专题30 圆锥曲线与四心问题4种常见考法归类 （解析版）

专题30圆锥曲线与四心问题4种常见考法归类从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征．而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新．因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．一、三角形的重心1、三角形重心的定义三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这一点就是三角形的重心．2、三角形重心常见结论（1）是△的重心；重心坐标：；（2）为△的重心，P为平面上任意点，则；（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1；（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比．（5）焦点三角形重心轨迹方程：①设点为椭圆的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．②设点为双曲线的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．二、三角形的外心1、三角形外心的定义三角形的外心：三角形外接圆的圆心，称为外心，三角形三条边的垂直平分线的交点，就是三角形的外心．2、三角形外心重要结论（1）O是的外心（或）；（2）若点O是的外心，则=0．（3）若O是的外心，则；（4）斜三角形外心坐标：；（5）多心组合：的外心、重心、垂心共线，即∥；（6）焦点三角形外心轨迹方程：①动点为椭圆上异于椭圆顶点的一点，为椭圆的左、右焦点，设焦点三角形的外心为，则外心的轨迹方程为（或）．②动点为双曲线上异于双曲线顶点的一点，为双曲线的左、右焦点，设焦点三角形的外心为，则外心的轨迹方程为．三、三角形的内心1、三角形内心的定义三角形的内心：三角形内切圆的圆心，称为内心，三角形三条内角平分线的交点，就是内心．2、三角形内心常见结论设的内切圆为圆，切边于，则有如下重要结论：（1）是的内心（其中a、b、c为的三条边）；（2）；（3）；（4）内心点的坐标为；（5）三角形内切圆的半径求法：①任意三角形：（其中为的周长，为的面积）；②直角三角形：（其中a，b为直角边，c为斜边）；（6）焦点三角形内心轨迹方程：①设点为椭圆的焦点三角形的内心，则点的轨迹方程为：，其中．②设点为双曲线的焦点三角形的内心，则有：（1）当在双曲线右支上时，点的轨迹方程为；（2）当在双曲线左支上时，点的轨迹方程为．四、三角形的垂心1、三角形垂心的定义三角形的垂心：三角形三条边上的高交于一点，这一点就是三角形的垂心．2、三角形垂心重要结论设分别是的外心、重心、垂心，则（1）；（2）三点共线，且（欧拉线）；（3）斜三角形垂心坐标：；（4）H是△的垂心；（5）垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍；（6）焦点三角形垂心轨迹方程：①椭圆的焦点三角形的垂心的轨迹方程为；②双曲线的焦点三角形的垂心的轨迹方程为．考点一圆锥曲线与重心问题考点二圆锥曲线与外心问题考点三圆锥曲线与内心问题考点四圆锥曲线与垂心问题考点一圆锥曲线与重心问题1．（2023下·浙江杭州·高二校联考期中）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，为原点，则重心的纵坐标为．【答案】【分析】根据抛物线的定义和性质,由，解得，利用重心坐标公式可得结果.【详解】根据题意，拋物线的焦点为，设，准线方程为，由抛物线的定义可得，，解得，的重心纵坐标为，故答案为.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.2．（2023·福建莆田·统考一模）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过作直线与交于两点．若，则重心的横坐标为A． B．2 C． D．3【答案】B【详解】为抛物线的焦点，所以.设由抛物线定义知：，解得.重心的横坐标.故选B.3．（2023·甘肃·校联考一模）已知、分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限．记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由双曲线的性质可得点，，设点，则，再由基本不等式可得，进而可得点，即可求得重心坐标.【详解】由题意点，，设点，则，，，所以，当且仅当时取等号，所以，解得，所以点，则重心坐标为即．故选：B.【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.4．（2023上·重庆·高二重庆一中校考期中）已知是以为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】设点P（m，n），则设△PF1F2的重心G（x，y），则由三角形的重心坐标公式可得x=，y=，解出m、n的解析式代入①化简可得所求．【详解】由双曲线的方程可得a=4，b=3，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）．设点P（m，n），则①．设△PF1F2的重心G（x，y）（y≠0），则由三角形的重心坐标公式可得x=，y=，即m=3x，n=3y，代入①化简可得，故△PF1F2的重心G的轨迹方程是，故选A．【点睛】本题考查用代入法求点的轨迹方程的方法，三角形的重心坐标公式，找出点P（m，n）与重心G（x，y）的坐标间的关系是解题的关键．5．（2023上·河北石家庄·高二统考期中）已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为A． B． C．D．与的取值有关【答案】B【详解】试题分析：因为，所以，所以，即，所以，故选B．考点：1．双曲线的几何性质；2．共线向量的性质．6．