2023人教版八年级下学期数学练习

第十八章平行四边形

18.2.2菱形

基础过关全练

知识点1菱形的定义

1.如图，在平行四边形A3CO中,对角线AC、BD交于点。，添加下列条件，能使平行

四边形ABCD成为菱形的是

A.AO=BOB.AC=ADC.AB=BCD.OD=AC

知识点2菱形的性质

2.（2022福建泉州期末）已知菱形A3CQ的对角线4。,8。相交于点0,若"=5,4。=6,

则BD的长是

3.（2020湖北荆门中考）如图,在菱形ABCD中,&F分别是的中点，若瓦'=5,

则菱形ABCD的周长为

4.图①是不锈钢伸缩电动门，图②是不锈钢伸缩电动门中相邻的三个全等的菱形

示意图，根据实际需要可调节A,E间的距离，已知菱形43co的边长为20cm,当A,E

间的距离调节到60cm时,NQAB的度数是.

I)

图①图②

5.如图，在菱形ABCD中，若N3=60。，点E从点D出发,沿折线DC-CB方向移动,

移动到点B停止，在△AOE形状变化过程中，依次出现的特殊三角形

是.

A,--------------78

二

uEC

6.（2021贵州黔东南州中考）如图,是菱形ABCD的一条对角线，点E在3c的延

长线上，若NAO3=32°,则NQCE的度数为度

7.（2022天津南开期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点,CE〃9,

连接OE交BC于F.

⑴求证:0E=C3;

⑵如果3D=24,AQ=13,求四边形OBEC的周长.

知识点3菱形的面积

8.如图，菱形ABCD的边长为4,Z5=120。，则菱形ABCD的面积为()

DC

B.4V3C.8V3

9.【一题多变】如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,Q8=6,Q”，A8于点〃，则DH=

()

［变式］如图,在菱形ABCD中,A8=10,AC=12,过点D作DELBA,交BA的延长线

于点田则线段。E的长为

10.【教材变式-P56例3变式】如图所示,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,

其中对角线BD的长为10cm,则对角线AC的长为

cm,菱形ABCD的面积为cm2.

11.已知菱形ABC。的面积为24cn?,对角线AC的长为6cm,则菱形的另一条对角

线BD的长为，菱形ABCD的周长为.

知识点4菱形的判定

12.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O且互相平分.添加下列条件，仍不

能判定四边形ABCD为菱形的是()

A.AC=BDB.AB=AD

C.AC.LBDD.ZABD=ZCBD

13.（2020广西玉林中考）如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重

合部分构成的四边形A8CO菱形（填"是”或“不是”）.

14.【新考法】（2022浙江嘉兴中考）小惠自编一题:“如图，在四边形A8C。中，对角

线交于点0,AC，8D,0B=0D求证:四边形A8CD是菱形”，并将自己的证

明过程与同学小洁交流.

小惠：

小洁：

证明:'.•ACL8D,08=00,

这个题目还缺少条

...AC垂直平分8D

件，需要补充一个条

：.AB=AD,CB=CD,

件才能证明.

四边形ABC。是菱形.

若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“J”；若赞成小洁的说法,请你补充一个

条件，并证明.

15.【面积法】如图，在四边形4BCD中,NBAC=90°是3c的中点,

//DC,EFLCD于点F.

⑴求证:四边形AECZ)是菱形;

(2)若AB=3,AC=4,求EF的长.

能力提升全练

16.（2022海南海口期末如图,在菱形ABCD中,E是8C的中点8c

连接AC,则N84D等于（）

AI)

A.60B.100°C.110°D.120°

17.(2022上海联考如图，在RtAAfiC中,NAC8=90。，平行四边形BCDE

的顶点E在边AB上，连接CE、AD添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形

的是)

A.CE1ABB.CD1ADC.CD=CED.AC=DE

18.(2020黑龙江龙东地区中考,如图，菱形A8CQ的对角线AC、3。相交

于点O,过点D作DH1AB于点〃，连接OH,若0A=6,S菱形独口=48,则OH的长为

()

I)

