A/3sinrcosx.

(1)求/G)的最小正周期；

兀3

(2)若/(x)在区间［—-,河上的最大值为一，求优的最小值.

32

28.［天津卷理］已知函数(x)=4tanx-sin(~~x^,cos^x--)-至).

(1)求/(x)的定义域与最小正周期；

7TTT

(2)讨论/G)在区间［-二，上］上的单调性.

44

K好题参考笞宗

12345611121314152425

ACDABCACAAACD

1.【答案】A

【解析】：\/3siru+cosx=2t/-3,—sinv+—cosx=a--,BPsin(x+—)=a~—.再由一iWsin(x+—)<1,

222626

ais

可得T点一一<L解得一故选A.

222

2.【答案】C

【解析】v=cos2r-sin2jr=V2x(cos2xsin2x)=41(cos—cos2x-sin—sin2.r)=\/2cos(2x+—)，

22444

令益+四=也可得该函数的对称轴为下y-四，结合选项可知，当Q0时，函数的一条对称轴为

428

x=~—，故选C.

8

3.【答案】D

【解析】sin4150-cos415°=sin2150-cos215°=-cos30°=-------故选D.

2

4.【答案】A

【解析】Vsin(----a)=—,/.cos(2。+——)=-cos(兀-----2a)=-cos(------2a)=-l+2sin2(----a)

545555

17

—l+2x(-)2=——.故选A.

48

5.【答案】B

【解析】函数/(x)=sin(cox+(p)+cos(cox+(p)=V2sinIcox+

由于函数是奇函数，其中切>0,陷<T，则

直线y=应与函数/(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为四，

则二="，解得3=4,故函数的关系式为/■(x)=V2sin4x.

2co

令3+2EK4x<2E+电(kez),解得四+如+包JGZ),

228228

当时，函数的单调递减区间为：［上7T,』37r］,故选B.

88

6.【答案】C

・5LL・,/兀2sinacosa2tancr63

【解析】由tan«=3，得cos(2a+—)=-sin2a=-----------；-----------=------=——.故选C.

2sin~a+cosal+tan~a1+95

7.【答案】-

4

【解析】Vsin2a=—,.*.2cos2(a--)=l+cosf2a-—>|=l+sin2a=14--=—.故答案为：—.

44I2j444

7

8.【答案】-

5

【解析】根据题意，sina+cosa=—,则有(sina+cosa)2=l+2sinacosa=—»

525

,24

变形用得2sinacosa=——，

25

24497

贝!!(sina-cosa)2=l-2sinacosa=1+——=——，变形可得sina-cosa=±—；

25255

又山a是第：象限角，则sina>0,且cosa<0,

77

则sina-cosa=—.故答案为：一.

55

9.【答案】史

4

【解析】由(tana-1)(tan^-1)=2,可得：lanalan/?-lanaTanS+l=2,tan(a+丑)=tanajtan/?=1

l-tancrtan/7

IlTQ-TT

;锐角a,小尸£(0,兀)，：.a^=—.故答案为：—.

44

24

10.【答案】—

7

【解析】由sina+sinp=,，得2sin"2cos巴吆=,，

4224

由cosa+cos/?=L得2cos色/cos金——,两式相除，得tan+分=',

322324

ca+/。3

2tan2x

则tan(a+/?)=-----------1=——%=—.故答案为:24

5三7T

11.【答案】A

【解析】•••已知sinjC—a]=—交7171

/.cos2a+gsin2a=2sin(2a+—)=2cos(----2a)=2[l-2

(6)363

sin2\--a\]=2(l-2x—)=此，故选A.

16)99

12.【答案】C

2tana+—

7T.c/兀、I8j4_4

【解析】a为锐角，且tan(«+-)=2,..tan2(a+—)=-----------彳--------r-

8Sl-tan2f^z+j1-4

///兀、%tan2a+ltan2a+l454n._

Xtan2(Q+—)=tan(2a+-)=--------------------------=-----，解得tan2a=7,

84l-tan2al-tan2a3

sin2a=7cos2a，①

Xsin22a+cos22a=l,②

7B75

由①②解得sin2«=±------，又0<2a<?i,tan2a=--------.故选C.