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）设，分别为椭圆的右顶点和右焦点，，为椭圆短轴的两个端点，若点恰为的重心，则椭圆的离心率的值为.【答案】【分析】结合题意表示出四点坐标，再由重心坐标公式即可求解【详解】如图：由题可知，，，则，即，故答案为：【点睛】本题考查椭圆的基本性质，重心坐标公式的应用，属于基础题7．（2023·贵州贵阳·高三阶段练习）在双曲线：的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，由平行于轴得则所以的面积又由焦半径公式，因此代入椭圆方程得故选C．8．（2023下·浙江·高二校联考阶段练习）已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左右顶点除外），为恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据的椭圆上一点，且恒成立，不妨设点P为上顶点，再根据为为重心，由求解.【详解】因为的椭圆上一点，且恒成立，不妨设点P为上顶点，如图所示：因为为为重心，所以，而，即，所以，所以，所以，即，解得.故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及焦点三角形的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.9．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（

）A． B． C． D．与大小不确定【答案】B【分析】作出图示，根据的特点分别表示出，，即可判断出的大小关系.【详解】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：因为是的内心，设内切圆的半径为，所以，所以，所以，又因为是的重心，所以，所以，所以，故选：B.【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.10．（2023·河北衡水·统考模拟预测）已知为抛物线的焦点，为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个【答案】D【分析】当时，为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，利用“点差法”可证明总存在以为中点的弦，从而可得结果.【详解】抛物线方程为为曲线上三点，当时，为的重心，用如下办法构造，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，设，则则，两式相减化为，，所以总存在以为中点的弦，所以这样的三角形有无数个，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.11．（2023·吉林长春·高三校联考阶段练习）抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【解析】根据重心坐标公式求出的横坐标为，纵坐标为，设直线的方程为，与抛物线方程联立，用、求出表示出的坐标，结合抛物线的方程，求出的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．【详解】由题意知，抛物线的焦点为，设点、、，由重心的坐标公式得，，，设直线的方程为，由，消去得，，由韦达定理得，，所以，，故，，将点的坐标代入抛物线的方程得，得，则，得，则.不在直线上，则，此时，，则.因此，的取值范围是.故选：A.【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．12．（2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知抛物线（），F为抛物线的焦点，O为坐标原点，，为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为F，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由A，B的中点到抛物线准线的距离为5可得，由的重心为可得，即可解出.【详解】A，B的中点到抛物线准线的距离为5，，即，，的重心为F，，即，，.故选：D.【点睛】本题考查抛物线性质的应用，属于基础题.13．（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，为坐标原点，若的重心为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】设，由，可得．结合的重心坐标，即可求得．【详解】设，∵，则．∵的重心为，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线定义的应用及三角形的重心坐标公式，属于基础题.14．（2023上·湖南·高三阶段练习）设直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，若的重心在轴右侧，则的取值范围是．【答案】【详解】将代入椭圆方程，得，即．由，得，即．设点，，则，从而．因为的重心在轴右侧，点，则，所以，即．故答案为：．考点：直线与椭圆的位置关系.得到，降低计算量，再由．再由韦达定理得．又由的重心在轴右侧的取值范围是．15．（2023·高二课时练习）已知为双曲线：上一点，，为双曲线的左、右焦点，，分别为的重心、内心．若轴，则内切圆的半径为．【答案】【分析】不妨设点在第一象限，，根据已知求出，再化简即得解.【详解】解：不妨设点在第一象限，，，分别为与三边的切点．由切线长定理以及双曲线的定义，得，∴，∴．设，由为的重心知，，则．∴，∴．设内切圆的半径为，则．又，∴，∴．故答案为：16．（2023·江西九江·统考三模）已知双曲线：的左、右焦点为，，直线:与双曲线相交于，两点，，的重心分别为，，若以为直径的圆过原点，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】首先直线与双曲线方程联立，得到根与系数的关系，并利用重心坐标公式表示，由条件可知，最后代入根与系数的关系后可得的值.