A.4B.8C.V13D.6

19.(2022内蒙古呼和浩特中考,必★★☆汝口图,四边形A3CD是菱形,ND48=60

点E是D4中点厂是对角线AC上一点，且NQM=45°,则AF：FC的值是()

A.3B.V5+1C.2V2+1D.2+V3

20.（2022辽宁营口中考,14,★☆☆）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△£）跖,

只需添加一个条件即可证明四边形ABE。是菱形，这个条件可以是.（写出

一个即可）

,4I）

21.（2022黑龙江哈尔滨中考,20,★★☆）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于

点O,点E在OB上，连接AE,点F为CD的中点，连接0£若AE=BE,OE=3,OA=4,

则线段OF的长为.

22.（2021山西中考,13,★★☆）如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点

O,BD=S,AC=6,OE//AB,^.BC于点石,则OE的长为.

23.（2022江苏无锡期中，*,★★☆＞如图，在四边形ABCD中,AO〃BC,N

C=90°,A8=AQ,连接BD,^ZBAD的平分线AE分别交BD、BC于点0、E.若

EC=3,C0=4,那么AE的长为.

24.【学科素养•推理能力】(2021湖北十堰中考,21,★★☆)如图,已知在△ABC

中，。是AC的中点，过点D作DE±AC交8C于点E,过点A作AF//BC交直线DE

于点/，连接AE、CF.

⑴求证:四边形4ECT是菱形；

⑵若CF=2,ZFAC=30°,N3=45"求A3的长.

素养探究全练

25.【推理能力】如图，在平面直角坐标系中放置一菱形0A8C,已知乙43C=60°,

点8在y轴上,。4=1.将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60。，连

续翻转2021次，点B的落点依次为8,则点&023的坐标为()

0\瓦⑸(瓦)J

A.(l347,0)B.(l347.5,y)

C.(l349,0)D.(l349.5,y)

26.【几何直观】已知△ABC和△口£尸都是边长为10cm的等边三角形，且3、C、

D、E在同一直线上，连接AD、CF.若BD=3cm,Z\A8C沿着BE方向以每秒1cm

的速度运动，设△ABC的运动时间为fs.

⑴当，为何值时,四边形AO尸C是菱形？

⑵当t为何值时,四边形ADFC是矩形？并求其面积.

⑶当t为何值时,四边形ADFC的面积是100V3cm2?

答案全解全析

基础过关全练

1.C根据菱形的定义可得，当AB=BC时尸ABC。是菱形，故选C.

2.D如图,二•四边形43co是菱形,AC=6,

，OA=OC=3,OB=OD,AC.LBD,

在RtAA05中,根据勾股定理，得0BZAB2—。42=V52-32=4,

.•.30=203=8,故选D.

3.C,：E,F分别是AD,BD的中点，

EF是AABD的中位线，.=EF=^AB=5,AB=10,

四边形ABCD是菱形,.,.BC=CO=AQ=A3=10,

.••菱形A.BCD的周长=4AB=40.故选C.

4.答案120°

解析连接AE（图略），由已知得A、C、E三点共线，且AE=3AC,

AE=60cm,.*.AC=20cm,

,菱形的边长AB=20cm,BC=AB=20cm,

：.AC=AB=BC,：./\ABC是等边三角形，

ZCAB=60°,：.ZDAB=2ZCAB=120°.

5.答案直角三角形一等边三角形一直角三角形->等腰三角形

解析因为NB=60°,所以菱形由两个等边三角形组合而成，当AE1DC时,△

AQE为直角三角形；

当点E到达点C处时,△AQE为等边三角形；

当E为CB中点时,△AOE为直角三角形；

当点E与点B重合时,△40E为等腰三角形.

6.答案64

解析二•四边形ABCD为菱形,/4。8=32°,

，ZCDB=ZADB=32°,AD//BC,

：.NDCE=NADC=NADB+/CDB=64°.故答案为64.

7.解析(1)证明:：点0是菱形ABCD对角线的交点，

：.BDLAC,：.ZBOC=90°,

又，：CE"BD'EB"NC、

四边形OBEC为矩形,Z.OE=CB.