1010

13.【答案】A

.14/兀兀、,日sin。cosa4

【解析】由tana----------=-,a,得------------=一,

tana3\42Jcosasince3

.sin2cos2a4,曰sin2a

••\=~»W1VaG,：.2aG(—,兀)，

sinacosa3cos2cr2422

又sin22a+cos22a=l,得sin2a=3y,cos2a=-2V13

1313

・•.sin£a+小亩2a3+2s4迈x也一亚x/叵

.故选A.

I4j4413213226

14.【答案】A

1+COS6Zsina

【解析】由sin2a=l-cos2a=(1-cosa)(1+cosa)得V2，二

1-coscrsinel-cosa

9£=应，则曰1^=」=也.故选A.

sina1+cosaJ22

15.【答案】A

1兀/兀、1/.兀.兀、兀..兀

【解析】/(x)=­sin(4+―)+cos(X—-)=—(sinxcos——Fcosxsin—)+cosxcos—+sirusin—=

336633

色加+Ls»\°sx+@six^-sinx+-cosx=-sinx+-.A函数/(x)=-sin(x+-)

6622333I6J36

TT4

+cos(.x——)的最大值是一.故选A.

33

16.【答案】3(^+1)

【解析】*•*cosa=2cos(a+-),/.cos(a+-----)=2cos(a+—+一),

48888

.兀兀7171兀兀兀71

..cos(a+-)cos—+sin(a+-)sin-=2cos(a+-)cos---2sin(a+—)sin—,

88888888

化为：cos(a+-)cos-=3sin(Q+—)sin-,

8888

32tan—

tan(a+—)二—--,tan—=--------=1,解得tan&=0-l.

8.tan—兀4[1-.tan2—兀8

88

tan(a+—)—=3(J5+I),故答案为：3(J5+1).

8x/2—1

17.【答案】-3

2cos2sin6-l

cos。一singcosB-sinS

【解析】已知tan<9—2，

V2sin6cos—+V2cosOsin一sin6+cos。

44

1-tan^3

上一二—3.故答案为：-3.

1+tan。1-2

18.【解析】(1)0<a<—»+a<—.

2444

(兀7T

coscr=cos—+a——

144

=c°s佟+a]cosMsin佟+a]sH=L立+越>立=.

UJ4UJ432326

兀兀力71

(2)V-^</?<0,<—.

44-72

1V3272V65x/3

=—X---------1------------X--------=-----------.

33339

19.【解析】(1)f(x)=sin2(A:+—)-sin2(x+—)

412

1—cosI2九H|1—cosI2xH|

I2JI6；1n,兀、1/C兀、

=------------------------------=—cos(2x+—)——cos(2x+—)

222622

1/c兀、1.C

=—cos(2x+—)+—sinzx

262

=—(cos2xcos--sin2xsin—)+—sin2x

2662

=-cos2x+—sin2x=—sin(2x+—),

4423

.”兀、1.2TCG

6234

(2)当xd[0,巴]时，2x+-£[-,—

2333

从而sin(2.x+-),11，所以&[-—,1]

3242

即/(x)在区间[0,二]上的取值范围为「更，-I.

242

.3x.x

rrsin—sin

20.【解析】左边=tan33-tan±=22

23xx

2coscos

22

.3xx3x.x

sincos——cos——sin

2222

3xx

coscos

22

sinx

3xx

cos——cos—

22

cosx+cos2x

，原式成立.

21.【解析】方法一：:tan2a=2tan%+1,

22

nnsina2sinBf

即2-=丁丁+11

cos"acos-p

<=>sin2acos2/?=2sin2^cos2a+cos2acos2^

<=>sin2acos2/y-sin2jScos2a=sin2^cos2a+cos2acos2^

<=>(sinacos^+sin^cosa)(sinacos彼一sin夕cosa)=cos2a

<=>sin(a+汽)sin(a一6)=cos2a

=一;cos2a+；cos2^=cos2a

<=>cos2y?-