【详解】设，，由，消去得，，，由于，，可知，，由题意可得，，，，即，.故选：A【点睛】本题考查直线与双曲线位置关系的综合问题，涉及三角形重心坐标公式，直线与圆锥曲线联立，根与系数的关系，向量数量积的坐标表示解决几何问题，属于中档题型.17．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线上有三个不同的点直线的斜率分别为.若满足：.且的重心在直线（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设,由和重心的纵坐标为利用直线的斜率公式和三角形的重心坐标公式得到关于的方程,联立方程求出,利用抛物线方程和直线的斜率公式求出即可.【详解】设，则,同理,由重心的纵坐标为得,即，由可得,,所以.故选:D【点睛】本题考查抛物线的标准方程、直线的斜率公式和三角形的重心坐标公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.18．（2023·吉林·统考三模）设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设条件及椭圆的定义，可得，进而可得为等腰三角形，计算，由重心和中点的定义，，即得解【详解】由于点P为椭圆上一点，又故为等腰三角形，以为底的高为：故故选：C【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.考点二圆锥曲线与外心问题19．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，若的重心为，且，则直线的方程为．【答案】或【分析】设的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合重心坐标公式表示出点的坐标，再由列方程可求出，从而可求出直线的方程.【详解】∵过点且斜率不为0，∴可设的方程为，设，，由得

∴，，∴，又∵，∴，即，∴，令，解得

∴直线的方程为或．故答案为：或．20．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）．设的外心为，则的值为．【答案】4【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立后由弦长公式得，再由几何关系得点坐标，得出后化简计算【详解】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，代入椭圆方程得．设，则，∴的中点坐标为，∴．∵是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，的垂直平分线方程为，令，得，即，∴∴．故答案为：421．（2023上·湖南益阳·高三统考阶段练习）F1，F2分别为双曲线（a，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足0，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为.【答案】【分析】设为内切圆圆心，用、表示出，，根据列方程得出，的关系即可得出离心率．【详解】解：，．的外接圆半径为，的内切圆的半径为．设的内切圆的圆心为，过作轴的垂线，连接，，则，设，，则，①不妨设在第一象限，由双曲线的定义可知，②由①②可得，，，且，分别是，的角平分线，，又，，，化简可得，故，．故答案为：．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．22．（2023上·湖南长沙·高三宁乡一中阶段练习）,分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，满足，若的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为.【答案】【分析】根据判断出三角形为直角三角形.利用勾股定理和双曲线的定义列方程并化简，根据直角三角形内切圆半径公式求得内切圆半径，根据内切圆半径和外接圆半径的比列方程，解方程求得双曲线离心率.【详解】∵，∴，即为直角三角形，∴，，则，.所以内切圆半径，外接圆半径，由题意，得，整理，得，∴双曲线的离心率.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查向量数量积为零的意义，考查双曲线离心率的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.23．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点．若D为直线外一点，且的外心M在C上，则M的坐标为．【答案】或．【分析】三角形的外心为中垂线的交点，利用中点坐标公式得线段AB中点N的坐标，得到线段AB的中垂线方程，将中垂线方程与抛物线方程联立即可得到外心M．【详解】联立得，设，，则，，设线段AB的中点为，则，，则线段AB的中垂线方程为，即，联立得，解得或4，从而的外心M的坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，将直线方程与抛物线方程联立，其中韦达定理是解题的关键，同时考查向量知识和三角形外心的应用．24．（2023·全国·高三专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程；【答案】【分析】设外心为，且，，，根据外心的性质可求点G的轨迹方程.【详解】设外心为，且，，，由点在的垂直平分线上知由，得故即点G的轨迹S为：，故答案为：.25．（2023·湖北·高三竞赛）已知点在离心率为的双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆半径与外接圆半径之比为.【答案】【详解】由，知.设，又，则可得，，

①.

