2023-2024学年甘肃省民乐县一中高三上学期第二次诊断考试数学试题及答案

民乐一中2023-2024学年第一学期高三年级第二次诊断考试数学一、选择题5，集合AxNx30,3,4,5，则ðABU1.设全集U，B（）A.B.4,5C.4,50,3,4,5D.4,52x10a0）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（）2.一元二次方程axA.02B.a0C.a1D.a1sin（）P,13.已知点是角终边上一点，则3531255A.B.C.D.522S3S61S6的前项和，若，则（）San4.设是等差数列nn3311819A.B.C.D.3x1x15.函数fxsinx的大致图象为（）A.B.D.C.6.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东的方向航行了402海里到达海岛CAC，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（）A.北偏东80,202o,202B.北偏东,202D.北偏东80o,202C北偏东第1页/共5页Snnn33n3a7.设等差数列，的前n项和分别为，，若，则5为（）abnSTnnnb5A.3B.4C.5D.61a0.1,b，c0.98.设，则（）9AabcB.cbaC.D.acb二、多项选择题9.已知等差数列是递增数列，且aaann，其前项和为，则下列选择项正确的是（）S75nA.d010B.当n5时，S取得最小值nS0nC.D.当时，的最小值为8n10.下列说法正确的有A.在△ABC中，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形C.△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件1D.在△ABC中，若sinA=，则A=2611.已知函数f(x)sin|x||sinx|，则（）2,A.f(x)是偶函数B.f(x)在区间上单调递减f(x)在区间[,]C.上有四个零点D.f(x)的值域为[0,2]x,0x4212.已知函数fx，有个不同的解：分别记为tR，使方程fx4tπ2cosx,4x82x,x,x,xxxxx，则下列说法正确的是（）.1234，其中1234xx6A.0t2B.D.343x43235xxxx的最小值为141234C.12三、填空题在上的最大值为，最小值为，若x2ax，则fx0,3a13.已知MmMm4______．第2页/共5页21，则)__________；14.若315.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前n项和为________．nnfxax216.函数yf(x)是定义在3,3上的奇函数，f3，当x0时，x2，不等式的解集为__________.fm1f2m10四、解答题17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知aBbA2ccosC0．（1）求C；（2）若b4，c27，求的面积．a}nSS6的前项和为，且，318.问题：设公差不为零的等差数列.nna,a,aS5a(nnna42n1.从上述三个条件中，任选一个补248充在上面的问题中，并解答.a}（1）求数列的通项公式；n134bnKn的前项和为，求证：b}nK（2）若，数列.nn2nnf(x)x3ax2bx(a,bR)．若函数f(x)在x1处有极值-4．（1）求f(x)的单调递减区间；（2）求函数f(x)在[1,2]上的最大值和最小值．19.已知函数333cos2x，xR.20.已知函数fxcosxsinx4（1）求的最小正周期和单调区间；fx44（2）求在闭区间,fx上的最大值和最小值．a}nSaa18S121的前项和为，且满足，.461121.已知等差数列nna}（1）求数列的通项公式；nba32，数列n的前项和为，求bTn.n（2）设nnnn第3页/共5页22.设函数fxe2xax.（Ⅰ）讨论的导函数fx的零点的个数；fx2（Ⅱ）证明：当a0时fx2aa.a第4页/共5页民乐一中2023-2024学年第一学期高三年级第二次诊断考试数学一、选择题5，集合AxNx30,3,4,5，则ðABU1.设全集U，B（）A.B.4,5C.4,50,3,4,5D.4,5【答案】D【解析】【分析】利用集合间的基本运算，即可得到答案；ðA4,5，，所以UAxNx32【详解】因为B0,3,4,5.ðAU所以故选：D.2x10a0）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（2.一元二次方程ax2）a1D.A.0B.a0C.a1【答案】C【解析】44a0a，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【分析】先由方程根的情况可得10a2x10a0）有一个正根和一个负根，【详解】因为一元二次方程ax44a02所以1，解得，00a2x10a0）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是a1.所以一元二次方程ax故选：C.2终边上一点，则sin（P,13.已知点是角）35312255A.B.C.D.52第1页/共19页【答案】D【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.12552sin115【详解】依题意点P的坐标为2,1，12，；2522故选：D.S1S6的前项和，若（）San34.