高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆练习 理 试题

【创新设计】（全国通用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：45分钟)一、选择题1.椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1(m＞0)的焦距为2，则m的值等于()A.5 B.3 C.5或3 D.8解析当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当0<m<4时，4－m＝1，∴m＝3.答案C2.“2<m<6”是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆.则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))∴2<m<6且m≠4.故“2<m<6”是“eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的必要不充分条件.答案B3.(2016·西安质量检测)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq\f(1,2)，则C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,4)＋y2＝1解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故选C.答案C4.(2016·兰州诊断)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为eq\f(\r(6),6)|F1F2|，则椭圆C的离心率e＝()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(3),3)解析设椭圆C的焦距为2c(c<a)，由于直线AB的方程为bx＋ay－ab＝0，∴eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(6),3)c，∵b2＝a2－c2，∴3a4－7a2c2＋2c4＝0，解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝eq\f(\r(2),2).答案A5.(2016·江西师大附中模拟)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为eq\f(\r(3),2)，则eq\f(b,a)的值为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(2\r(3),3) C.eq\f(9\r(3),2) D.eq\f(2\r(3),27)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则axeq\o\al(2,1)＋byeq\o\al(2,1)＝1，axeq\o\al(2,2)＋byeq\o\al(2,2)＝1，即axeq\o\al(2,1)－axeq\o\al(2,2)＝－(byeq\o\al(2,1)－byeq\o\al(2,2))，eq\f(byeq\o\al(2,1)－byeq\o\al(2,2),axeq\o\al(2,1)－axeq\o\al(2,2))＝－1，eq\f(b（y1－y2）（y1＋y2）,a（x1－x2）（x1＋x2）)＝－1，∴eq\f(b,a)×(－1)×eq\f(\r(3),2)＝－1，∴eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(3),3)，故选B.答案B二、填空题6.若椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是________.解析由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝10，又|PF1|＝6，∴|PF2|＝4.答案47.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq\r(6)，1)、P2(－eq\r(3)，－eq\r(2))，则椭圆的方程为________.解析设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).∵椭圆经过点P1、P2，∴点P1、P2的坐标适合椭圆方程.则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6m＋n＝1，①,3m＋2n＝1，②))①、②两式联立，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))∴所求椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝18.(2015·福建卷改编)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq\f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是________.解析设椭圆的左焦点为F1，半焦距为c，连接AF1，BF1，则四边形AF1BF为平行四边形，所以|AF1|＋|BF1|＝|AF|＋|BF|＝4.根据椭圆定义，有|AF1|＋|AF|＋|BF1|＋|BF|＝4a，所以8＝4a，解得a＝2.因为点M到直线l：3x－4y＝0的距离不小于eq\f(4,5)，即eq\f(4b,5)≥eq\f(4,5)，b≥1，所以b2≥1，所以a2－c2≥1，4－c2≥1，解得0＜c≤eq\r(3)，所以0＜eq\f(c,a)≤eq\f(\r(3),2)，所以椭圆的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))三、解答题9.(2014·新课标全国Ⅱ卷)设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解(1)根据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)或eq\f(c,a)＝－2(舍去).故C的离心率为eq\f(1,2).(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（－c－x1）＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c.,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②将①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9（a2－4a）,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).10.(2015·安徽卷)设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为eq\f(\r(5),10).(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为eq\f(7,2)，求E的方程.解(1)由题设条件知，点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(1,3)b))，又kOM＝eq\f(\r(5),10)，从而eq\f(b,2a)＝eq\f(\r(5),10)，进而得a＝eq\r(5)b，c＝eq\r(a2－b2)＝2b，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为eq\f(x,\r(5)b)＋eq\f(y,b)＝1，点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)b，－\f(1,2)b)).设点N关于直线AB的对称点S的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(7,2)))，则线段NS的中点T的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),4)b＋\f(x1,2)，－\f(1,4)b＋\f(7,4))).又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，从而有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\f(\r(5),4)b＋\f(x1,2),\r(5)b)＋\f(－\f(1,4)b＋\f(7,4),b)＝1，,\f(\f(7,2)＋\f(1,2)b,x1－\f(\r(5),2)b)＝\r(5).))解得b＝3.所以a＝3eq\r(5)，故椭圆E的方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,9)＝1.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2016·汕头一模)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()A.3个 B.4个 C.6个 D.8个解析当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个.答案C12.(2016·唐山模拟)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线eq\r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3)－1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)－1解析法一设A(m，n)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋c)×（－\r(3)）＝－1，,\r(3)×\f(m－c,2)＋\f(n,2)＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入椭圆C中，有eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴c4－8a2c2＋4a4＝0，∴e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4±2eq\r(3)，∵0<e<1，∴e＝eq\r(3)－1.法二借助于椭圆的定义，本题还有如下简洁解法：设F′是椭圆的右焦点，连接AF，AF′.由已知得△AFF′是直角三角形，其中∠A＝90°，∠AFF′＝30°，∵|FF′|＝2c，∴|AF|＝eq\r(3)c，|AF′|＝c，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|FF′|,|AF|＋|AF′|)＝eq\f(2c,c＋\r(3)c)＝eq\r(3)－1，故选D.答案D13.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率等于eq\f(1,3)，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，eq\f(sinA＋sinB,sinC)的值等于________.解析在△ABC中，由正弦定理得eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(|CB|＋|CA|,|AB|)，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(1,e)＝3.答案314.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为eq\f(1,2)，且经过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2，1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由.解(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4keq\o\al(2,1))x2－8k1(2k1－1)x＋16keq\o\al(2,1)－16k1－8＝0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以Δ＝[－