②设，则，即有.

③由①②③可得，所以，解得.26．（2023·浙江·统考模拟预测）已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当时，外心的横坐标最大．【答案】【分析】由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．【详解】如图，由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，即在直线，也就是在直线上，联立，得或，的中点坐标为，则的垂直平分线方程为，把代入上式，得，当的外心的横坐标取最大值时，必有，令，则，由，得（舍）或．当时，，当时，.当时，函数取极大值，亦为最大值．故答案为：.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．27．（2023上·上海金山·高二上海市金山中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为.【答案】16.【分析】由已知可得两曲线焦点相同，设，利用椭圆和双曲线的定义求出，用利用两点间的距离公式求出点的横坐标，因为为中点，△ABC的外心在轴上，将，代入所求式，即可求解.【详解】已知椭圆和双曲线焦距相等所以焦点相同，设，为两曲线在第二象限的交点，，，，设，，，，因为为中点，△ABC的外心在轴上，，【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.28．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，若的重心为，且，则直线的方程为．【答案】或【分析】设的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合重心坐标公式表示出点的坐标，再由列方程可求出，从而可求出直线的方程.【详解】∵过点且斜率不为0，∴可设的方程为，设，，由得

∴，，∴，又∵，∴，即，∴，令，解得

∴直线的方程为或．故答案为：或．29．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点．设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，则的值为．【答案】4【分析】设直线的方程为，求得的中点坐标，利用弦长公式求出，再求垂直平分线方程，求出点的坐标，进而求出，进而可求解．【详解】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，代入得，设，则，则的中点坐标为∴∵是的外心，∴是线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点，的垂直平分线为，令，得，即，∴．故答案为：4.30．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，抛物线，设、相交于、两点，为坐标原点．若的外心在椭圆上，则实数的值；【答案】【分析】设，依题意的外心为椭圆的上顶点，即可得到方程组，解得即可.【详解】解：由抛物线、椭圆和圆的对称性可知，的外心为椭圆的上顶点.则有，设，则有，又，解得.故答案为：31．（2023·湖北宜昌·统考一模）设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】先由可确定、、三点共线,则根据外心的性质可得,再由点为焦点的中点,根据中位线性质可得,则,进而在中利用勾股定理求解.【详解】由题,因为,所以、、三点共线,因为点为线段的中点,的外心为,所以,即,设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点,则在中,,即,所以是直角三角形,所以,因为,由双曲线定义可得,所以,则,因为,整理可得,所以,则,故选:D【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的定义的应用.32．（2023上·上海金山·高二上海市金山中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为.【答案】16.【分析】由已知可得两曲线焦点相同，设，利用椭圆和双曲线的定义求出，用利用两点间的距离公式求出点的横坐标，因为为中点，△ABC的外心在轴上，将，代入所求式，即可求解.【详解】已知椭圆和双曲线焦距相等所以焦点相同，设，为两曲线在第二象限的交点，，，，设，，，，因为为中点，△ABC的外心在轴上，，【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.33．（2023·湖北宜昌·高二校联考期末）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标.【答案】【解析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.【详解】设，由重心坐标公式得，的重心为,代入欧拉线方程得：,整理得：

①的中点为，，的中垂线方程为，即．联立，解得.．的外心为．则，整理得：

②联立①②得：或．当时重合，舍去．∴顶点的坐标是．【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.34．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点在圆：上，直线与圆交于，两点（点在轴上方），点是抛物线上的动点，点为的外心，则线段长度的最大值为，当线段长度最大时，则外接圆的标准方程为．【答案】【分析】由得到的坐标，表示出线段的中垂线，令，得到的外心的坐标，由在抛物线上得，从而得到，再由基本不等式，得到其最大值，确定出点坐标，再求出外接圆的半径，得到所求圆的方程．【详解】把代入圆的方程得，∴，做出线段的中垂线，则的外心为直线与轴的交点．直线的方程为：．当时，．∵点在抛物线上，∴