设是等差数列S63，则nn31181A.B.C.D.39【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可知S、、SSSS、、、SS成等差数列，根据题意可将成等差数列，S,S都用693363966129S表示，可求得结果.3【详解】由等差数列的性质可知SSSSS、SS126399S∵S13S63SS6SS3S33，即，3，36SS3SSS4SS6S9S10S，，3∴，，∴963933S3S310S31036∴S.12故选：A.x1x15.函数fxsinx的大致图象为（）A.B.D.C.第2页/共19页【答案】D【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊值的正负，再排除选项，即可求解.f2x1x1【详解】函数fxsinx，,1的定义域为x1x1x1x1x1x1fsinxxsinxsinxfx，由则为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C，fx10，故排除B，f2sin2又3故选：D.6.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东的方向航行了402海里到达海岛C，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛CA，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（）A.北偏东80,206232o,20B.北偏东,2062D.北偏东80o,2032C.北偏东【答案】C【解析】【分析】根据方位角的概念结合正弦定理、余弦定理求解.【详解】作出示意图如图所示，根据题意，70，ABBC402,根据余弦定理，ACAB2BC2ABBCABC22402402240402cos105480032002cos105,1600320032002cos105123226因为cos1056045，2222426所以AC480032002480080022343200160032062，第3页/共19页BCAC，所以sinCABsinABC因为sinCABsin4022062sin604523212622212，312222442因为CAB为锐角，所以45，所以从海岛A出发沿直线到达海岛C，航行的方向是北偏东180航行的距离是2062海里，457065，故选:CSnn33n3a，的前，，若n，则5为（）abn7.设等差数列n项和分别为Snnnb5A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，得S(2na，此由可得结论．n2n1(2n12n1)an}是等差数列，则S(2na，n【详解】2n12595S93933935．∴559故选：C．1a0.1,b，c0.98.设，则（）9A.abc【答案】C【解析】B.cbaC.D.acb第4页/共19页【分析】构造函数f(x)x)x，导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.【详解】方法一：构造法11xxf(x)x)x(x，因为(x)1，f设1x当x(0)时，f(x)0，当x)时f(x)0，所以函数f(x)x)x在(0,)单调递减，在(0)上单调递增，110119109f()f(0)0，所以00.9，即bc，所以，故999191911119所以0，故e10，所以，f()f(0)0，所以+e10101010故ab，x21e1x1x1设g(x)xex)(0xx，则,g(x)xexx1令h(x)ex(x2，h(x)ex(x22x，，函数h(x)e(xx2单调递减，单调递增，当0x21时，当21x1时，h(x)0h(x)0，函数h(x)ex(x2h(0)0又，所以当0x21时，h(x)0，所以当0x21时，g(x)0，函数g(x)xex)单调递增，x所以gg(0)0，即0.1e0.10.9，所以ac故选：C.方法二：比较法0.1bc0.1)，解：ae0.1，，10.1lnalnb0.10.1)①令则，f(x)xx),x(0,0.1],x1f(x)10，1x1x故f(x)在(0,0.1]上单调递减，第5页/共19页f(0.1)f(0)0ab0ab，所以；可得，即②令ace0.1，g(x)xexxx),(0,0.1],1x1xex111x则g'xxexex，1x令k(x)xxe)x1，所以k(x)x22x)ex0，k(x)(0,0.1]k(x)k(0)0g(x)0，即，所以所以在上单调递增，可得gg(0)0ac0a.，所以g(x)(0,0.1]在上单调递增，可得，即ca.故二、多项选择题9.已知等差数列是递增数列，且aa，其前项和为，则下列选择项正确的是（）annSn75A.d010B.当n5时，S取得最小值nS0nC.D.当时，的最小值为8n【答案】ACD【解析】an}的公差为daaad1a}，根据数列是递增数列，可判n【分析】设等差数列，因为，求得75n断AC；由等差数列前项和公式，结合二次函数的性质和不等式的解法，可判断BD．an}的公差为d【详解】由题意，设等差数列，aaa6da4d)ad1因为，可得，解得，7511an}是递增数列，得d0a01又由等差数列，则，故AC正确；ddd7dSnn2(1)nn2n，因为22227由二次函数的性质知，对称轴为n，开口向上，2所以，当n3或4时S最小，故B错误；n第6页/共19页d7dSnn2n0，解得n0或n7，即Sn0时的最小值为8，故D正确．n令22故选：ACD．10.下列说法正确的有A.在△ABC中，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形C.