射影面积法求二面角

射影面积法〔〕凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式〔cos〕求出二面角的大小。如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。图1图1SDCBA解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S△SCD与S△SAB即可，故所求的二面角θ应满足===。例2．〔2023北京理〕如图，在三棱锥中，，，，．〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕求二面角的大小；AACBP解：〔Ⅰ〕证略〔Ⅱ〕，，．ACBEP又ACBEP又，即，且，平面．取中点．连结．，．是在平面内的射影，．∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影，于是可求得：，，那么，设二面角的大小为，那么∴二面角的大小为练习1：如图5，E为正方体ABCD－A1B1C1D1棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1锐角的余弦值.〔答案：所求二面角的余弦值为cosθ=〕.AA1D1B1C1EDBCA图52.如图一，在四棱锥中，底面是矩形，平面，,,分别是的中点.(1)证明：平面；〔2〕求平面与平面夹角的大小.题〔1〕解略；题〔2〕中平面与平面夹角即为平面与平面所成的锐二面角.方法一：垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角.如图一：平面，平面,.又,平面.又平面,平面平面.由题〔1〕，平面，平面，平面平面.所以是所求二面角的平面角.,即平面与平面夹角为.方法二：平移平面法如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到适宜的位置以便作出二面角的平面角.如图二：取的中点，连接.分别是的中点，.又,平面平面.二面角的大小就是平面与平面夹角的大小.可以证明为二面角的平面角，并求出其大小为.方法三：射影法利用公式，其中表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积，表示此多边形在另一个半平面射影的面积，表示原图形与射影图形所成的二面角.如图三：取的中点，连接,为中点,.由解法一知，平面,平面，平面,点、在平面内的射影分别为、.在平面上的射影为.可以证明和均为直角三角形.,四边形为平行四边形，.记平面与平面夹角为，那么,所以，即平面与平面夹角为.3.是正三角形，平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。EEPCBAF[思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，此题可利用三垂线定理〔逆〕来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1：〔三垂线定理法〕取AC的中点E，连接BE，过E做EFPC,连接BF平面ABC，PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC图1BE平面PAC图1由三垂线定理知BFPC为二面角A-PC-B的平面角设PA=1,E为AC的中点，BE=,EF=tan==argtan解2：〔三垂线定理法〕PCBAEFPCBAEFMAB=AC,PB=PCAEBC,PEBCBC平面PAE,BC平面PBC图2平面PAE平面PBC,平面PAE平面PBC=PE图2由三垂线定理知AMPC为二面角A-PC-B的平面角设PA=1，AM=,AF=sin=PCBAEPCBAE解3：〔投影法〕过B作BEAC于E,连结PE平面ABC，PA平面PAC图3平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC图3BE平面PAC是在平面PAC上的射影设PA=1,那么PB=PC=,AB=1,由射影面积公式得，,4.在单位正方体中，求二面角的度数。三垂线法利用三垂线定理或逆定理构造出二面角的平面角，进而求解。解法一.作取的中点,连结.由三垂线逆定理知为所求二面角的平面角