∴．由得，∴，．当且仅当时，即时取到最大值．此时点坐标为，∴外接圆的半径，∴外接圆的标准方程为．故答案为:，考点三圆锥曲线与内心问题35．（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知可得，结合双曲线的定义和标准方程，即可求解.【详解】如图，设内切圆的半径为r，由，得，整理得.因为P为双曲线右支上一点，所以，，所以.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线定义和性质的应用，属于基础题.36．（2023上·湖南衡阳·高二统考期中）已知点在椭圆：上，、为左、右焦点，点是内心，连接并延长交线段于，则的值为A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：连接，在中，是的角平分线，根据三角形角平分线的性质定理得；同理可得，故有，根据等比定理得，所以答案为C．考点：1、椭圆的定义；2、角平分线的性质．【技巧点晴】本题考查的是椭圆的定义、角平分线的性质定理、等比定理等的综合知识，属于难题；在解决涉及圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口；由于三角形的内心是三个内角的平分线的交点，根据三角形内角平分线的性质定理，把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系来求解．37．（2023下·河南洛阳·高二统考期末）已知双曲线的左，右焦点F1，F2，点P在双曲线上左支上动点，则三角形PF1F2的内切圆的圆心为G，若与的面积分别为，则取值范围是【答案】【分析】由圆的切线性质结合双曲线的定义可求圆心G的坐标，再利用三角形面积公式及其比值，由此可得取值范围.【详解】如图设切点分别为M，N，Q，由切线的性质可得，所以的内切圆的圆心G的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，．由圆的切线性质，，，所以，因为，所以，，Q横坐标为．因为双曲线的a＝1，b＝，c＝2，可设，设（m＞1），因为，，可得，所以取值范围是，故答案为：.38．（2023上·浙江金华·高二校联考期末）已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为．【答案】【详解】考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程．解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则.直线IF1与IF2的斜率之积：，而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为因此有.再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴，离心率e满足的椭圆，其标准方程为.解法二：令，则．三角形PF1F2的面积：，其中r为内切圆的半径，解得.另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为：.本题中：，代入上式可得轨迹方程为：.39．（2023上·福建三明·高二统考期中）已知点是双曲线上除顶点外的任意一点，分别为左、右焦点，为半焦距，的内切圆与切于点，则.【答案】【分析】由题意结合双曲线的定义分类讨论求解的值即可.【详解】设圆与的切点为点S，与的切点为点T，根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等可知：①当P在双曲线图象的右支时，而根据双曲线的定义可知①；而②，联立①②解得：,所以=b2；②当P在双曲线图象的左支时，而根据双曲线的定义可知③；而④，联立③④解得：，综上,可得.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及其应用，外切圆的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.40．（2023上·河北·高三校联考阶段练习）过双曲线右焦点的直线交两渐近线于、两点，若，为坐标原点，且内切圆半径为，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】A【解析】设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形,则可得离心率.【详解】因为，所以双曲线的渐近线如图所示，设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，，所以，所以，得.故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，属于中档题.41．（2023·山东·校联考一模）点是双曲线右支上一点，分别为左、右焦点.的内切圆与轴相切于点.若点为线段中点，则双曲线离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】设的内切圆圆心为，边上的切点分别为结合切线段长相等及双曲线的定义，可得，可得的横坐标为，由点为线段中点，可得，从而可得离心率.