△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件1D.在△ABC中，若sinA=，则A=26【答案】AC【解析】【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解.abc==2R【详解】由正弦定理sinAsinBsinC可得：a:b:c2RsinA:2RsinB:2RsinC即a:b:csinA:sinB:sinC成立，故选项A正确；由sin2Asin2B可得2A2B或2A2B，AB即AB或，2则是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；在中，由正弦定理可得sinAsinBabAB，则sinAsinB是AB的充要条件，故选项C正确；1A或A=在△ABC中，若sinA=，则，266故选项D错误.故选：AC.【点睛】本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题.11.已知函数f(x)sin|x||sinx|，则（）2,A.f(x)是偶函数B.f(x)在区间上单调递减第7页/共19页f(x)在区间[,]C.上有四个零点D.f(x)的值域为[0,2]【答案】ABD【解析】【分析】由定义判断A；由正弦函数的单调性判断B；由f(x)在上的零点结合奇偶性判断C；讨论的值域，结合奇偶性判断D.【详解】对于A：其定义域为R，偶函数，故A正确；f(x)sin|x||sin(x)sin|x||sinxf(x)，即函数f(x)是2对于B：x,sinxf(x)sinxsinx2sinx，由正弦函数的单调性可知，f(x)在区间时，2,上单调递减，故B正确；对于C：x0,时，sinxf(x)sinxsinx2sinx，此时2sinx0，可得为f(x)是偶函数，所以f(x)在区间[,]上的零点为π,0,π，故C错误；或xπ，因x0对于D：当2πxπ2π，且kkZ时，sinx,f(x)sinxsinx2sinx2.当2kx2k，且kkZ时，sinx0，f(x)xx0.0,2又f(x)是偶函数，所以函数f(x)的值域为故选：ABD，故D正确；x,0x4212.已知函数fx，有个不同的解：分别记为tR，使方程fx4tπ2cosx,4x82x,x,x,xxxxx，则下列说法正确的是（1234，其中）.1234xx6A.0t2B.D.343x43235xxxx的最小值为141234C.12【答案】AC【解析】【分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解判断即可.第8页/共19页【详解】如图，0t42时，方程存在个不同根，141xx1,4x5当t2时，，134log2xt时，xxxx2得21222121x,xx14，即，由正弦函数对称性知x32121xx3434x12xx624x5，333312x6236在5上单调递增，所以4f(3)32xxxx35；31231xxxxx12，123411114654f(x)x12在,1上单调递减，所以14x1234，无最小值，111故选：AC【点睛】关键点睛：利用数形结合思想进行求解是解题的关键.三、填空题fxx2ax在上的最大值为，最小值为，若0,3，则a13.已知MmMm4______．【答案】−2或−4【解析】【分析】根据区间和二次函数对称轴的相对位置，结合二次函数的单调性分类讨论求解即可.ax的对称轴为：xa【详解】二次函数fxx2，2a0a0时，即当，函数在上单调递增，0,325所以Mf9a,mf(0)0，由Mm4，得9a04a，不满足a0，舍3第9页/共19页去；a上单调递减，3时，即a6时，函数在0,3当2130a)4a，不满足a6，所以Mf(0)mf9a，由Mm4，得3舍去，当0aaa2，3时，则6a0，此时mf()224aa03()时，即3a0时，Mf9a，若22a2m4，得9a4a2，或a10舍去，由M4aa03()，Mf(0)06a，3若时，即22a2由Mm4，得4a4，或a4舍去，4综上所述：a2或a4，故答案为：−2或−4【点睛】关键点睛：根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论是解题的关键.21，则)14.若__________；37【答案】【解析】9【分析】由题意，【详解】由题意2是的2倍，根据余弦二倍公式，即可求解.22279coscos22cos2127故答案为：9【点睛】本题考查余弦二倍角公式，属于基础题.15.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前n项和为________．nn【答案】n2n2第10页/共19页【解析】n2与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项2n1【分析】首先判断出数列以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.2n1【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列n是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，ann(n所以的前项和为ann16n2n，2n2故答案为：n2n.2【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.fxax216.函数yf(x)是定义在3,3上的奇函数，f3，当x0时，x2，不等式的解集为fm1f2m10__________.