(2),点0是菱形ABCD对角线的交点，

BD±AC,OA=OC,OB=OD=^BD=\2,

：.ZAOD=90°,

在RtAAOD中,。4="1。2一。。2=在32-422=5,

：.OC=5,：.四边形OBEC的周长=2X(5+12)=34.

8.C连接80(图略),•.•四边形ABCD是菱形，

.,.AD//BC,AD=AB,SAABD=SABCD.

又，:ZABC=120。，，ZA=60°,

.,.△ABD为等边三角形,...5掘8。=遗x42=4V3,

4

，菱形ABCD的面积是8g.故选C.

9.B四边形ABCD是菱形,AC=8,Q8=6,

OA=OC=4,OB=OD=3,AC±BD,

在RtZXAOB中,A8=，32+42=5,

1

菱形c•BD=DH•AB,

.,JX8X6=Q"・5,.\Q"=g.故选B.

［变式］D如图，设AC与8□的交点为0,

四边形ABCD是菱形,：.AO=OC=6,BO=DO,AC±BD,

：.BO=y/AB2-AO2=<100—36=8,.•.30=16,

1

S菱形ABCD=AB*DE--AC,BD,

...DE=KF=£,故选D.

10.答案24;120

解析,/四边形ABCD为菱形,80=10cm,

11

，ZAED=90°,DE=^BD=|x10=5(cm),AC=2A£,

VAD=13cm,AE=y/AD2—DE2=V132—52=12(cm),

：.AC=2AE=2X12=24(cm),

菱形ABCD^BD=|xi0X24=120(cm2).

11.答案8cm；20cm

解析：菱形ABCD的面积=，C•BD=24cm2,AC=6cm,.1.BD=8cm.

・'•菱形43c。的边长=[6)+(|)=5(cm),

/.其周长=4X5=20(cm).

12.A:四边形ABCD的两条对角线相交于点0,且互相平分,

...四边形ABCD是平行四边形,J.AD//BC,

当AC=BD时，可判定口49co是矩形；

当AB=AD或ACLBD时，均可判定口A3CD是菱形；

当NA3Q=NCBQ时，

由AQ〃3C得,NCBD=/ADB,Z./ABD=/ADB,

：.AB=AD,：.^ABCD是菱形.故选A.

13.答案是

解析如图，过A作AELBC于点心4凡LQC于点F,

'：AB//CD,AD//BC,：.四边形ABCD是平行四边形，

由题意知,AE=4F,

-'-S平行四边形ABCD=3C,AE=DC,AF,

：.BC=DC,^ABCD是菱形.

14.解析本题以小惠与小洁对话的形式呈现题目，考查菱形的判定.

赞成小洁的说法，补充条件：O4=0C.证明如下：

'：OA=OC,OB=OD,

，四边形ABCD是平行四边形,

又•.•ACL3Q,.•.平行四边形ABCD是菱形.

15.解析（1）证明:：4。〃8。,4E〃。。,

...四边形AECD是平行四边形,

,/ZBAC=90°,E是BC的中点,

：.AE=CE=^BC,：.四边形AECD是菱形.

⑵过A作A”_L8C于点〃，如图，

ZBAC=90°,AB=3,AC=4,

：.BC=y/AB2+AC2=5,

AABC的面积-AH=-AB•AC,

22

・.AB-AC12

..AHrr-------=—,

BC5

,/四边形AECD是菱形,，CD=CE,

12

,：SUAECD=CE•AH=CD•EF,：.EF=AH关.

能力提升全练

16.D•:E是BC的中点,AEJ_BC，AB=AC,

,Z四边形ABCD是菱形,工A8=BC,Ar>〃8C,

：.AB=BC=AC,ZBAD+ZABC=1SO°,

：.ZXABC是等边三角形,ZA5C=60°,

，ZBAD=1800-ZAfiC=180°-60°=120°,故选D.

17.C添加CD=CE,可以使四边形ADCE成为菱形.理由:如图，设AC与ED交于

点O,

四边形BCDE是平行四边形,.