【详解】设的内切圆圆心为，边上的切点分别为易见横坐标相等，则由即得即，记的横坐标为，则，于是，得，由点为线段中点，知.故选:B.42．（2023下·湖北孝感·高二统考期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：首先根据三角形面积的关系，确定出三角形的三边的关系，结合椭圆的定义，得到，再根据椭圆的离心率的公式求得结果.详解：设的内切圆的半径为，根据题意可得，，根据三角形的面积公式，可以求得，整理得，即，故选A.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题的条件，结合焦点三角形的特征，求得对应的离心率的大小.43．（2023·全国·高三专题练习）点P是双曲线的上支上的一点，F1，F2分别为双曲线的上、下焦点，则△PF1F2的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是（

）A．y=3 B．y=3 C．x2+y2=5 D．y=3x22【答案】B【分析】利用圆的切线性质和双曲线定义，结合图形可解.【详解】∵双曲线方程为，∴设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点C则|PA|=|PB|，，，又∵点P在双曲线上支上，∴|PF2||PF1|=2a=6，即（|F2A|+|PA|）(|F1B|+|PB|)=6，化简得|F2A||F1B|=6，即|F2C||F1C|=6，而|F1C|+|F2C|=2c=10，设C点坐标为（0，λ），由|F2C||F1C|=6可得(λ+5)(5λ)=6，解之得λ=3，得C的坐标为（0，3）∵圆M与F1F2切于点C，∴CM⊥y轴，可得CM所在直线方程为y=3故选：B44．（2023·辽宁·统考二模）已知双曲线的左右焦点为为它的中心，为双曲线右支上的一点，的内切圆圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若双曲线的离心率为，则A． B． C． D．与关系不确定【答案】A【详解】F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，|AF1|﹣|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a∴x=a；|OA|=a，在△PCF2中，由题意得，F2B⊥PI于B，延长交F1F2于点C，利用△PCB≌△PF2B，可知PC=PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）=×2a=a．∴|OB|=|OA|．故选A．点睛：这个题目考查了双曲线的几何意义和双曲线的第一定义；用到了焦三角形的的内切圆的性质和结论．一般无论双曲线还是椭圆，和焦三角形的有关的可以想到，焦三角形的的周长，余弦定理，定义的应用，面积公式等．45．（2023·全国·高三专题练习）设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于的方程，解出即可.【详解】∵F到渐近线的距离为，∴，则△FOH的内切圆的半径为，设△FOH的内切圆与FH切于点M，则由，得，即即即，由，得，由于解得，故选：C【点睛】对于直角三角形内切圆半径要记住，根据向量之间关系得到关系式，再将其转化为关于的二次式，再利用，转化为关于的方程，这是求解关于离心率问题的常用方法.46．（2023·山西·统考三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为上一点，若为的内心，且，则的方程可能是A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据为的内心，且得，即，再依次讨论选项即可得答案.【详解】解：因为为的内心，设内切圆的半径为，所以，因为，所以，所以，根据椭圆的定义得：，即.对于A选项，，不满足，故错误；对于B选项，，不满足，故错误；对于C选项，，不满足，故错误；对于D选项，，满足，故正确.故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的性质求解椭圆的方程，解题的核心是通过面积关系和椭圆的定义得到，考查分析解决问题的能力，是中档题.47．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示，点P为椭圆上任一点，，为其左右两焦点，的内心为I，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先连PI延长x轴于D，连，，利用角平分线定理得到，再利用和比定理和椭圆的性质，得到，从而得到面积比值.【详解】解：连PI延长x轴于D，连，．在中有，在中有，故，故．故选：A【点睛】本题考查椭圆的性质和角平分线定理解决三角形面积比值，意在考查转化与化归的思想，数形结合分析问题，属于中档题型，本题的难点是角平分线定理的应用.48．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考一模）椭圆的两焦点是、，为椭圆上与、不共线的任意一点，为的内心，延长交线段于点，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据三角形内角平分线性质定理可得，结合椭圆的定义与基本量的关系求解即可.【详解】连接.在△MF1I中,F1I是∠MF1N的角平分线,根据三角形内角平分线性质定理,，同理可得,故有，根据等比定理.