【答案】0]【解析】【分析】根据题意得f3，进而得a6，故当xfxx26x2，且在0时，x(0,3]上单调yf(x)[0)递减，进而根据奇函数性质得函数在上的单调递减函数，然后讨论即可.3,3f上的奇函数，3yf(x)【详解】解：因为函数是定义在f1f13，所以x2ax2，因为当x0时，fx所以f3a3，解得a6，27，所以当x0时，fxx26x2x3当x0时，fxf(x)[(x)26(x)2]x26x2x(0,3]yf(x)[0)上单调递减所以由二次函数的性质得时，函数单调递减，在fm1f2m10f2m1f1m易知第11页/共19页1当02m13,01m3时，原不等式2m11m，解得m0；2当32m131m0当02m131m0，无实数解；时，无实数解；1当2m10,01m3，即m时，原不等式212(2m26(2m2m)2m)2，解得m；3931941当2m10，即m时，f(2m0，fm)f()62，满足题意；2242当1m0，即m1时，fm)f(0)0，f(2nf954243，不满足题意.综上，原不等式的解集为：0]故答案为：0]四、解答题17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知aBbA2ccosC0．（1）求C；（2）若b4，c27，求的面积．第12页/共19页【答案】（1）C3（2）23【解析】1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得答案;（2）由余弦定理求得a值，然后利用面积公式求解即可.【小问1详解】由正弦定理得sinABsinBA2sinCC0，sinABsinBAsinABsinC2sinCcosC得．1C0,，所以sinC0，所以cosC，即C因为．23【小问2详解】由余弦定理得c2a2b22abC，得，a24a12a6a20113的面积为absinC24所以a2，故23．222a}nSS6的前项和为，且，318.问题：设公差不为零的等差数列.nna,a,aS5a(nnna.从上述三个条件中，任选一个补n124842充在上面的问题中，并解答.a}（1）求数列的通项公式；n134bnKn，求证：b}n的前项和为Kn（2）若，数列.nn2nann【答案】（1）（2）证明见解析【解析】S631）选①②③分别与组成方程组，解出首项与公差即可得解；（2）利用裂项相消法求出数列的前项和为Kn，即可得证.n【小问1详解】a}d(d).设等差数列的公差为n选条件①：∵S＝6，a，a，a成等比数列，3248第13页/共19页ad61a11∴da7d，解得d1，2ada111a}a1n1nn故数列的通项公式为.n选条件②：∵S＝6，S＝5a，342ad6111，解得∴，416d5add11a}a1n1nn故数列的通项公式为.n选条件③：∵S＝6n+1）a＝nan+1，3nad61a11∴，解得，n1an1dn1ndd11a}a1n1nn故数列的通项公式为.n【小问2详解】1111bn证明：∵＝，nn22nn211111K(1111n211111)＝∴＝+…+nn1n1n212n1n221324132n33.22n1n24f(x)x3ax2bx(a,bR)．若函数f(x)在x1处有极值-4．19.已知函数（1）求f(x)的单调递减区间；（2）求函数f(x)在[1,2]上的最大值和最小值．731.f(x)min，f(x)max8【答案】（1）2）.【解析】【详解】试题分析：先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于1a,b的方程组，求得a,b后再根据导函数的符号求出单调递减区间．由求出函数的单调区间，可以数判断函数在上的单调性，求出函数在21fx1,2fx1,2第14页/共19页上的极值和端点值，通过比较可得的最大值和最小值．fx试题解析：（1）∵fxx3axbx，2∴f'x3x2axb，2f'132ab0a2，解得.依题意有即7f11ab4b∴f'x3x24x73x7x，7由f'x0，得x1，37,1.∴函数的单调递减区间fx3由知fxx32x27，21∴f'x3x24x73x7x，7令f'x0，解得xx1．123的变化情况如下表：f'xfxx当变化时，由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增．fx1,2f(x)minf1，故可得f(f(2)2又∴．f(x)maxf18.综上可得函数在上的最大值和最小值分别为和4．fx1,28333cos2x，xR.20.已知函数fxcosxsinx4（1）求的最小正周期和单调区间；fx第15页/共19页,（2）求在闭区间fx上的最大值和最小值．44【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间是[k,k](kZ)，单调递减区间是121211[k,k](kZ)；1212（2）最小值为1，最大值为124【解析】1f(x)sin(2x)1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得，利用正弦函数的23性质即得；（2）利用正弦函数的性质即求．【小问1详解】3332x由fxxsinx43x(sinxxsin)3cos2x334133sinxx2x224133sin2xcos2x)4144sin(2x)，23∴的最小正周期为fx，2k„2x„2kk„„k(kZ)11由，得，23212122k„2x„2kk„„k(kZ)由，得2321212∴函数单调增区间为[k,k](kZ)，函数单调减区间为[k121211,k](kZ)；1212【小问2详解】x[,]由于，44所以2x，[,]3661所以sin(2x)[]，32第16页/共19页11故f(x)[,]，24故函数的