2023年山东省青岛市崂山区数学九年级第一学期期末检测试题含解析

2023年山东省青岛市崂山区数学九年级第一学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知，，且的面积为，周长是的周长的，，则边上的高等于（）A． B． C． D．2．已知点都在反比例函数的图象上，则下列关系式一定正确的是（）A． B．C． D．3．方程的根是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=24．如图，AD是⊙O的直径，以A为圆心，弦AB为半径画弧交⊙O于点C，连结BC交AD于点E，若DE＝3，BC＝8，则⊙O的半径长为（）A． B．5 C． D．5．如图所示，四边形OABC是正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为(2，0)，P是OB上一动点，则PA＋PD的最小值为()A．2 B． C．4 D．66．在圆，平行四边形、函数的图象、的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（）A．0 B．1 C．2 D．37．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝38．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．9．在同一坐标系中，二次函数y＝x2＋2与一次函数y＝2x的图象大致是()A．A B．B C．C D．D10．如图，是岑溪市几个地方的大致位置的示意图，如果用表示孔庙的位置，用表示东山公园的位置，那么体育场的位置可表示为（）A． B． C． D．11．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A． B．ax2＋bx＋c＝0C．（x－1）（x＋2）＝1 D．3x2－2xy－5y2＝012．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－32，y1)，(103，y2)是抛物线上两点，则y1＜y2A．①② B．②③ C．②④ D．①③④二、填空题（每题4分，共24分）13．在中，，，，将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，分别得到图?、图②、…，则旋转得到的图2018的直角顶点的坐标为________．14．如图1，是一建筑物造型的纵截面，曲线是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线，，是与水平线垂直的两根支柱，米，米，米.（1）如图1，为了安全美观，准备拆除支柱、，在水平线上另找一点作为地面上的支撑点，用固定材料连接、，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点，之间的距离是_________.（2）如图2，在水平线上增添一张米长的椅子（在右侧），用固定材料连接、，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点，之间的距离是_______________.15．如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动(没有滑动)一周，则它的中心点所经过的路径长为______．16．从这九个自然数中，任取一个数是偶数的概率是____．17．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．18．某“中学生暑期环保小组”的同学，随机调查了“金沙绿岛”10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9，利用上述数据估计该小区500户家庭一周内需要环保方便袋__________只．三、解答题（共78分）19．（8分）已知二次函数y＝x2+2mx+（m2﹣1）（m是常数）．（1）若它的图象与x轴交于两点A，B，求线段AB的长；（2）若它的图象的顶点在直线y＝x+3上，求m的值．20．（8分）如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；（2）①当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是矩形；②当AG与BC满足条件时，四边形EFHI是菱形．21．（8分）解方程：5x（x+1）＝2（x+1）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）23．（10分）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．（规律探索）（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－＝如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S阴影2＝1－－()2＝____；同种操作，如图3，S阴影3＝1－－()2－()3＝__________；如图4，S阴影4＝1－－()2－()3－()4＝___________；……若同种地操作n次，则S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n＝_________．于是归纳得到：+()2+()3+…+()n=_________．（理论推导）（2）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①将①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，②由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1．即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1根据上述材料，试求出+()2+()3+…+()n的表达式，写出推导过程．（规律应用）（3）比较＋＋＋……__________1（填“”、“”或“=”）24．（10分）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．25．（12分）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．先化简，再求代数式的值，其中

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可得两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求出△ABC的面积，进而可求出AB边上的高．【详解】∵，周长是的周长的，∴与的相似比为，∴，∵S△A′B′C′=，∴S△ABC=24，∵AB=8，∴AB边上的高==6，故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方；熟练掌握相关性质是解题关键．2、C【分析】根据反比例函数的性质即可得到答案.【详解】∵k=3>0，反比例函数的图形在第一象限或第三象限，∴在每个象限内，y随着x的增大而减小，∵点，且3<6，∴，故选：C.【点睛】此题考查反比例函数的性质，正确掌握函数图象的增减性是解题的关键.3、C【解析】试题解析：x（x+1）=0，

⇒x=0或x+1=0，

解得x1=0，x1=-1．

故选C．4、A【分析】由作法得，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ABE，再根据垂径定理的推论得到AD⊥BC，BE＝CE＝BC＝4，于是可判断Rt△ABE∽Rt△BDE，然后利用相似比求出AE，从而得到圆的直径和半径．【详解】解：由作法得AC＝AB，∴，∴∠ADB＝∠ABE，∵AB为直径，∴AD⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝4，∠BEA＝∠BED＝90°，而∠BDE＝∠ABE，∴Rt△ABE∽Rt△BDE，∴BE：DE＝AE：BE，即4：3＝AE：4，∴AE＝，∴AD＝AE+DE＝+3＝，∴⊙O的半径长为．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了圆周角定理．5、A【解析】试题解析：连接CD，交OB于P．则CD就是PD+PA和的最小值．