故选：B49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于A，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用离心率求得，然后由抛物线准线方程和双曲线渐近线方程联立可得A、B坐标，结合三角形面积可得p，再由面积公式可得.【详解】由，可得，所以双曲线的渐近线方程为由得，由得，∴，解得，∴，，则的三边长分别为，，．设的内切圆半径为，由，解得.故选：C．50．（2023上·河北石家庄·高三辛集中学阶段练习）已知是椭圆上一点，，是椭圆的左，右焦点，点是的内心，延长交线段于，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，点是椭圆上一点，过点M作BM垂直直线于点，过点作垂直直线于点，设的内切圆半径为，则，由得：又，故得：，所以，由椭圆方程得：，，，所以由与相似，可得：,令，则,可求得：，问题得解．【详解】如图，点是椭圆上一点，过点M作BM垂直直线于点，过点I作垂直直线于点，设的内切圆半径为，则，由三角形面积相等即：得：又，故得：，所以，由椭圆方程得：，，，所以由与相似，可得：,令，则,可求得：，故选A．【点睛】本题主要是利用三角形相似将所求的比值转化成三角形相似比问题，即构造两个三角形相似来处理，对于内切圆问题通常利用等面积法列方程．即：即：=++（其中是的内切圆圆心），从而解决问题．51．（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）设为椭圆:的两个焦点．为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为.【答案】0【分析】因为的内心I的纵坐标为，所以可知道的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，可得到三角形的面积，接着根据焦点三角形的面积确定，进而求出答案.【详解】如图，由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，即，又由焦点三角形的面积，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查通过焦点三角形的面积公式，确定的余弦值，熟悉公式的运用是解决本题的关键.52．（2023·河北石家庄·统考一模）已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1=2r2，则直线l的斜率为（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内心D，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，则C、E横坐标相等，根据外接圆的性质及双曲线的定义求得的横坐标，可得CD⊥x轴，设直线的倾斜角为θ，∠OF2D=，∠CF2O=90°﹣，结合r1=2r2，分析运算即可得出答案.【详解】解：记△AF1F2的内切圆圆心为C，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，则C、E横坐标相等，则|AM|=|AN|，|F1M|=|F1E|，|F2N|=|F2E|，由|AF1|﹣|AF2|=2a，即|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）=2a，得|MF1|﹣|NF2|=2a，即|F1E|﹣|F2E|=2a，记C的横坐标为x0，则E（x0，0），于是，得x0=a，同理△BF1F2的内心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，设直线的倾斜角为θ，则∠OF2D=，∠CF2O=90°﹣，在△CEF2中，tan∠CF2O=tan（90°﹣）=，在△DEF2中，tan∠DF2O=tan，由r1=2r2，可得2tan=tan（90°﹣）=，解得tan，则直线的斜率为tanθ==2.故选：D.53．（2023·江西抚州·统考一模）点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，设的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点，根据圆的切线可知：，，，又根据双曲线定义，即，所以，即，又因为，所以，，所以点为右顶点，即圆心，考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，此时方程为，此时圆心到直线的距离为，解得，因此内切圆半径，所以选择A.考点四圆锥曲线与垂心问题54．（2023上·天津和平·高二天津一中校考期末）双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，解得，根据计算得到答案.【详解】设，则解得：，同理，根据得到解得故选：【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.55．（2023·全国·高三专题练习）已知：椭圆的右焦点为为上顶点，为坐标原点，直线交椭圆于两点，当为的垂心时，则的面积为．【答案】【分析】设直线方程为并代入椭圆方程，由，根据韦达定理求出参数，再结合三角形面积公式即可求出结果．【详解】∵为的垂心，∴又因为，∴，设直线方程为，联立得，可得，即，且可得，∵，∴，即解得或，当时，三点共线（舍去），∴，此时，，点到直线的距离．∴．故答案为：56．（2023·全国·高三专题练习）已知点在椭圆C：上，过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上．