ZA0E=ZACB=9Q°,：.AC±DE,

"：CD=CE,OD=OE,

'：AB//CD,：.ZEAO=ZDCO,

Z.EAO=Z.DCO,

在△AOE和△CO。中,440E=乙COD,

OE=OD,

△AOE^ACOD(AAS),OA=OC,

：OD=OE,四边形ADCE是平行四边形，

'：CE=CD,四边形ADCE是菱形.

故选C.

18.A:四边形ABCD是菱形,。4=6,

OC=OA=6,OB=OD,ACLBD,：.AC=U,

'：DH1AB,：.NBHD=90°,：.OH=-BD,

菱形•BD=；义12X30=48,

BD=8,0"=渺)=4.故选A.

19.D连接DB交AC于点O,连接OE,BE,

,/四边形ABCD是菱形,ND43=60

ZDAC=^ZDAB=30°,AC.LBD,AC=2AO,AB=AD,

,/ZAOD=90。，点E是DA中点，

OE=AE=DE=^AD,：.设OE=AE=DE=a,

.,.AD=2a,.JOD=-AD=a,

2

在RtAAOD中,AO=，4D2一。。2=^（2a）2-a2=取a,

：.AC=2AO=2V3a.

■;EA=EO,ZEOA=ZEAO=300,

：.ZDEO=ZEAO+ZEOA=60°,

,：ZDEF=45°,：.Z0EF=ZDE0-ZDEF=15°,

：.ZEFO=ZEOA-ZOEF=15°,

：.ZOEF=ZEFO,：.OF=OE=a,

/.AF=AO+OF=y/3a+a,/.CF=AC-AF=V3a-a,

QQV3+1

•AFV3+=2+75,故选D.

CF'J3ct-a.\/3-1

20.答案A3=AQ（答案不唯一）

解析这个条件可以是48=4。.理由如下:

由平移的性质得AB//DE,AB=DE,

...四边形ABED是平行四边形，

•.平行四边形A3EQ是菱形.（答案不唯一）

21.答案2伤

解析:•四边形ABC。是菱形,

：.AC±BD,CO=AO=4,BO=DO,

：.AE=yjAO2+EO2=V16+9=5,BE=AE=5,

：.50=5+3=8,ABC=yjB02+CO2=V64+16=4倔

•.•点/为CZ)的中点、,B0=D0,(?F=|BC=2V5.

22.答案|

解析•••菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,：.AB//

11

CD,OC=^AC=3,0B^BD=4,AC±BD,/ABD=/CBD,ZACB=ZACD.

'：0E//AB,：.AB//CD//OE,

：.ZABO=ZBOE,ZEOC=ZDCO,

：.ZBOE=ZOBE,ZEOC=ZECO,：.BE=0E=CE.

在RtAfiCO中,由勾股定理得BCfl32+42=5,

0E=~2.

23.答案2①

解析如图,连接。E

AD

在RtACDE中,EC=3,C0=4,

根据勾股定理，得。£=所存=5,

,.,AB=A0,A£为N8AD的平分线，

：.AE垂直平分BD,ZBAE=ZDAE,

：.BE=DE=5,OB=OD.

'：AD//BC,ZDAE=ZAEB,：.ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE=AD=DE,

.,.BC=3E+EC=8,四边形ABED是菱形,：.AE=2OE,

由勾股定理得BD=y/CD2+BC2=V42+82=475,

0B=2®：.OE=y]BE2-BO2=J52-(2A/5)2=遮

.,.AE=2OE=2倔故答案为2V5.

24.解析⑴证明:\•点。是AC的中点,：.AD=CD,

'：AF//BC,：.ZFAD=ZECD,ZAFD=ZCED,

：.△AFD^ACED(AAS),

：.AF=CE,：.四边形AECF是平行四边形，

又EFA.AC,：.四边形AECF是菱形.

(2)如图，过点A作AGLBC于点G,

由⑴知四边形AECT是菱形，

y.'：CF=2,ZFAC=30°,

：.AE=CF=2,ZFAE=2ZFAC=6Q°,

'：AF/