立体几何核心知识点梳理

第4页共7页立体几何核心知识点梳理江苏省靖江高级中学蔡正伟一、考试内容1．平面；平面的基本性质；平面图形直观图的画法.2．两条直线的位置关系；平行于同一条直线的两条直线互相平行；对应边分别平行的角；异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.3．直线和平面的位置关系；直线和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定与性质；点到平面的距离；斜线在平面上的射影；直线和平面所成的角；三垂线定理及其逆定理.4．两个平面的位置关系；平面平行的判定与性质；平行平面间的距离；二面角及其平面角；两个平面垂直的判定与性质.5．（理科）空间向量共线、共面的充分必要条件，空间向量的加法、减法及数乘运算，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积，空间向量的共线与垂直，直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量求立体几何中的角.二、考试要求1．掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.2．能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆.3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图.能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.4．（理科）会用空间向量计算线线角，线面角，面面角.三、考点简析1．空间元素的位置关系空间由点，线，面3个元素构成，立体几何主要研究线和线，点和面，线和面，面和面之间的关系.两条直线关系包括相交，平行，异面；直线和平面之间的关系包括线在面内，线面相交（包括斜交和垂直），线面平行；面面关系包括面面相交（包括斜交和垂直），面面平行.2.平行、垂直位置关系的转化立体几何中的证明只要围绕着平行和垂直展开.线线平行，线面平行，面面平行证明是相互依赖的，线线垂直，线面垂直，面面垂直也是相互依赖.需要对每一种关系的判定定理和性质定理充分理解，证明过程中，需要列出相应的条件，得出结论.3.棱柱、棱锥、棱台，球等空间几何体空间几何体一般是最为考题的载体，需要熟悉各种几何体的定义.其中还会涉及一些几何体的体积和表面积的相关问题，尤其是四面体体积的求法.4.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化直线方向向量夹角；如果分别是异面直线的方向向量,它们的夹角为,则当时,异面直线所成的角即为；当时,异面直线所成的角即为.③直线与平面所成的角——转化为直线的方向向量和平面的法向量夹角；如果是直线的方向向量,是平面的法向量,与的夹角为,则直线与平面所成的角等于.④二面角——转化成两个平面的法向量夹角.设二面角的大小为，另个平面的法向量分别为，因为二面角的取值范围是,所以二面角与这两个平面的法向量的夹角相等或互补,具体判断必须借助具体图形来确定.（2）距离主要考点是点到面的距离，常用的方法有：①等体积法——构造恰当的四面体，利用四面体的体积换底算两面遍，求出相应四面而BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1∴AB⊥B1C而AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1.∴B1C⊥平面ABC1，而B1C⊂平面B1∴平面ABC1⊥平面B1CD.点评：其实证明面面垂直就是证明线面垂直，不同的是需要我们找哪条直线垂直哪个平面，一般方法是如果是要证明，那么就在内找一条直线证明，或者在内找一条直线证明ABCD例4如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．ABCD（1）求证：平面；（2）求二面角的三角函数值；（理科学生研究）（3）求点到平面的距离．分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．对于二面角的求法，可以先找后求，主要难点是在找的过程，这种求法目前已不做要求，有兴趣可以去研究思考.求二面角也可以用空间向量来求，这个在附加卷中可能会出现，文科学生不必深究了.解析：：解法一：（1）取中点，连结．ABCDOABCDOF正三棱柱中，平面平面，平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．在正方形中，，平面．（2）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（1）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，．所以二面角的正弦值为．（3）中，，．在正三棱柱中，到平面的距离为．设点到平面的距离为．由，得，．点到平面的距离为．解法二：（1）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．xzABCDOFy取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，xzABCDOFy，，．，，，．平面．（2）设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（1）知平面，为平面的法向量．，．二面角的大小为．（3）由（2），为平面法向量，．点到平面的距离．点评：本例中（3）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.本文罗列了立体几何中的核心知识点以及解决立体几何问题常用的一些思路、方法.立体几何题在高考试卷上通常难度不会太大，但是需要证明推理严密，运用公理定理恰当.对于理科学生，