5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式（第3课时）（教师版）2023-2024学年人教版高中数学必修一

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第3课时）【学习目标】和角公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明；3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．【教材知识梳理】一．二倍角公式三角函数公式简记正弦sin2α＝____________S2α余弦cos2α＝___________=___________=__________C2α正切tan2α＝__________T2α解读：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的二倍，α是eq\f(α,2)的二倍等.二．正弦的二倍角公式的变形1.sinαcosα＝_________；±sin2α＝(sinα±cosα)2.三．余弦的二倍角公式的变形1.降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；2.升幂公式：，.概念辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)二倍角的正弦、余弦和正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(3)公式也是二倍角公式.()(4).()【答案】一.2sinαcosαcos2α－sin2αeq\f(2tanα,1－tan2α)二．概念辨析：(1)×(2)√(3)√(4)×【教材例题变式】例1.（源于P221例5）已知，且为第三象限角，求，，的值．【答案】因为，且为第三象限角，所以，，则，所以为第二象限或第四象限角.由，当为第二象限角时，；当为第四象限角时，.例2.（源于P222例6）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．归纳：给值求值问题的关键是注意挖掘角与角的关系，利用角的配凑解决.【教材拓展延伸】例3.求下列各式的值：（1）coscos；（2）；（3）.【答案】（1）.（2）.（3）.例4.（1）设sin，则_______.（2）设，，则tan2α的值是_____．【答案】（1）（2）（1），平方得，所以，即.（2）∵，，∴，，∴，则．故答案为.例5.（1）若，则_________．（2）设α为锐角，若，则___________．【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，所以，所以.（2）∵α为锐角，∴α＋eq\f(π,6)∈.又∵cos＝eq\f(4,5)，∴sin＝eq\f(3,5)，∴sin＝2sincos＝eq\f(24,25)，cos＝2cos2－1＝eq\f(7,25)，∴sin＝sin＝sincoseq\f(π,4)－cossineq\f(π,4)＝eq\f(24,25)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(7,25)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(17\r(2),50).例6．已知，，，，求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）因为，，所以，，所以，，所以.（2）因为，，所以，所以，所以.【课外作业】基础过关1．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，故选B.2．已知是第三象限的角，且，那么的值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，∴，∵，∴，∵角是第三象限角即，∴，∴，故选A．3．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以.故选：B4．设，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，又，所以，故选：D.5．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，，，解得，，.故选：A.6．（多选）下列计算正确的是（）A．1B．1﹣2sin275°C．cos4sin4D．cos275°+cos215°+cos75°cos15°【答案】ACD【详解】对于A，tan45°＝1，故正确；对于B，1﹣2sin275°＝cos150°，故错误；对于C，cos4sin4（cos2sin2）（cos2sin2）＝cos2sin2，故正确；对于D，cos275°+cos215°+cos75°cos15°＝cos275°+sin275°+cos75°sin75°＝1sin150°＝1，故正确．故选：ACD．7．计算：___________.【答案】【详解】解：.故答案为：8．已知，，则________.【答案】【详解】由，又，所以，所以，又，所以或（舍去），所以.9.已知sin＝eq\f(5,13)，0<x<eq\f(π,4)，求的值．【答案】∵0<x<eq\f(π,4)，∴0<eq\f(π,4)－x<eq\f(π,4).又∵sin＝eq\f(5,13)，∴cos＝eq\f(12,13).∵cos2x＝sin＝2sincos＝2coscos＝2coscos，∴.能力提升10．设则有（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，因为在上单调递增，所以，所以.故选：C11．（多选）已知函数，下列结论中正确的是（

）A． B．函数的图象关于直线对称C．的最小正周期为 D．的值域为【答案】ABC【详解】，A选项正确，，所以函数的图象关于直线对称，B选项正确，的最小正周期为，C选项正确，的值域为，D选项错误.故选：ABC12．（多选）在中，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．【答案】ACD【详解】因为，，所以，所以，，故A选项正确；所以，，即；所以，故D选项正确；所以，即或，所以或，故B选项错误；当时，，，当且仅当时，此时，不满足内角和定理；当时，，，当且仅当时，此时，满足题意.综上，的最大值为，故C选项正确.故选：ACD.13．若，，则________.【答案】【详解】.14．若tan+=4，则sin2=________．【答案】【详解】因为，所以..15．已知，均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）因