则实数的取值范围是．【答案】【分析】（1）当直线斜率不存在时，设，此时，由联立求解即可；（2）当直线斜率存在时，设，，设直线方程为：，由AB⊥QT可得，由BT⊥AQ可得，化简得（*），联立直线与椭圆，结合韦达定理可得，即可代入（*）得，又，最后求解上述不等式即可.【详解】（1）当直线斜率不存在时，设，此时，则，∴，又，联立解得或（舍去），∴.（2）当直线斜率存在时，设，，设直线方程为：，直线QT的斜率为，∵AB⊥QT，∴，即，又∵BT⊥AQ，∴，即，（*）联立化为，则，，，∴，，代入（*）可得．∴，解得，综上可知：实数m的取值范围为．故答案为：【点睛】（1）直线需讨论斜率存在与否；（2）三角形垂心成立，相当于满足两组高和底垂直即可，即可结合向量来表示；当使用到坐标时，可以联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理来表示，最后还需满足57．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知椭圆的上顶点为，直线与该椭圆交于两点，且点恰为的垂心，则直线的方程为.【答案】【分析】设PQ直线y＝x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），，3x2+4mx+2m2﹣2＝0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．【详解】上顶点，右焦点F为垂心因为＝﹣1，且FM⊥l，所以k1＝1，所以设PQ直线y＝x+m，且设P（x1，y1），Q（x2，y2）由消y，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，m2＜3．y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2．又F为△MPQ的垂心，∴PF⊥MQ，∴又∴∴，∴经检验满足m2＜3∴存在满足条件直线l方程为：x﹣y+1＝0，3x﹣3y﹣4＝0∵x﹣y+1＝0过M点即MP重合不构成三角形，∴3x﹣3y﹣4＝0满足题意．故答案为【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查垂心的几何性质，考查韦达定理的应用，属于中档题.58．（2023下·江苏·高一校考期末）已知内接于抛物线，其中O为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则的外接圆方程为.【答案】【分析】由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积等于﹣1即可求得直线MN的方程，即可求出点C的坐标，问题得以解决．【详解】∵抛物线关于x轴对称，内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，三边上的高过焦点，∴另两个顶点A，B关于x轴对称，即△ABO是等腰三角形，作AO的中垂线MN，交x轴与C点，而Ox是AB的中垂线，故C点即为△ABO的外接圆的圆心，OC是外接圆的半径，设A（x1，2），B（x1，﹣2），连接BF，则BF⊥AO，∵kBF，kAO，∴kBF•kAO＝•1，整理，得x1（x1﹣5）＝0，则x1＝5，（x1＝0不合题意，舍去），∵AO的中点为（，），且MN∥BF，∴直线MN的方程为y（x），当x1＝5代入得2x+4y﹣90，∵C是MN与x轴的交点，∴C（，0），而△ABO的外接圆的半径OC，于是得到三角形外接圆方程为（x）2+y2＝（）2，△OAB的外接圆方程为：x2﹣9x+y2＝0，故答案为x2﹣9x+y2＝0．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题59．（2023·全国·高三专题练习）若曲线：上一点，是否存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为．则直线的方程为．【答案】【分析】利用代入法，根据三角形垂心的性质，结合平面向量数量积的性质和坐标表示公式进行求解即可.【详解】把代入中，得，即，假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为，设，显然直线的斜率为，则直线的斜率为，设直线的方程是，由，消去化简得：，即∵的垂心为，∴即，或当时，直线的方程是，过点，不合题意，舍去，∴存在这样的直线，其方程是，故答案为：【点睛】关键点睛：根据三角形垂心的性质，结合平面向量数量积的性质是解题的关键.60．（2023·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上，点是抛物线的焦点，线段的中点为．若点的坐标为，且是的垂心，则直线的方程；【答案】【分析】根据给定条件，求出直线AB的斜率，并设出方程，再与的方程联立，借助韦达定理及向量垂直的坐标表示计算作答.【详解】抛物线的焦点，则直线MF的斜率，而为的垂心，即有，直线AB的斜率为，设的方程为，由消去y并整理得：，于是得，，，，，由得，，解得，而，则有，所以直线的方程为.故答案为：61．（2023·全国·高三专题练习）已知点是抛物线上的一点，过点作两条直线与，分别与抛物线相交于异于点的两点．若直线的斜率为1且的垂心在轴上，则直线的方程．.【答案】【分析】先联立直线与抛物线方程后结合韦达定理得到，，同时由得，再由条件求得直线的方程，进而求出的坐标，接着根据及斜率公式，代入整理得，从而求得直线的方程．【详解】据题题意，如图，设，直线的方程为，联立，消去，