∵在直角△OCD中，∠COD=90°，OD=2，OC=6，

∴CD=，

∴PD+PA=PD+PC=CD=2．

∴PD+PA和的最小值是2．

故选A．6、C【分析】根据轴对称图形又是中心对称图形的定义和函数图象，可得答案．【详解】解：圆是轴对称图形又是中心对称图形；

平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；

函数y=x2的图象是轴对称图形，不是中心对称图形；的图象是中心对称图形，是轴对称图形；

故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数和二次函数的图象，利用了轴对称，中心对称的定义．7、D【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】∵x2﹣1x＝0，∴x(x﹣1)＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．8、B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9、C【解析】已知一次函数、二次函数解析式，可根据图象的基本性质，直接判断．解答：解：因为一次函数y=2x的图象应该经过原点，故可排除A、B；因为二次函数y=x2+2的图象的顶点坐标应该为（0，2），故可排除D；正确答案是C．故选C．10、A【分析】根据孔庙和东山公园的位置，可知坐标轴的原点、单位长度、坐标轴的正方向，据此建立平面直角坐标系，从而可得体育场的位置.【详解】由题意可建立如下图所示的平面直角坐标系：平面直角坐标系中，原点O表示孔庙的位置，点A表示东山公园的位置，点B表示体育场的位置则点B的坐标为故选：A.【点睛】本题考查了已知点在平面直角坐标系中的位置求其坐标，依据题意正确建立平面直角坐标系是解题关键.11、C【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程．根据定义即可求解．【详解】解：A选项含有分式，故不是；B选项中没有说明a≠0，则不是；C选项是一元二次方程；D选项中含有两个未知数，故不是；故选：C．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明确一元二次方程的定义．12、C【解析】试题分析：根据题意可得：a<0，b>0，c>0，则abc<0，则①错误；根据对称轴为x=1可得：-b2a=1，则-b=2a，即2a+b=0，则②正确；根据函数的轴对称可得：当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，则③错误；对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大，则点睛：本题主要考查的就是二次函数的性质，属于中等题.如果开口向上，则a>0，如果开口向下，则a<0；如果对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果题目中出现2a+b和2a-b的时候，我们要看对称轴与1或者-1的大小关系再进行判定；如果出现a+b+c，则看x=1时y的值；如果出现a-b+c，则看x=-1时y的值；如果出现4a+2b+c，则看x=2时y的值，以此类推；对于开口向上的函数，离对称轴越远则函数值越大，对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大.二、填空题（每题4分，共24分）13、(8072,0)【分析】利用勾股定理得到AB的长度，结合图形可求出图③的直角顶点的坐标；根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．【详解】∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB===5，∴旋转得到图③的直角顶点的坐标为(12,0)；根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12，因为2018÷3=672…2所以图2018的直角顶点在x轴上，横坐标为672×12+3+5=8072，所以图2018的顶点坐标为(8072,0)，故答案是：(8072,0).【点睛】本题考查了旋转的性质与规律的知识点，解题的关键是根据点的坐标找出规律.14、【分析】（1）以点O为原点，OC所在直线为y轴，垂直于OC的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的解析式后延长BD到M使MD=BD，连接AM交OC于点P，则点P即为所求；利用待定系数法确定直线M'A'的解析式，从而求得点P′的坐标，从而求得O、P之间的距离；（2）过点作平行于轴且，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求.【详解】（1）如图建立平面直角坐标系（以点为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴），延长到使，连接交于点，则点即为所求.设抛物线的函数解析式为，由题意知旋转后点的坐标为.带入解析式得抛物线的函数解析式为：，当时，，点的坐标为，点的坐标为代入，求得直线的函数解析式为，把代入，得，点的坐标为，用料最省时，点、之间的距离是米.（2）过点作平行于轴且，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求.点的坐标为，点坐标为代入，，的坐标求得直线的函数解析式为，把代入，得，点的坐标为，用料最省时，点、之间的距离是米.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出二次函数模型，利用二次函数的知识解决生活中的实际问题．15、【分析】首先求得从B到B´时，圆心O的运动路线与点F运动的路线相同，即是的长,又由正六边形的内角为120°，求得所对

的圆心角为60°，根据弧长公式计算即可.【详解】解：∵正六边形的内角为120°，∴∠BAF=120°,∴∠FAF´=60°,∴∴正六边形在桌子上滚动(没有滑动)一周，则它的中心O点所经过的路径长为：

故答案为：

【点睛】本题考查的是正六边形的性质及正六边形中心的运动轨迹长，找到其运动轨迹是解决本题的关键．16、【分析】由从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：这九个自然数中任取一个有9种情况，其中是偶数的有4种情况，从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是：．故答案为：．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．17、﹣＜a＜【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．【详解】解：由题意可知：∵点A、B坐标分别为（0，1），（6，1），∴线段AB的解析式为y＝1．机器人沿抛物线y＝ax2﹣1ax﹣5a运动．抛物线对称轴方程为：x＝2，机器人在运动过程中只触发一次报警，所以抛物线与线段y＝1只有一个交点．所以抛物线经过点A下方．∴﹣5a＜1解得a＞﹣．1＝ax2﹣1ax﹣5a，△＝0即36a2+16a＝0，解得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝．当抛物线恰好经过点B时，即当x＝6，y＝1时，36a﹣21a﹣5a＝1，解得a＝综上：a的取值范围是﹣＜a＜【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于熟悉二次函数的性质,结合图形灵活运用.18、3500【分析】先求出10户家庭一周内使用环保方便袋的数量总和，然后求得样本平均数，最后乘以总数500即可解答.【详解】由10户家庭一周内使用环保方便袋的数量可知平均每户一周使用的环保方便袋的数量为则该小区500户家庭一周内需要环保方便袋约为，故答案为3500.【点睛】本题考查的是样本平均数的求法与意义，能够知道平均数的计算方法是解题的关键.三、解答题（共78分）19、AB=2；（2）m＝1．【分析】（1）令y＝0求得抛物线与x轴的交点，从而求得两交点之间的距离即可；（2）用含m的式子表示出顶点坐标，然后代入一次函数的解析式即可求得m的值．【详解】（1）令y＝x2+2mx+（m2﹣1）＝0，∴（x+m+1）（x+m﹣1）＝0，解得：x1＝﹣m﹣1，x2＝﹣m+1，∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣m﹣1﹣（﹣m+1）|＝2；（2）∵二次函数y＝x2+2mx+（m2﹣1），∴顶点坐标为（﹣2m，），即：（﹣2m，﹣1），∵图象的顶点在直线y＝x+3上，∴﹣×（﹣2m）+3＝﹣1，解得：m＝1．【点睛】本题考查了解二次函数的问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键．20、（1）证明见解析；（2）①AD⊥BC；②2AD=3BC【解析】（1）证出EF、HI分别是△ABC、△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥BC且EF=BC，HI∥BC且PQ=BC，进而可得EF∥HI且EF=HI．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；（2）①由三角形中位线定理得出FH∥AD，再证出EF⊥FH即可；②与三角形重心定理得出AG=AD，证出AG=BC，由三角形中位线定理和添加条件得出FH=EF，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC．∵H、I分别是BG、CG的中点，∴HI是△BCG的中位线，∴HI∥BC且HI=BC，∴EF∥HI且EF=HI，∴四边形EFHI是平行四边形．（2）解：①当AD与BC满足条件AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：同（1）得：FH是△ABG的中位线，∴FH∥AG，FH=AG，∴FH∥AD，∵EF∥BC，AD⊥BC，∴EF⊥FH，∴∠EFH=90°，∵四边形EFHI是平行四边形，∴四边形EFHI是矩形；故答案为AD⊥BC；②当AD与BC满足条件BC=AD时，四边形EFHI是菱形；理由如下：∵△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，∴AG=AD，∵BC=AD，∴AG=BC，∵FH=AG，EF=BC，∴FH=EF，又∵四边形EFHI是平行四边形，∴四边形EFHI是菱形；故答案为2AD=3BC．点睛：此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定与性质，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．21、x＝﹣1或x＝0.1【分析】先移项，再利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵5x(x+1)﹣2(x+1)＝0，∴(x+1)(5x﹣2)＝0，则x+1＝0或5x﹣2＝0，解得x＝﹣1或x＝0.1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．22、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线．（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由，即可求得答案．【详解】解：（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°．∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD．∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线．（2）在Rt△OBF中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=．∵OF⊥BD，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，∴．23、（1）；；；()n；1-()n；（2）+()2+()3+…+()n=1-()n，推导过程见解析；（3）=【分析】（1）根据有理数的混合运算计算前几项结果，并观察得出规律即可得解

（2）根据材料中的计算求和的方法即可求解；

（3）根据（2）的化简结果，结合极限思想即可比较大小．【详解】解：（1）S阴影2＝1－－()2=1-==，S阴影3＝1－－()2－()3=1-==，S阴影4＝1－－()2－()3－()4==，⋯S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n=()n，于是归纳得到：+()2+()3+…+()n=1-()n故答案为：；；；()n；1-()n（2）解：设S=+()2+()3+…+()n，①将①×得：S=()2+()3+)4…+()n+()n+1，②①－②得：S=-()n+1，③将③×2得：S=1-()n即得+()2+()3+…+()n=1-()n（3）=，理由如下：∵＋＋＋……=1-()n，当n越来越大时，()n越来越小，越来越接近零，由极限的思想可知：当n趋于无穷时，()n就等于0，故1-()n就等于1，故答案为：=【点睛】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律．24、（1）证明见解析；（1）CD=1．【解析】分析：（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；（1）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．详（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（1）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴．∵BD=AD，∴，∴，又∵AC=3，∴CD=1．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；（1）利用相似三角形的性质找出．25、（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条